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4. Bilan mécanique et thermodynamique pour

un système en écoulement permanentClaude Cohen-TannoudjiConstantine 1933

Ancien élève de l"ENS , il entre au CNRS et travaille au LKB avec A. Kastler et J.Brossel. Il devient professeur

à Paris VI, puis il est nommé professeur au Collège de France en 1973.

Sur le thème général des interactions entre atomes et photons, il introduit la notion d"atome "habillé » par les

photons. Plus récemment il manipule la position et la vitesse d"atomes neutres par des faisceaux laser et met au

point avec Aspect et Dalibard des méthodes de refroidissement des atomes jusqu"au milliardième de degré absolu.

Ces résultats ont permis d"obtenir les horloges atomiques les plus précises et les plus stables du monde. Il a obtenu

le prix Nobel en 1997, conjointement avec les américains Chu et Philips, pour ses travaux sur le refroidissement et le

confinement d"atomes par Laser. I. Systèmes ouverts. Systèmes fermés. Bilan de masse

On illustre la différence entre systèmes ouverts et fermés en faisant un bilan de masse pour un fluide en

écoulement permanent dans une tuyère de sectionSvariable.1. Considérons le système constitué par le fluide de masse volumique, de vitessec, contenu dans la

région délimitée par la surface de contrôle S Cen pointillés à l"instant t. Ce système est un système ouvert:

à une date différente, les molécules qui constituent le système auront changé. Soitm(t)la masse du système

à la datet, etm(t+dt)la masse du système à la datet+dt: m(t+dt)m(t) =1c1S1dt2c 2S2dt En régime permanentm(t)est constante et le débit massiqueDm(en kg.s1) est constant: D m=1c1S1=c2S2

2. Considérons le système fermé constitué par le fluide de masse volumique, de vitessec, contenu dans

la région S

Cà l"instant t + le fluide entrant dans cette région entre l"instanttett+dt. En régime premanent,

ce système est constitué à la datet+dtdu fluide dans la région SCàt+dt+ le fluide qui est sorti de cette

région entretett+dt. La masse de ce système n"a pas varié: m(t) =mSC+1c1S1dtetm(t+dt) =mSC+2c2S2dt. On retrouve1c1S1=c2S2 Remarque: le débit volumiqueDV=cSn"est conservé que si l"écoulement est incompressible. Dans la suite les bilans seront effectués sur des systèmes fermés II. Exemple de bilan de quantité de mouvement en mécanique Principe: Pour un système fermé, on exprime la quantité de mouvement !P(t)et!P(t+dt). Puis en référentiel galiléen, on exprime la loi foncdamentale de la dynamique: d !Pdt =limdt!0!P(t+dt)!P(t)dt =!Fext

Exemple 1: la fusée

Exemple 2: force exercée par un fluide sur une canalisation

On peut de même envisager des bilans de moment cinétique sur un système fermé en lui appliquant le

théorème du moment cinétique

III. Bilan d"énergie

III.1. Bilan d"énergie en mécanique

Théorème de l"énergie cinétique: En référentiel galiléen, la variation d"énergie cinétique d"un système

est égale à la somme des travaux des forces intérieures et extérieures.

Ec=Wext+Wint

ou(Ec+Ep) =Wnc;ext+Wint

Conséquence: Le principe vu en II ne peut être utilisé que si le travail des forces intérieures est connu.

Pour un fluide visqueux ou compressible, ce travail des forces intérieures est non nul et cela devient

rapidement compliqué...

III.2. Bilan d"énergie en thermodynamique

Premier principe de la thermodynamique: la variation d"énergie totale du système (énergie mécanique+énergie

interne) est égale au travail extérieur des forces non conservatives + transfert thermique reçu

(Ec+Ep+U) =Wnc;ext+Q III.3. Premier principe appliqué aux écoulements permanents

On applique le premier principe à un fluide en écoulement permanent qui subit une transformation (pompe,

turbine, échangeur de chaleur,etc..):En amont, la pression est p Aet le volume massique est vA:En aval, la pression est pBet le volume massique est v B h;e

c;epsont l"enthalpie, l"énergie cinétique, l"énergie potentielle massiques du fluide. On fait un bilan

énergétique entre t et t+dt pour le système fermé constitué à l"instant t du fluide contenu entre les sections

S

Aet SB+ le fluide entrant par SAentre t et t+dt:

2 (U+Ec+Ep)t+dt(U+Ec+Ep)t=m(u+ec+ep) =pAvAmpBvBm+ (q+wu)m h;e c;epsont l"enthalpie, l"énergie cinétique, l"énergie potentielle massiques du fluide

q est le transfert thermique massique,wule travail "utile" massique (c"est-à-dire le travail reçu par le fluide

autre que celui des forces de pression du fluide lui-même) reçus par le fluide au cours de la transformation.

On obtient donc:

(h+ec+ep) =q+wu Formulation équivalente en termes de puissances: P Wet PQétant respectivement la puissance mécanique "utile" et la puissance thermique reçues par le fluide etDmson débit massique: D m((hB+ecB+epB)(hA+ecA+epA)) =PW+PQ

III.4. Exemples

III.4.a. Détente de Joule-Thomson (ou Joule-Kelvin)

Un fluide s"écoule lentement en régime permanent dans une canalisation horizontale calorifugée (q=0) à parois

rigides (w u= 0)et présentant un étranglement ou un passage par un milieu poreux avec éventuellement changement de section.

L"application du premier principe donne:

(u+ec+ep) =pAvApBvB (h+ec+ep) = 0

Si on peut négliger l"énergie cinétique (écoulement "lent") et la variation d"énergie potentielle (conduite

horizontale): h= 0

La détente est isenthalpique. Conséquence: un gaz parfait ne change pas de température au cours d"une

détente de Joule-Thomson.

III.4.b. Écoulement dans une tuyère

III.4. Diagrammes de Mollier

En raison de l"importance de l"enthalpie dans les applications du premier principe industriel, il est d"usage

d"utiliser les diagrammes de Mollier relatifs à un fluide, portant la pression en fonction de l"enthalpie massique

d"un fluide. Ce diagramme permet de "lire" directement les valeurs des transferts thermiques ou travaux utiles

échangés comme des variations d"enthalpie.3

IV. Bilan entropique

IV.1. Second principe appliqué aux écoulements permanents

On applique le second principe à un fluide en écoulement permanent qui subit une transformation en faisant

un bilan entropique entre t et t+dt pour le système fermé formé à l"instant t par le fluide contenu entre les

sections S Aet SB+ le fluide entrant par SAentre t et t+dt (mêmes notations qu"en III): S t+dtSt=ms=Sech+Screee

En notantsechl"entropie massique échangée par le fluide à travers la paroi de la canalisation etscreee

l"entropie massique créée par irréversibilité: s=sech+screee

IV.2. Exemple: Détente de Joule-Thomson

La paroi de la canalisation est calorifugée, doncsech= 0=)s=screee0

Pour un gaz parfaitT= 0ets=CpmM

LnPBP Aqui est bien positif (détente puisqu"il y a écoulement de

A vers B)

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