[PDF] Chapitre 4 : équations de bilan

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Chapitre4:équationsdebilan

Mecanique des

uides

Christophe Ancey

Chapitre4:équationsdebilan

Principes de conservation

Specicites des

uides

Theoremes de transport

Theoreme de Bernoulli

Applications du theoreme de Bernoulli

my headerMecanique des uides 2 o

Unpetitquizpours'échauffer

Onperce trois trous dans un reservoir rempli

d'eau. Il se forme trois jets. Quel est le jet qui va le plus loin?Oninsue de l'air entre une plaque mobile et une plaque xe. Que fait la plaque mobile? my headerMecanique des uides 3 o

Principes

Ilexiste trois principes fondamentaux en physique

la masse se conserve; la variation de quantite de mouvement (massevitesse) est egale a la somme des forces appliquees; l'energie totale se conserve : c'est le premier principe de la thermodynamique. my headerMecanique des uides 4 o

Descriptionseulérienneetlagrangienne

Dansla description eulerienne, on considere un point xe M du volume de uide et on regarde les particules passer. La vitesse du uide au point M correspond alors a celle de la parcelle de uide qui se situe en M au tempst. my headerMecanique des uides 5 o

Descriptionseulérienneetlagrangienne

Dansla description lagrangienne, on considere une parcelle de uide que l'on suit dans son mouvement au l du temps my headerMecanique des uides 6 o

Descriptionseulérienneetlagrangienne

Lechoix d'une description est une aaire de

convenance.

En mecanique des

uides, il est plus facile de travailler en eulerien car un uide possede un nombre inniment grand de parcelle de uides, dont le mouvement est irregulier (surtout si l'ecoulement est turbulent). En mecanique des solides, il est plus facile de travailler en lagrangien car les parcelles de solides restent proches les unes des autres au cours du temps. my headerMecanique des uides 7 o

Dérivéelagrangienne

Considere un nageur qui plonge dans de l'eau,

dont la temperature varie deT1aT2en fonction de la profondeurxsous l'eet du soleil. Si le nageur est immobile (U= 0) on a

T=cst)dTdt

=0

La temperature ressentie par le nageur ne

change pas. my headerMecanique des uides 8 o

Dérivéelagrangienne

Sile nageur nage vers le fond avec une vitesse

U >0, alors la temperature ressentie diminue

avec la profondeur

T=T2xh

T1xhh

Lavariation de temperature ressentie est donc

d Tdt =dTdx d xdt =UT2T1h =UrT alors qu'en un point M xe quelconque, la temperature (eulerienne) reste xe, donc @T@t = 0: my headerMecanique des uides 9 o

Dérivéelagrangienne

Simaintenant la temperatureT1augmente au

cours de la journee et que le nageur reste a la m^eme place alors les points de vue lagrangien et eulerien concident : @T@t =dTdt my headerMecanique des uides 10 o

Dérivéelagrangienne

Ennsi le nageur se met a plongeur dans

cette eau a temperature variableT(x;t), alors la temperature ressentie est d Tdt =@T @t +UrT: d Tdt derivee materielle ou lagrangienne @T@t derivee locale

UrTterme d'advection

my headerMecanique des uides 11 o

Dérivéelagrangienne:synthèse

Considerons la fonction temperatureT(x;t). Si on se place en un endroit xe, la variation locale de temperature en un pointxau cours du tempstest representee par une dierentielle partielle@T@t Si maintenant on tient compte du fait que la temperature varie non seulement du fait de processus locaux (p. ex. conduction de chaleur), mais aussi parce que le uide se deplace et transporte de la chaleur (convection), alors la variation totale de temperature comprend ces deux processus. Considerons une petite parcellede uide, qui est enxa l'instantt. Elle est transportee a la vitesseu. my headerMecanique des uides 12 o

Doncau tempst+ dt, la temperature sera

T+ T=T(x+udt;t+ dt) =T(x;t) + dt

u@T@x +@T@t (developpement de Taylor a l'ordre 1) soit le taux de variation de la temperature d Tdt =lim d t 0Tdt =@T @t |{z} variation temporelle+u@T@x |{z} transport convectif On retrouve le fait que lorsqu'on suit une particule dans son mouvement, la variation totale comprend deux termes : une variation locale et un terme de transport appeleconvectionouadvection. my headerMecanique des uides 13 o

