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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln(. ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ?
LOGARITHME NEPERIEN
La fonction exponentielle étant croissante on aurait e ln a ? e ln b donc a ? b ce qui est en contradiction avec l'hypothèse. On ne peut donc pas avoir ln a
Fonction logarithme népérien
si 0 < x < 1 ln(x) < 0. • si x > 1
Algebraic Properties of ln(x)
(ii) ln(ab) = ln a + ln b. ? Proof (ii) We show that ln(ax) = ln a + ln x for a constant a > 0 and any value of x > 0. The rule follows with x = b.
cours ln
Sachant que si e x = y alors x = ln y
6 The Natural Logarithm
Rewriting this using logs instead of exponents we see that ln (a · b) = m + n = lna + lnb. (vi) If
Fonction logarithme népérien
Les propriétés algébriques de la fonction ln. 1) Propriété fondamentale. Pour tous réels strictement positifs a et b on a : ln ab = ln a + ln b.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)
a) ln x = 2. ? lnx = lne2. ? x = e2. La solution est e2 . b) ex+1 = 5. ? ex+1 = eln 5. ? x +1= ln5. ? x
4 Fonctions logarithme
quotient : ln (a b) = ln(a) ? ln(b);. • puissance : ln(an) = nln(a);. • racine carrée : ln (. ?a) =.
Exponentielle et logarithme
ln(1) = 0 ln(e)=1. (ln(x))? = 1 x. (ln(u))? = u? u lim x?0+ln(x) = ?? lim x?+? ln(x)=+?. Propriétés des exponentielles a b et n sont des réels :.
[PDF] LOGARITHME NEPERIEN - Pierre Lux
On note a = ln b ce qui se lit logarithme népérien de b Ainsi à tout réel x strictement positif on peut associer un unique réel noté ln ( x )
[PDF] formulairepdf
Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln( ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ?
[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN - maths et tiques
- Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre - Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à
[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1) - maths et tiques
La fonction logarithme népérien notée ln est la fonction : ln : 0;+?????? ! x " lnx Exemple : L'équation ex = 5 admet une unique solution Il s'agit de
[PDF] FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 1 Définition de la fonction « ln
Définition 1 On appelle logarithme népérien du réel m > 0 l'unique solution a de l'équation ex = m On note cette solution a = ln(m)
[PDF] Fonction logarithme népérien
On appelle fonction logarithme népérien notée ln l'unique fonction telle que : • ln est définie et dérivable sur ]0 lna = lnb est équivalent à a = b
[PDF] Fonction logarithme népérien
Remarque 2 La dérivée de ln étant strictement positive sur ]0; +1[; la fonction ln est stricte- ment croissante sur ]0; +1[ On a donc : a
[PDF] FONCTION LOGARITHME
Par convention on note ce nombre ln(a) que l'on appelle logarithme Si a et b sont deux réels strictement positifs alors ln(a b) = ln(a) + ln(b)
[PDF] 4 Fonctions logarithme - Free
Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier relatif alors : • produit : ln(ab) = ln(a) + ln(b); • inverse : ln(1 a) = ?ln(a);
Fonction logarithme népérien
Table des matières
I Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
II Sens de variation, courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
III Fonctionx?→ln[u(x)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
IV Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Activiténo1 page141
I Définition
Définition
On appelle fonction logarithmenépérien, notée ln, l"unique fonction telle que : ln est définie et dérivable sur ]0 ;+∞[ln(1)=0
Pour toutx>0, ln?(x)=1
x Remarque: on écrit souvent lnxà la place de ln(x). Remarque: une expression de la forme ln(u(x))est définie si, et seulement si,u(x)>0Exemples:
ln(x-3) est définie si, et seuelement si,x-3>0 donc pourx>3. ln(1-x) est définie pour 1-x>0, donc pourx<1. ln(x2+x+1) est définie surRcarx2+x+1>0 pour toutx,x2+x+1=? x+1 2? 1 +34>0II Sens de variation, courbe représentative
1.Sens de variation:
On a vu que : ln?(x)=1x; commex>0, ln?(x)>0 donc la fonction ln eststrictement croissantesur ]0 ;+∞[. 12.Tableau de variations
La tabeau de variations est :
x0+∞ f?(x)+ f(x)3.Signe
On a vu dans la définition que ln(1)=0.
On en déduit que :
si 0 six>1, lnx>0
4. Équationset inéquationsSoientaetbdeux nombres strictement positifs. lna=lnbest équivalent àa=b.
lna lna>lnbest équivalent àa>b. 5. Nombre e
On appelle e le nombre (unique) dont le logarithmevaut 1 (notation due à Euler) :ln(e)=1. Valeur approchée : e≈2,718
6. Courbe représentative
O11 -1012345678910 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 e y=lnx Équations du type :ln(u(x))=0
ln(u(x))=0?ln(u(x))=ln1?u(x)=1 Exemple :ln(x-3)=0 équivaut àx>3 etx-3=1 doncx=4 Équations du type: ln(u(x))=ln(v(x)), avecu(x) etv(x) strictement positifs; il faut alors queu(x)=v(x).
