[PDF] 5 Quelques lois discrètes - GERAD





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5. Quelques lois discrètes

Si X suit une loi de Bernoulli de param`etre p alors on note. X ? Bernoulli(p) (ou Bern(p)). MTH2302D: Lois discr`etes. 5/46. Page 6. 1/ 



6. Quelques lois continues

On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur si x ? b . MTH2302D: Lois continues. 5/30 ... Loi uniforme : calcul avec des logiciels.



7. Loi normale et théor`eme central limite

Les points d'inflexion du graphe de fX sont x = µ ± ?. MTH2302D: loi normale. 5/35. Page 6. 1/5.



9. Distributions déchantillonnage

5. Loi t de Student. 6. Distribution échantillonnale d'une différence de deux moyennes. 7. Distribution échantillonnale d'un rapport de variances.



Simulation dun système de production avec ARENA.

I. Modélisation & simulation. 5. I.2.5. Les lois discrètes : Par définition les variables aléatoires discrètes prennent des valeurs entières discontinues.



4. Vecteurs aléatoires discrets

En utilisant les distributions marginales pour le vecteur aléatoire. [X Y ]



Probabilités et Statistique

5. (Sous- -additivité) Soit I un ensemble fini ou dénombrable et @AiAiPI une On présente ici quelques-unes des lois discrètes les plus importantes.



DII - Plan du cours MAT1243 - UQO

14 jan. 2020 quelques lois de probabilités discrètes et continues; ... 5. Plan détaillé du cours sur 15 semaines : Semaine.



Statistiques descriptives et exercices

Le cours vise principalement à introduire et faire méditer les concepts fondamentaux 2 Étude d'une variable statistique discrète ... 5 Annexe historique.



Traitement du signal

2 Les types de signaux. 5. 2.1 Représentations spatiales et/ou temporelles . La transformée de Fourier discrète d'un signal échantillonné xe(t) de ...



5 Quelques lois discrètes - GERAD

1/52/53/54/55/5 Loi de Bernoulli Contexte Lors d’une epreuve de Bernoulli soit pla probabilit e d’un succ es et q= 1 pla probabilit e d’un echec Soit Xle nombre de succ es Alors R X = f0;1get p X(x) = ˆ 1 p si x= 0 p si x= 1 Si Xsuit une loi de Bernoulli de param etre palors on note X?Bernoulli(p) (ou Bern(p)) MTH2302D: Lois



Exercices sur les lois discrètes - e-monsite

Une urne contient 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes Une expérience consiste à tirer au hasard 4 fois de suite une boule et de la remettre On appelle ! la variable aléatoire qui associe le nombre de tirages gagnants 1) Prouver que ! suit une loi binomiale 2) Déterminer la loi de probabilité de !



Chapitre III VARIABLES ALEATOIRES 1 Généralités sur les

Exemples de lois "discrètes" 1 Loi "Uniforme discrète" 2 Loi de "Bernoulli" 3 Loi "Binomiale" 4 Loi de "Poisson" 5 Loi "Hypergéométrique" 6 Loi "Binomiale négative" 7 Loi "Géométrique" 8 Loi "Multinomiale" I- Loi UNIFORME X est une variable aléatoire qui prend les valeurs x 1 x 2 x n avec les probabilités pi=1/n II- Loi



Lois Discrètes - mathquagfileswordpresscom

Pour n 30 n ×p 5 et n ×(1-p ) 5 on pourrait observer que l’intervalle [a n b n] de fluctuation d’une variable aléatoire X de loi binomiale est sensiblement le même que l’intervalle 1 1 p p; n n vu en seconde Représentation Graphique ne pas oublier que la zone rejetée est soit inferieure ou égale soit



Chapitre 2 - alaloufcom

Statistique Chapitre 2 Lois discrètes 4 Serge Alalouf 22 mai 2018 iii) La probabilité p de succès à chaque épreuve reste fixe Si X est le nombre de succès obtenus au cours d’une telle expérience alors X est de loi binomiale de paramètres n et p Exemples 2 1 1 Quelques variables de loi binomiale 1



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2 Déterminer les lois marginales de X et Y 3 Calculer E[X] et E[Y ] 4 Calculer V[X] et V[Y ] 5 Calculer Cov(X Y ) 6 Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant que X = 1 Exercice 2 Soient deux variables aléatoires X et Y dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant : 1 Déterminer les lois marginales de X et de Y 2

Quels sont les exercices sur les lois discrètes?

