[PDF] Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles

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Chapitre 3

Evenements independants etProbabilites conditionnellesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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IndependanceDenition

Deux evenementsAetBsont ditsindependantssi

P(A\B) =P(A):P(B)Attention :Ne pas confondre independants et disjoints! (A etBsont disjoints siP(A\B) = 0, cadA\B= 0 ) Exemple 1On tire au hasard, dans un jeu de 32 cartes non truque, une carte, puis sans la remettre, une autre. Soit

A: "la premiere carte tiree est un coeur"

B: "la seconde carte tiree est un coeur"

Les evenements A et B sont-ils independants?P(A) =card(A)card( =832 =14

P(B) =card(B)card(

); card(B) depend de la premiere etapeRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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SiAalors card(B) = 7 etP(B) =731

SiAalors card(B) = 8 etP(B) =831

Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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P(A\B) =14

x731 =7124

P(A\B) =14

x2431 =631

P(A\B) =34

x831 =631

P(A\B) =34

x2331 =69124

Rq :P(A\B) +P(A\B) +P(A\B) +P(A\B) = 1

P(B) =P(A\B)[(A\B)=P(A\B) +P(A\B) =

7124
+631
=14

P(A\B)6=P(A)P(B))A et B ne sont pas independantsRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Avec remise, on a

P(A\B) =14

x14

=P(A)P(B))A et B sont independantsRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Exemple 2 :

Soit une famille de deux enfants. A="la famille a des enfants des 2 sexes", B="la famille a, au plus, une lle".

A et B sont-ils independants?

A=f(F;G);(G;F)g )P(A) =24

=12

B=f(F;G);(G;F);(G;G)g )P(B) =34

(B=f(F;F)g)

A\B=A)P(A\B) =12

6=P(A)P(B)

)A et B ne sont pas independantsRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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M^eme question avec 3 enfants.

=f(F;F;F);(F;F;G);(F;G;F);(F;G;G); (G;F;F);(G;F;G);(G;G;F);(G;G;G)gA=f(F;F;F);(G;G;G)g )P(A) =68 =34

B=f(F;G;G);(G;F;G);(G;G;F);(G;G;G)g )

P(B) =48

=12

A\B=f(F;G;G);(G;F;G);(G;G;F)g

)P(A\B) =38 =P(A)P(B) )A et B sont independants

(ceci est uniquement vrai pourn=3)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Remarques

1Pour tout evenement A, A et

sont independants P( ) = 1)P(A\ ) =P(A) =P(A)P( )2Soient A et B deux evenements non impossibles. Si A et B sont disjoints, alors A et B ne sont pas independants.

A\B= 0)P(A\B) = 06=P(A)P(B)

car A et B ne sont pas impossibles3Si A et B sont independants alors A etB le sont aussi.

P(A) =P((A\B)[(A\B)) =P(A\B) +P(A\B))

car (A\B) et (A\B) sont disjoints =P(A)P(B) +P(A\B) carAetBsont independants )P(A\B) =P(A)P(A)P(B) =P(A)(1P(B)) =P(A)P(B) )A etB sont independants Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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GeneralisationDenition

Les evenementsA1;A2;:::;Ansontmutuellement

independantssi8p2Ntel que 2pnet pour toute collection de p evenementsAi1;Ai2;:::;Aipon a

P(Ai1\Ai2\:::\Aip) =P(Ai1)P(Ai2):::P(Aip)Remarque:il y aC2n+C3n+:::+Cnn= 2nC1nC0n= 2nn1 conditions a verier

Cas particulier :Trois evenements A, B et C sont

mutuellement independants si :P(A\B) =P(A)P(B),

P(A\C) =P(A)P(C),P(B\C) =P(B)P(C) et

P(A\B\C) =P(A)P(B)P(C)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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ProbabiliteconditionnelleDenition

Soient A et B deux evenements d'une m^eme epreuve et B un evenement non impossible (P(B)6= 0). On appelle probabilite conditionnellede A sachant (que l'evenement) B (s'est realise), noteePB(A) =P(AjB) =P(AsachantB), la probabilite

P(A\B)P(B)Remarques

1Si A et B sont independants

P(AjB) =P(A\B)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)2P(BjA) =P(B\A)P(A)=P(AjB)P(B)P(A)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Dans les exemples precedents:

Jeu de carte sans remise

P(BjA) =P(A\B)P(A)=7=1241=4=731

P(AjB) =P(A\B)P(B)=7=1241=4=731

Famille de 2 enfants

P(AjB) =P(A\B)P(B)=1=23=4=23

P(BjA) =P(A\B)P(A)=1=21=2= 1 (AB)9 boules numerotees dans une urne ; A="le n tire est un multiple de 3"; B="le n

tire est impair"A=f3;6;9g )card(A)=3)P(A) =13B=f1;3;5;7;9g )card(B)=5)P(B) =59A\B=f3;9g )card(A\B)=2)P(A\B) =29

P(AjB) =P(A\B)P(B)=25

P(BjA) =P(A\B)P(A)=23

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Formule des probabilites totalesTheoreme

Soit (Ai)i=1::nune collection d'evenements non impossibles formant une partition de . Alors pour tout evenementBde

P(B) =nX

i=1P(B\Ai) =nX i=1P(BjAi)P(Ai)Corralaire

Soit A un evenement de

tel que 0P(B) =P(B\A)+P(B\A) =P(BjA)P(A)+P(BjA)P(A)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Exemple :Une compagnie d'assurance a deux categories de clients :les jeunes conducteurs qui ont une probabilite d'accident de 40% (sur 5 ans)les autres, dont la probabilite d'accident est 20% Les jeunes conducteurs representent 30% de la clientele de la compagnie. Quelle est la probabilite d'avoir un accident pour un client quelconque? Soit A l'evenement "avoir un accident"et J l'evenement "^etre un jeune conducteur". Alors

P(A) =P(AjJ)P(J) +P(AjJ)P(J)

= 0;4x0;3 + 0;2x0;7 = 0;26Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Formule de Bayes

Formule de probabilite des causes.

Exemple :Un labo commercialise un test medicalle test est positif chez 95% des personnes atteintes (5%

de "faux negatifs")le test est negatif chez 99% des personnes saines (1% de "faux positifs") La maladie touche 0,5% de la population. Une personne passe le test et le resultat est positif. Quel est la probabilite qu'elle soit atteinte? Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Formule de Bayes

Theoreme

SoientAetBdeux evenements non impossibles. Alors

P(AjB) =P(A\B)P(B)=P(BjA)P(A)P(BjA)P(A) +P(BjA)P(A)Dans l'exemple, en denissant A="la personne est atteinte"et

B="le test est positif", on aP(A) = 0;005P(BjA) = 95% et

P(BjA) = 0;01. Ainsi

P(AjB) =0;95x0;0050;95x0;005 + 0;01x0;995'0;32Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Formule de Bayes

Generalisation

Soit (Ai)i=1::nune collection d'evenements non impossibles formant une partition de . Alors pour tout evenementBnon impossible:

P(AijB) =P(Ai\B)P(B)=P(BjAi)P(Ai)P

n i=1P(BjAi)P(Ai)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Formule des probabilites composeesFormule des probabilites composees Soit (Ai)i=1::nune collection d'evenements telle que

P(A1\A2\:::\Am)6= 0, alors

P(A1\A2\:::\An) =P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1\A2)

:::P(AnjA1\A2\:::\An1)Cas particuliers : n=2 :P(A1\A2) =P(A2jA1)P(A1) (def proba cond)n=3 :P(A1\A2\A3) =P(A3jA1\A2)P(A1\A2) =P(A3jA1\A2)P(A2jA1)P(A1)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Exemples :

Soit un jeu de 32 cartes. On tire les cartes une par une et sans remise. Quelle est la probabilite de tirer le 1 eras au 3 emetirage? On noteAi="on obtient un as auimetirage". On cherche alorsE=A 1\A

2\A3. On a donc:

P(E) =P(A

1)P(A 2jA

1)P(A3jA

1\A 2) 2832
x2731 x430 =63620 '0;10Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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On a un trousseau denclefs. Une seule ouvre la porte. On essaye chaque clef (une fois) jusqu'a ouvrir la porte. Quel est la probabilite que lakemeclef ouvre la porte? On noteAi="leimeessai est un echec". On cherche alors

E=A1\A2\:::\Ak1\A

k. On a alors :

P(E) =P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1\A2)

:::P(Ak1jA1\:::\Ak2)P(A kjA1\:::\Ak1) n1n xn2n1xn3n2:::n(k1)n(k2)x1n(k1) 1n Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nancequotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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