III Fonction x?→ln[u(x)]
Soituune fonction définie, strictement positive et dérivable surun intervalleI. On considère la fonctionf, composée deusuivie de la fonction ln :f=ln◦u. fest définie parf(x)=ln(u(x)). Page 2/3
fest dérivable etf?=u?udonc, pour toutx?I,f?(x)=u?(x)u(x) Exemple :
Soitfla fonction définie surRparf(x)=ln(x2+x+1). f(x)=ln(u(x)) avecu(x)=x2+x+1.uest dérivable, strictement positive surRetu?x=2x+1. Alorsf?(x)=u?(x)
u(x)= 2x+1 x2+x+1 IV Propriétés algébriques
Préliminaire : étude d"une fonction :
Soita>0 un réel fixé, mais quelconque. On considère alors la fonctionfdéfinie parf(x)=ln(ax)-ln(x).
Pour toutx>0 on a :f?(x)=a
ax-1x=1x-1x=0. La dérivée defest nulle, donc la fonctionfest constante. Pour calculer cette valeur constante, il suffit de calculerfpour une valeur particulièredex. Pourx=1, on obtientf(1)=ln(a)-ln(1)=ln(a).
On en déduit que, pour toutx>0,f(x)=ln(a), donc ln(ax)-ln(x)=ln(a). Par conséquent :
ln(ax)=ln(a)+ln(x)(le logarithmed"un produit est égal à la somme des logarithmes). Propriétés
aetbsont deux nombres strictement positifs;nest un entier relatif. 1. Produit :ln(ab)=lna+lnb
2. Inverse :ln?1a?
=-lna 3. Quotient :ln?ab?
=lna-lnb 4. Puissances :ln?an?=nlna
5. Racine carrée :ln?a=12lna
Démonstrations:
ln(ab)=lna+lnbdécoule de ce qu"on a vu dans l"étude préliminaire. ln?
a×1 a? =ln(a)+ln?1a? et ln? a×1a? =ln(1)=0 donc ln?1a? =-ln(a). ln?a
b? =ln? a×1b? =ln(a)+ln?1b? =ln(a)+(-ln(b))=ln(a)-ln(b). ln(a)=ln??
a×?a?=ln??a?+ln??a?=2ln??a?donc ln??a?=12ln(a). Exemples:
ln6=ln(2×3)=ln2+ln3
ln1
3=-ln3
ln2
3=ln2-ln3
ln(109)=9ln10 (remarque : ln10≈2,3, donc
ln?109?≈20,7) ln?
5=12ln5
ln?e3?=3lne=3×1=3
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six>1, lnx>0
4. Équationset inéquationsSoientaetbdeux nombres strictement positifs.lna=lnbest équivalent àa=b.
lna lna>lnbest équivalent àa>b. 5. Nombre e
On appelle e le nombre (unique) dont le logarithmevaut 1 (notation due à Euler) :ln(e)=1. Valeur approchée : e≈2,718
6. Courbe représentative
O11 -1012345678910 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 e y=lnx Équations du type :ln(u(x))=0
ln(u(x))=0?ln(u(x))=ln1?u(x)=1 Exemple :ln(x-3)=0 équivaut àx>3 etx-3=1 doncx=4 Équations du type: ln(u(x))=ln(v(x)), avecu(x) etv(x) strictement positifs; il faut alors queu(x)=v(x).
III Fonction x?→ln[u(x)]
Soituune fonction définie, strictement positive et dérivable surun intervalleI. On considère la fonctionf, composée deusuivie de la fonction ln :f=ln◦u. fest définie parf(x)=ln(u(x)). Page 2/3
fest dérivable etf?=u?udonc, pour toutx?I,f?(x)=u?(x)u(x) Exemple :
Soitfla fonction définie surRparf(x)=ln(x2+x+1). f(x)=ln(u(x)) avecu(x)=x2+x+1.uest dérivable, strictement positive surRetu?x=2x+1. Alorsf?(x)=u?(x)
u(x)= 2x+1 x2+x+1 IV Propriétés algébriques
Préliminaire : étude d"une fonction :
Soita>0 un réel fixé, mais quelconque. On considère alors la fonctionfdéfinie parf(x)=ln(ax)-ln(x).
Pour toutx>0 on a :f?(x)=a
ax-1x=1x-1x=0. La dérivée defest nulle, donc la fonctionfest constante. Pour calculer cette valeur constante, il suffit de calculerfpour une valeur particulièredex. Pourx=1, on obtientf(1)=ln(a)-ln(1)=ln(a).