Application:accélération

Quelleque soit la description (eulerienne/lagrangienne), l'acceleration d'une particulede uide animee de la vitesseuest denie comme a=dudt =lim d t

0u(x+udt;t+ dt)u(x;t)dt

=@u @t +u@u@x Un resultat que l'on peut generaliser en dimension 3 avecu= (u;v;w) a=ddt u=lim d t

0u(x+udt;t+ dt)u(x;t)dt

=@u@t u r)u: ou on a deni l'operateur (dans un systeme cartesienx;y;z) u r) =u@@x +v@@y +w@@z Remarque : la derivee lagrangienne est parfois notee DDt my headerMecanique des uides 14 o

Volumedecontrôle

Enmecanique des

uides, on peut travailler en un point donne : description locale le mouvement est decrit par un systeme d'equations aux derivees partielles sur un volume de uide, ditvolume de contr^ole : description plus globale le mouvement est decrit par des equations integrales my headerMecanique des uides 15 o

Théorèmedetransportendimension1

Onconsidere un

volume de contr^oleen dimension 1 compris entre A et B, deux points se deplacant a la vitesse _aet_b.derivee d'une primitive (denition d'une primitive) : ddtZ t 0 f()d=f(t): my headerMecanique des uides 16 o

Théorèmedetransportendimension1

derivee d'une primitive avec borne variable : ddt Z a t 0 f()d=f(a(t))_a(t): derivee d'une fonction composee : ddt Z b a f(x;t)dx=Z b a@f(x; t)@t d x: formule de Leibniz : ddt Z b t a t f(x;t)dx=Z b t a t )@f(x; t)@t d x+f(b(t))dbdt f(a(t))dadt ouencore ddtZ b t a t f(x;t)dx=Z b t a t )@f(x; t)@t d x+Z b t a t )@@x f(x; t)u(x;t))dx my headerMecanique des uides 17 o

Généralisationendimension2ou3

Laformule de Leibniz se generalise aux dimensions superieures ddt Z V fdV=Z V @f @t +r (fu) d V soit encore (par utilisation du theoreme de Green-Ostrogradski) ddt Z V fdV=Z V@f @t d V+Z S fundS avecSla surface enveloppe le volume de contr^ole V.

On note la decomposition

variation temporelle au sein du volume@tf uxfunaux frontieres du domaine (advection) my headerMecanique des uides 18 o

Conservationdelamasse

Leprincipe de conservation de la masse impose

d Mdt =0avecM=Z V x ;t)dV soit ddt Z V d V=Z

V@%(x; t)

@t d V+Z S undS; ou bien encore ddt Z V d V=Z V @%(x; t) @t +r (%u) d V et la forme locale est x ; t )@t +r (%u) = 0 my headerMecanique des uides 19 o

Conservationdelamasse

L'equation de conservation locale de la masse est appelee aussiequation de continuite1% d %dt =ru: Si le uide est incompressible ou l'ecoulement isochore :%=constante, donc l'equation de continuite devient : r u= 0: Ecrite sous forme algebrique, cette equation s'ecrit en dimension 2 : r u=@u@x +@v@y = 0; my headerMecanique des uides 20 o

Corollaire:théorèmedeReynolds

Sifestune fonction massique, alors

ddt Z V %fdV=Z V @%f @t +r (%fu) d V Z V %@f@t +%u rf+f@%@t +fr (%u) d V En se servant de l'equation de continuite et de la denition de la derivee lagrangienne, on trouveddt Z V %fdV=Z V %ddt fdV: Inter^et : on peut exprimer les principes de conservation de la masse en considerant f= 1(conservation de la masse),f=u(conservation de la quantite de mouvement),f=e(eenergie interne massique, conservation de l'energie) my headerMecanique des uides 21 o

Conservationdelaquantitédemouvement

Leprincipe fondamental de la dynamique veut que toute variation (temporelle) de quantite de mouvement resulte de l'application de forces. Donc, on peut ecrire une relation generale de la forme ddtquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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