    Exercices sur les lois discrètes Exercice n°1: Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes suivant toutes deux une loi binomiale. La probabilité du succès pour la variable X est de 0,45 et la probabilité de l’échec de la variable Y est de 0,2. De plus, on sait que chaque variable correspond à 5 épreuves de Bernouilli.

Comment définir une loi discrète ?

    X ne peut prendre que des valeurs isolées, on dit que X est une variable aléatoire discrète . X suit une loi binomiale, qui sera donc elle aussi qualifiée de loi discrète . Considérons un automate muni d’une batterie dont la capacité est de 5 heures. et soit X sa durée de fonctionnement.

Quelle est la fonction de répartition d’une loi discrète?

    Généralités Fonction de répartition d’une loi discrète Si X est une variable aléatoire telle que X( ) = f x 1;:::;x ng,safonctionderépartitionestégaleà F X(x) = P(X 6x) = P 16i6n x i6x P(X = x i) Fonction de répartition d’une loi continue Si X est une variable aléatoire de densité f, sa fonction derépartitionestégaleà F X(x) = P(X 6x) = Z x 1

Quelle est la différence entre une loi normale et une loi discrète?

    Comme les lois normales sont des lois continues, les < peuvent être confondus avec ? (et les > avec les ? ). Attention, ce n’est pas le cas avec les lois discrètes comme la loi binomiale par exemple. On utilise fréquemment les propriétés de symétrie de la loi normale par rapport à la droite verticale d’équation x = ?.
5 Quelques lois discrètes - GERAD

1/52/5 3/5 4/5 5/5

5. Quelques lois discretes

MTH2302D

S. Le Digabel,

Ecole Polytechnique de Montreal

A2017 (v2)

MTH2302D: Lois discretes1/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Plan

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes2/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes3/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Epreuve de BernoulliDenition

Uneepreuve de Bernoulliest une experience aleatoire dont le resultat peut ^etre soit unsucces, soit unechec, mais pas les deux simultanement.Exemple 1 On lance une piece une fois et on note le resultat. On appelle succes le fait d'obtenir PILE et echec le fait d'obtenir FACE.Exemple 2 On choisit au hasard une piece produite en serie et on la teste pour detecter les defectuosites. La piece peut ^etre defectueuse (succes) ou conforme (echec).

MTH2302D: Lois discretes4/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Bernoulli

Contexte

Lors d'une epreuve de Bernoulli, soitpla probabilite d'un succes et q= 1pla probabilite d'un echec.

SoitXle nombre de succes. AlorsRX=f0;1get

p

X(x) =1psix= 0,

psix= 1. SiXsuit une loi de Bernoulli de parametrepalors on note XBernoulli(p)(ou Bern(p)).MTH2302D: Lois discretes5/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Bernoulli (suite)

Theoreme

La fonction de repartition d'une variableXBernoulli(p)est F

X(x) =8

>:0six <0,

1psi0x <1,

1six1:MTH2302D: Lois discretes6/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Esperance et variance

SiXBernoulli(p), alors

1.E(X) =p.

2.V(X) =p(1p).MTH2302D: Lois discretes7/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes8/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale

Contexte

On eectuenrepetitions independantes d'une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp.

SoitXle nombre de succes parmi lesnresultats.

AlorsXsuit uneloi binomialede parametresnetp, denote

XB(n;p).

On aRX=f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes9/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

La fonction de masse d'une variable aleatoireXB(n;p)est p

X(x) =n

x p x(1p)nx pourx2 f0;1;2;:::;ng.MTH2302D: Lois discretes10/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale (suite)

La fonction de repartition de la loi binomiale est F

X(x) =xX

k=0 n k! p k(1p)nksix2 f0;1;2;:::;ng.

Siax < a+ 1avecaentier, alorsFX(x) =FX(a).

Comme le calcul deFX(x)est fastidieux lorsque quenest grand, on utilise souvent en pratique une table de loi binomiale (disponible sur le site w ebdu cours ).Exemple 3 Prouver queFX(n) = 1.MTH2302D: Lois discretes11/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Autres caracteristiques

SiXB(n;p), alors :

1.E(X) =np.

2.V(X) =np(1p).

3.Mediane :~x=bnpc.

4.Mode :x=b(n+ 1)pc.Exemple 4

Demontrer que E(X) =np.MTH2302D: Lois discretes12/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 5

Un lot contient 20 articles parmi lesquels 4 sont defectueux. On pige avec remise 7 articles du lot.

