[PDF] Chapitre 4 Applications Montrer que f est bien

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Chapitre 5

Applications

1. D´efinitions et exemples

D´efinition 5.1 -SoientEetFdeux ensembles. Une applicationfdeEdansFest un

"proc´ed´e" qui permet d"associer `a chaque ´el´ementxdeEun unique ´el´ementydeF; cet

´el´ementyest alors not´ey=f(x), on l"appellel"image de x et on dit quexestunant´ec´edent

deyparf. On dit queEest l"ensemble de d´epart defet queFest l"ensemble d"arriv´ee de f.

On notef:E-→Fouf:E-→F

x?-→f(x). L"ensembleG={(x,y)?E×F|y=f(x)}est appel´e le graphe def. Exemples -•On d´efinit une applicationfen prenant :E={1,2,3}, F={1,2,3,4}, f(1) =f(2) = 1, f(3) = 4. Alors, l"image de 3 est 4 et 1 a deux ant´ec´edents :

1 et 2.

3•2

•1 4• 3• 2• 1

Diagramme sagittal

3214321

Diagramme cart´esien

•L"application Logarithme : ln :R?+-→R

x?-→ln(x)

•L"application :R3-→R3

(x,y,z)?-→(2x+ 3y,x-y+z,y+ 5z) •L"application appel´ee "premi`ere projection" ou "premi`ere coordonn´ee" : p

1:R×R-→R

(x,y)?-→x

•L"application "identit´e" :IdE:E-→E

x?-→x Contre-exemples -Les ´enonc´es suivants sont faux ou incomplets : •"L"application deCdansCqui associe `a chaquezdeCune de ses racines carr´ees complexes". •"L"application deRdansRd´efinie parf(x) = 1/x".

•"L"applicationfd´efinie surZparf(x) =x2"

Composition des applicationsRemarques -•On note souventF(E,F) l"ensemble des applications deEdansF.

•On parle plus g´en´eralement de fonctions : une fonctionfd"un ensemble Edans un ensembleFassocie `a chaque ´el´ementxdeEun ´el´ement deF au plus; l"ensemble des ´el´ementsxdeEauxquels elle associe un ´el´ement ydeFest appel´e le domaine de d´efinition de la fonctionfet not´eDf. Sixappartient `aDf, l"´el´ementyqui lui est associ´e est not´ey=f(x). On peut alors construire l"application (encore not´eefpar abus de langage), f:Df-→F x?-→f(x)et c"est elle qu"on ´etudie en fait. Par exemple, si on parle de "la fonction r´eelle de la variable r´eelle d´efinie parf(x) = 1/x", on aDf=R?, et on ´etudie l"applicationf:R?-→R x?-→1/x.

2. Egalit´e - Restriction - Prolongement

D´efinition 5.2 -Soientf:E-→Fetf1:E?-→F?deux applications. On dit qu"elles sont ´egales et on notef=f1si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

E=E?, F=F?et?x?E, f(x) =f1(x).

Exemples -•Soientf:?R-→R

x?-→cos(x)etf1:?R-→R x?-→2cos2(x/2)-1Alors, on a f=f1.

•Les trois applicationsf:?R-→R

x?-→x2,g:?R-→R+ x?-→x2eth:?R +-→R x?-→x2, sont deux `a deux distinctes. D´efinition 5.3 -SoientEetFdeux ensembles,E1un sous-ensemble deE,f:E-→F etf1:E1-→F. On suppose que pour tout ´el´ementxdeE1, on af(x) =f1(x). Alors, on dit quef1estlarestriction def`aE1et quefestunprolongement def1`aE. On note f

1=f|E1.

Exemple -Dans le deuxi`eme exemple ci-dessus,hest la restriction def`aR+, etfest un prolongement deh`aR. Mais l"applicationk:R-→Rtelle que (?x?R+, k(x) =x2et ?x?R?-k(x) = 0) est un autre prolongement deh. (Dessiner et comparer les graphes de ces trois applications). Remarque -Lorsquefest une application deEdansFetF1un sous-ensemble deF tel que pour tout ´el´ementxde E l"´el´ementf(x) appartienne `aF1, on consid`ere souvent l"applicationg:E-→F1 x?-→f(x). C"est le cas dans le deuxi`eme exemple pour les applicationsf etg, si on prendF1=R+. Exercice -Soitf:R+-→Rl"application donn´ee parf(x) = 1pour toutxtel que distincts def`aR. Quelle est la restriction def`a[0,1]? Trouver une application gdeR+dansNtelle que pour toutx?R+, g(x) =f(x). - 24 -

Applications

3. Composition des applications

D´efinition 5.4 -Soientf:E-→Fetg:F-→Gdeux applications. On d´efinit une application de E dans G not´eeg◦fen posant ?x?E, g◦f(x) =g(f(x)).