On en déduit que, pour toutx>0,f(x)=ln(a), donc ln(ax)-ln(x)=ln(a). Par conséquent :
ln(ax)=ln(a)+ln(x)(le logarithmed"un produit est égal à la somme des logarithmes). Propriétés
aetbsont deux nombres strictement positifs;nest un entier relatif. 1. Produit :ln(ab)=lna+lnb
2. Inverse :ln?1a?
=-lna 3. Quotient :ln?ab?
=lna-lnb 4. Puissances :ln?an?=nlna
5. Racine carrée :ln?a=12lna
Démonstrations:
ln(ab)=lna+lnbdécoule de ce qu"on a vu dans l"étude préliminaire. ln?
a×1 a? =ln(a)+ln?1a? et ln? a×1a? =ln(1)=0 donc ln?1a? =-ln(a). ln?a
b? =ln? a×1b? =ln(a)+ln?1b? =ln(a)+(-ln(b))=ln(a)-ln(b). ln(a)=ln??
a×?a?=ln??a?+ln??a?=2ln??a?donc ln??a?=12ln(a). Exemples:
ln6=ln(2×3)=ln2+ln3
ln1
3=-ln3
ln2
3=ln2-ln3
ln(109)=9ln10 (remarque : ln10≈2,3, donc
ln?109?≈20,7) ln?
5=12ln5
ln?e3?=3lne=3×1=3
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Nombre e
On appelle e le nombre (unique) dont le logarithmevaut 1 (notation due à Euler) :ln(e)=1.Valeur approchée : e≈2,718
6.Courbe représentative
O11 -1012345678910 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 e y=lnxÉquations du type :ln(u(x))=0
ln(u(x))=0?ln(u(x))=ln1?u(x)=1 Exemple :ln(x-3)=0 équivaut àx>3 etx-3=1 doncx=4Équations du type: ln(u(x))=ln(v(x)), avecu(x) etv(x) strictement positifs; il faut alors queu(x)=v(x).
III Fonction x?→ln[u(x)]
Soituune fonction définie, strictement positive et dérivable surun intervalleI. On considère la fonctionf, composée deusuivie de la fonction ln :f=ln◦u. fest définie parf(x)=ln(u(x)).Page 2/3
fest dérivable etf?=u?udonc, pour toutx?I,f?(x)=u?(x)u(x)Exemple :
Soitfla fonction définie surRparf(x)=ln(x2+x+1). f(x)=ln(u(x)) avecu(x)=x2+x+1.uest dérivable, strictement positive surRetu?x=2x+1.Alorsf?(x)=u?(x)
u(x)= 2x+1 x2+x+1IV Propriétés algébriques
Préliminaire : étude d"une fonction :
Soita>0 un réel fixé, mais quelconque. On considère alors la fonctionfdéfinie parf(x)=ln(ax)-ln(x).
Pour toutx>0 on a :f?(x)=a
ax-1x=1x-1x=0. La dérivée defest nulle, donc la fonctionfest constante. Pour calculer cette valeur constante, il suffit de calculerfpour une valeur particulièredex.Pourx=1, on obtientf(1)=ln(a)-ln(1)=ln(a).
On en déduit que, pour toutx>0,f(x)=ln(a), donc ln(ax)-ln(x)=ln(a).Par conséquent :
ln(ax)=ln(a)+ln(x)(le logarithmed"un produit est égal à la somme des logarithmes).Propriétés
aetbsont deux nombres strictement positifs;nest un entier relatif. 1.Produit :ln(ab)=lna+lnb
2.Inverse :ln?1a?
=-lna 3.Quotient :ln?ab?
=lna-lnb 4.Puissances :ln?an?=nlna
5.Racine carrée :ln?a=12lna
Démonstrations:
ln(ab)=lna+lnbdécoule de ce qu"on a vu dans l"étude préliminaire.ln?
a×1 a? =ln(a)+ln?1a? et ln? a×1a? =ln(1)=0 donc ln?1a? =-ln(a).ln?a
b? =ln? a×1b? =ln(a)+ln?1b? =ln(a)+(-ln(b))=ln(a)-ln(b).ln(a)=ln??
a×?a?=ln??a?+ln??a?=2ln??a?donc ln??a?=12ln(a).Exemples:
ln6=ln(2×3)=ln2+ln3
ln1
3=-ln3
ln2
3=ln2-ln3
ln(109)=9ln10 (remarque : ln10≈2,3, donc
ln?109?≈20,7)ln?
5=12ln5
ln?e3?=3lne=3×1=3
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[PDF] notre societe a t elle besoin de heros
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