Calculer

1.La probabilite d'observer exactement un article defectueux.

2.La probabilite d'observer au moins 4 articles defectueux.

3.La moyenne et la variance du nombre d'articles defectueux.MTH2302D: Lois discretes13/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale : calcul avec des logiciels

I

Excel :

p

X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 0).

F

X(x) =LOI.BINOMIALE(x,n,p, 1).

I R : p

X(x) =dbinom(x,n,p).

F

X(x) =pbinom(x,n,p).MTH2302D: Lois discretes14/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi binomiale : traces enR

SoitXB(n= 50;p= 0:2).

I

Fonction de massepX(x):

x=seq(0,50,1); px=dbinom ( x=x, size=50, prob=0.2 ); plot ( x, px, type="h", xlab="x", ylab="p(x)", main="fonction de masse de XB(n=50,p=0.2)"). I

Fonction de repartitionFX(x):

x=seq(0,50,0.1);

Fx=pbinom ( q=x, size=50, prob=0.2 );

plot ( x, Fx, type="s", xlab="x", ylab="F(x)", main="fonction de repartition de XB(n=50,p=0.2)").MTH2302D: Lois discretes15/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 fonction de masse de X~B(n=50,p=0.2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes16/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~B(n=50,p=0.2) x

F(x)MTH2302D: Lois discretes17/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Proportion de succes

SoitXB(n;p)et^p=Xn

laproportion de succesparmi lesn epreuves.

Alors^pest une variable aleatoire et

1.E(^p) =p.

2.V(^p) =p(1p)n

.Exemple 6 Un procede de fabrication produit 5% d'articles non conformes. Un echantillon de 50 unites de cet article est preleve. Quelle est la probabilite qu'il y ait plus de 7% d'articles non conformes dans l'echantillon?

MTH2302D: Lois discretes18/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes19/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique

Contexte

On repete continuellement et de facon independante une epreuve de Bernoulli dont la probabilite de succes estp. SoitXle nombre d'epreuves necessaires pour obtenir un premier succes. AlorsXsuit uneloi geometriquede parametrep, denote

XGeom(p).

On aRX=f1;2;3;:::g.MTH2302D: Lois discretes20/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

La fonction de masse d'une variable aleatoireXGeom(p)ou

XG(p)est

p

X(x) = (1p)x1ppourx= 1;2;3;:::.

La fonction de repartition d'une variable aleatoireXGeom(p) est F

X(x) =(1(1p)asix2[a;a+ 1[aveca2Neta1,

0sinon.MTH2302D: Lois discretes21/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

Exemple 7

Montrer quepXest une fonction de masse.Exemple 8

Montrer queFX(x) = 1(1p)xsixest entier.MTH2302D: Lois discretes22/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

SiXGeom(p)alors

1.E(X) =1p

2.V(X) =1pp

2.MTH2302D: Lois discretes23/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique : calcul

I

Excel : faire les calculs directement.

I

R (avecRX=f1;2;:::;g) :

p

X(x) =dgeom(x,p).

F

X(x) =pgeom(x,p).MTH2302D: Lois discretes24/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 051015202530

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 fonction de masse de X~G(p=0.2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes25/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 01020304050

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~G(p=0.2) x

F(x)MTH2302D: Lois discretes26/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 9

On lance un de continuellement jusqu'a l'obtention d'un six. Soit

Xle nombre de lancers necessaires.

Quels sont la moyenne, la variance, et l'ecart-type deX?MTH2302D: Lois discretes27/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi geometrique (suite)

Theoreme

Propriete d'absence de memoire : siXGeom(p)alors pour tous t;s >0

P(X > s+tjX > t) =P(X > s):Exemple 10

Prouver le theoreme.

MTH2302D: Lois discretes28/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 11

On lance un de continuellement jusqu'a l'obtention d'un 6. SoitX le nombre de lancers necessaires.

1.Quelle est la probabilite d'obtenir un premier 6 au deuxieme

lancer?

2.Quelle est la probabilite qu'il faille plus de 10 lancers pour

obtenir un 6?

3.Si aucun 6 n'a ete obtenu lors des 8 premiers lancers, quelle

est la probabilite qu'au moins deux autres lancers soient necessaires?