On l"appelle application compos´ee degetf.

Remarques -•Soientfetgdeux ´el´ements deF(E,E) ; les deux applicationsf◦get g◦fsont d´efinies, mais en g´en´eral elles ne sont pas ´egales. Par exemple, si on af:R-→R x?-→x2etg:R-→R x?-→2x, on obtientg◦f:R-→R x?-→2x2et f◦g:R-→R x?-→4x2et ces deux applications sont diff´erentes (prouvez le). •On a (g◦f)◦h=g◦(f◦h) (lorsque cela a un sens). •Soientfetgdeux applicationsf:E-→F,g:F1-→Go`uF1est un sous-ensemble deFtel que pour toutx?E, f(x) appartienne `aF1; soit f

1:E-→F1

x?-→f(x). L"applicationg◦f1est souvent encore not´eeg◦fpar abus de langage. Exercice -SoitE={1,2,3}, f:E-→Eetg:E-→Eles applications d´efinies par f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2, g(1) = 2, g(2) = 1, g(3) = 3. Calculerf◦f, f◦get g◦f. A-t-onf◦g=g◦f?

4. Bijection - Injection -Surjection

Proposition et d´efinition 5.5 -Soitf:E-→Fune application.

1 - On dit quefest une surjection ou quefest surjective si chaque ´el´ementydeFest

l"image d"un ´el´ement deEau moins, c"est-`a-dire si pour chaque ´el´ementydeF, l"´equation

y=f(x) a au moins une solution dansE, ce qui s"´ecrit : ?y?F,?x?E, y=f(x)

2 - On dit quefest une injection ou quefest injective si la proposition suivante est vraie :

?(x,x?)?E2,(f(x) =f(x?) =?x=x?).

c"est-`a-dire si chaque ´el´ementydeFest l"image d"un ´el´ement deEau plus, ou encore, si

pour chaque ´el´ementydeF, l"´equationy=f(x) a au plus une solution dansE.

3 - On dit quefest une bijection ou quefest bijective si elle est `a la fois injective et

surjective. Preuve : on va d´emontrer l"´equivalence concernant l"injectivit´e.

1) Supposons que tout ´el´ement deFadmette au plus un ant´ec´edent parf. Soientx

etx?deux ´el´ements deEtels quef(x) =f(x?). Posonsy=f(x). C"est un ´el´ement deFqui admetxetx?pour ant´ec´edents. Orya au plus un ant´ec´edent. Donc x=x?. On a montr´e que, si tout ´el´ement deFa au plus un ant´ec´edent parf, l"application fest injective.

2) Supposons qu"il existe un ´el´ement deFqui n"admette pas au plus un ant´ec´edent

parf. Notonsyun de ces ´el´ements.ya (au moins) deux ant´ec´edents distinctsx etx?. Par d´efinition d"un ant´ec´edent, on af(x) =f(x?) =y. On a doncx?=x?et f(x) =f(x?). On a montr´e?(x,x?)?E2,(x?=x?etf(x) =f(x?)),c"est-`a-dire la n´egation de "?(x,x?)?E2,(f(x) =f(x?) =?x=x?)," c"est-`a-dire quefn"est pas injective. On a donc montr´e l"implication r´eciproque par contrapos´ee. - 25 -

Etude des bijectionsRemarques -•L"´ecriture avec les quantificateurs est souvent plus commode pour montrer

qu"une application est injective. •L"expression "au plus" signifie qu"un ´el´ement deFsoit n"a pas d"ant´ec´edent, soit en a un. Proposition 5.6 -Soitf:E-→Fune application. L"applicationfest bijective si chaque ´el´ementydeFest l"image d"un ´el´ementxdeEet d"un seul, c"est-`a-dire si pour chaque ´el´ementydeF, l"´equationy=f(x) a une solutionxet une seule dansE, ce qui s"´ecrit : ?y?F,?!x?E, y=f(x)

Remarques -Soitf:E-→Fune application.

•Pour montrer quefn"est pas injective, il suffit de trouver deux ´el´ements distinctsxetx?deEtels quef(x) =f(x?). •Pour montrer quefn"est pas surjective, il suffit de trouver un ´el´ementy deFqui n"a aucun ant´ec´edent.

Exemples -

•Soitvl"application de [0,1] dansRd´efinie parv(x) =x2-3x. Montrons quevest injective. Soientxetx?deux ´el´ements de [0,1]. Supposonsv(x) =v(x?). On a donc (x-x?)(x+x?-3) = 0, d"o`ux=x?oux+x?-3 = 0. Mais commexetx?sont a montr´e (?x,x??E,(v(x) =v(x?) =?x=x?)),doncvest injective. Maisvn"est pas r´eel strictement positif, l"´equationy=f(x) n"a aucune solution dans [0,1]. •Soitu:R-→R+l"application telle queu(x) = 0 six <-1 etu(x) =x+ 1 six≥ -1. Les r´eels-1 et-2 sont distincts et ont la mˆeme image :u(-1) =u(-2) = 0. Doncu n"est pas injective. Montrons queuest surjective. Soityun r´eel positif. On veut montrer qu"il existe au moins un ´el´ementxdeRtel quey=u(x). Posonsx=y-1. On a alors x≥ -1 ety=x+ 1, doncy=u(x). On a donc montr´e que pour touty?R+, il existe au moins unx?Rtel quey=u(x), c"est-`a-dire queuest surjective.

5. Etude des bijections

D´efinition 5.7 -Soitf:E-→Fune bijection. Alors, l"application deFdansEqui `a chaque ´el´ementydeFassocie l"unique ´el´ementxdeEsolution de l"´equationy=f(x) est appel´ee application r´eciproque defet not´eef-1. Remarque -Si f est bijective,x?Eety?F, il est ´equivalent de dire "xest un ant´ec´edent deypourf", "y=f(x)", "x=f-1(y)" ou "yest un ant´ec´edent dexpourf-1".

Exemples -

•Soithl"application de{1,2,3}dans{1,5,7}telle queh(1) = 5,h(2) = 1 eth(3) = 7; elle est bijective. Sa r´eciproqueh-1est l"application de{1,5,7}dans{1,2,3}donn´ee parh-1(1) = 2, h-1(5) = 1, h-1(7) = 3.

•Consid´erons la bijectionl:R-→R

x?-→x3. L"application r´eciproque delestl-1:R-→R x?-→3⎷ x.

Exercice -Montrer que l"applicationh:R-→R

x?-→2x-1est bijective et d´eterminerh-1. Proposition 5.8 -Soitf:E-→Fune application bijective. Alors

1)f-1est bijective et (f-1)-1=f,

2)f-1◦f=IdEetf◦f-1=IdF

- 26 -

Applications

Preuve : 1) Soitxun ´el´ement deE. On consid`ere l"´equationx=f-1(y)(dans laquelle l"inconnue estyet la donn´eex). On veut montrer que cette ´equation a une solution dansFet une seule. Par d´efinition def-1, cette ´equation ´equivaut `a l"´equation y=f(x). Elle a donc une seule solution et c"estf(x), d"o`u le r´esultat.

2) Il faut montrer quef-1◦fest une application deEdansEet que pour

toutx?E, f-1◦f(x) =x. Or on af:E-→Fetf-1:F-→E, donc f -1◦f:E-→E. D"autre part, soitxappartenant `aE, et posonsy=f(x); on a alorsf-1◦f(x) =f-1(y) =xpar d´efinition def-1. D"o`uf-1◦f=IdE. On fait de mˆeme pour montrer quef◦f-1=IdF.

La propri´et´e 2 de la proposition pr´ec´edente caract´erise l"application r´eciproquef-1. On a

en effet la proposition suivante : Proposition 5.9 -Soitf:E-→Fune application. On suppose qu"il existe une application g:F-→Etelle queg◦f=IdEetf◦g=IdF. Alors,fetgsont bijectives,g=f-1et f=g-1. Preuve : montrons quefest bijective. Soityun ´el´ement deF. On veut montrer que l"´equationy=f(x)(o`uxest l"inconnue,yla donn´ee) a une et une seule solution dansE. Sixest solution, on ag(y) =g◦f(x)et commeg◦f=IdE, on ax=g(y); inversement, six=g(y),xappartient `aEetf(x) =f◦g(y); commef◦g=IdF, on af(x) =y, doncxest solution. Il y a une solution et une seule et c"estg(y). De tout ceci, on d´eduit quefest bijective etg=f-1. Le reste de la proposition est une cons´equence de la proposition pr´ec´edente.