MTH2302D: Lois discretes29/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes30/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi hypergeometrique

Contexte

On tire sans remisenobjets d'un ensemble deNobjets dontD possedent une caracteristique particuliere (et les autresNDne la possedent pas). SoitXle nombre d'objets de l'echantillon qui possedent la caracteristique. AlorsXsuit uneloi hypergeometriquede parametresn;N;D, denoteXH(N;D;n). On aRX=fmaxf0;nN+Dg;:::;min(n;D)g.MTH2302D: Lois discretes31/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi hypergeometrique (suite)

La fonction de masse d'une variable aleatoireXH(N;D;n)est p

X(x) =

D x ND nx N n pourx2RX.MTH2302D: Lois discretes32/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi hypergeometrique (suite)

SiXH(N;D;n)alors

1.E(X) =nDN

2.V(X) =nDN

1DN NnN1

MTH2302D: Lois discretes33/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi hypergeometrique : calcul

I

Excel :

p

X(x) =LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x,n,D,N, 0).

F

X(x) =LOI.HYPERGEOMETRIQUE.N (x,n,D,N, 1).

I R : p

X(x) =dhyper(x=x, m=D, n=ND, k=n).

F X(x) =phyper(q=x, m=D, n=ND, k=n).MTH2302D: Lois discretes34/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 12

Une bo^te contient 8 composants parmi lesquels 2 sont defectueux. Trois composants sont pris au hasard et sans remise de la bo^te. SoitXle nombre de composants defectueux dans l'echantillon. Donner la fonction de masse deX, ainsi que E(X)et V(X).MTH2302D: Lois discretes35/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

1. Loi de Bernoulli

2. Loi binomiale

3. Loi geometrique

4. Loi hypergeometrique

5. Loi de Poisson

MTH2302D: Lois discretes36/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Poisson

Une variable aleatoireXsuit uneloi de Poissonde parametre c >0si p

X(x) =eccxx!six= 0;1;2;:::.

Ceci est denoteXPoi(c).

Le parametreccorrespond a la moyenne de la loi de Poisson.MTH2302D: Lois discretes37/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Poisson : calcul

I Livre page 473 (2eme edition) / page 509 (3eme edition) et site web du cours I

Excel :

p

X(x) =LOI.POISSON (x,c, 0).

F

X(x) =LOI.POISSON (x,c, 1).

I R : p

X(x) =dpois (x=x, lambda=c).

F X(x) =ppois (q=x, lambda=c).MTH2302D: Lois discretes38/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 02468

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 fonction de masse de X~Poi(c=2) x p(x)MTH2302D: Lois discretes39/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5 02468

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 fonction de répartition de X~Poi(c=2) x

F(x)MTH2302D: Lois discretes40/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemple 13

Une machine utilisee dans une cha^ne de production tombe en panne en moyenne 2 fois par mois.

SoitXle nombre de pannes par mois.

En supposant queXsuit une loi de Poisson, quelle est la probabilite que dans un mois donne la machine

1.Ne tombe pas en panne?

2.Tombe en panne au moins deux fois?MTH2302D: Lois discretes41/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Loi de Poisson

SiXPoi(c), alors

1.E(X) =c:

2.V(X) =c.Exemple 14

Demontrer que E(X) =c.Exemple 15

Trouver la mediane deXPoi(c= 2).MTH2302D: Lois discretes42/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Processus de Poisson

Considerons un type d'evenement survenant dans le temps. Le comptage du nombre de realisations de l'evenement est un processus de Poissonsi I Pour deux intervalles de temps disjoints, le nombre de realisations dans l'un et l'autre intervalle sont independants. I Pour tout intervalle de temps de dureet, le nombre de realisations suit une loi de Poisson de parametrec=t, ou >0est le nombre moyen de realisations par unite de temps.MTH2302D: Lois discretes43/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Exemples supplementaires

Autres situations ou la v.a. suit une loi de Poisson :

1.Le nombre de voitures arrivant a un feu de circulation en 5

minutes.

2.Le nombre de defauts sur une piece usinee.

3.Le nombre d'erreurs typographiques sur une page d'un livre.

4.Le nombre de clients entrant dans un magasin en une journee.

5.Le nombre de particules alpha emises par un materiau

radioactif en une minute. Remarque :On suppose, dans tous ces exemples, que le nombre moyen de realisations de l'evenement d'inter^et par unite de temps, dimension, nombre d'epreuve, etc., est modere.

MTH2302D: Lois discretes44/46

1/52/5 3/5 4/5 5/5

Approximations

Approximation d'une loi hypergeometrique par une binomiale

SoitXH(N;D;n). Sin=Nest petit alorsXsuit

approximativement une loi binomiale B(n;p), oup=DN

P(X=x) =

D x ND nx N n 'nquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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