6. Image directe - Image r´eciproque

On fixe toujours une applicationf:E-→F.

D´efinition 5.10 -SoitBun sous-ensemble deF. On appelle image r´eciproque deBparf l"ensemble des ´el´ementsxdeEdont l"imagef(x) parfest dansB. C"est un sous-ensemble deE; on le notef-1(B). On a donc pour tout ´el´ementxdeE: x?f-1(B)??f(x)?B D´efinition 5.11 -SoitAun sous-ensemble deE. On appelle image directe deAparf l"ensemble des imagesf(x) des ´el´ementsxdeA. C"est un sous-ensemble deF; on le note f(A). On a donc pour tout ´el´ementydeF: y?f(A)?? ?x?A, y=f(x).

L"ensemblef(E) est aussi appel´e l"image def.

Exemple -Consid´erons l"exemple de la figure ci-dessous

•5•

3• 2• 1 4 4 •3 •2 •1

•On af-1({2}) =∅,

f -1({1}) =f-1({1,2,4}) ={1,2}, f({1,4}) ={1,5}et l"image def estf({1,2,3,4}) ={1,3,5}. Exercice -1◦) Dans l"exemple de la figure pr´ec´edente, calculerf-1({1,2,5})etf({2,3}). 2 ◦) Soitg:R-→R x?-→sin(x). Calculerg-1({-1,1}), l"image degetg([0,3π/2]). Remarques sur les notations -Il faut ˆetre tr`es prudent avec la notationf-1, qui n"est pas tr`es heureuse. - 27 -

Un peu de d´enombrement

!Supposons quefsoit bijective. Les deux applicationsfetf-1sont alors d´efinies et la notationf-1(B) d´esigne a priori deux ensembles distincts : l"image r´eciproque deB parfet l"image directe deBparf-1. Mais six?E, dire quef(x)?B´equivaut `a dire qu"il existey?Btel quef-1(y) =x. Ces deux ensembles sont donc ´egaux et la notation est sans

ambigu¨ıt´e. Mais, lorsque l"on utilise la notationf-1(B),on ne suppose pas que l"application

f -1est d´efinie : l"applicationfn"est pas forc´ement bijective. !L"ensemblef-1({y}) est l"ensemble des ant´ec´edents deyparf. Lorsquefest bijective, cet ensemble a un et un seul ´el´ementf-1(y) ; et on a donc alorsf-1({y}) ={f-1(y)} (comprenez vous la diff´erence de notation entre les deux membres?) Dans le cas g´en´eral, c"est unensemblequi peut avoir 0,1 ou plusieurs ´el´ements (trouvez-en des exemples sur la figure pr´ec´edente). L"usage est malheureusement de noterplus simplementf-1(y) au lieu def-1({y}), ce qui n"aide pas les d´ebutants...Astreignez-vous donc au moins au d´ebut, `a mettre toutes les accolades n´ecessaires. Proposition 5.12 -Soitf:E-→Fune application. Alors, elle est surjective si et seulement si son imagef(E) est ´egale `a l"ensemble d"arriv´eeF. Th´eor`eme 5.13 -SoitI= [a,b] un intervalle deRet une applicationf:I-→R. On supposefcontinue et strictement croissante. Alors :

1)fest injective.

2) L"image defest l"ensemble [f(a),f(b)].

3) L"applicationfd´efinit (par restriction de l"ensemble d"arriv´ee) une application

g:[a,b]-→[f(a),f(b)] x?-→f(x)et cette applicationgest bijective. On a des th´eor`emes analogues pourfstrictement d´ecroissante ou pour un intervalleI quelconque. ?!Une application bijective de [a,b] dans [f(a),f(b)] est-elle forc´ement monotone?

Fabriquez un contre-exemple.

7. Ensembles finis

D´efinition 5.14 -Un ensembleEest fini s"il est vide ou bien s"il existe un entier positif net une bijection deEsur l"ensemble desnpremiers entiers positifs, not´e{1,...,n}. On appelle cet entiernle cardinal deEet on le note cardE. Tout ensemble qui n"est pas fini est dit infini. D´efinition 5.15 -On appelle ensemble d´enombrable tout ensemble qui est en bijection avecN. Exemple :l"ensemble des entiers pairs est d´enombrable. (x?→2xdeNdans 2N)

8. Un peu de d´enombrement

8.1. Applications d"un ensemble fini dans un ensemble fini

Proposition 5.16 -L"ensemble des applications d"un ensembleEde cardinalpdans unquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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