Exo7 - Cours de mathématiques PDF

Chapitre 7 : Intégrales généralisées

On parlera d'intégrale généralisée ou bien d'intégrale impropre. les sous-suites d'une suite convergente convergent vers la même limite donc les deux ...

TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 En somme quelles fonctions sont susceptibles d'intégration ? ... En pratique

Intégrales impropres

Nous allons apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés soit parce que l'intervalle d'intégration est infini. (allant jusqu'à +? ou ??)

Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires

Par conséquent dans la suite on ne consid`ere que le cas des fonctions positives. Crit`ere de la convergence majorée. Si f est positive alors l'intégrale. ? b.

Exercices de mathématiques - Exo7

(Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes : Soit f de classe C1 sur R+ à valeurs dans R telle que l'intégrale / +?.

TD n 8 : Intégrales impropres

(d) Donner l'allure de la courbe représentative de F. Exercice 4. Ecricome 1997 (suite). Soit ? un réel tel que ? > 1. Pour tout n ? N on pose

Chapitre 2 - Intégrales généralisées (ou impropres)

Pour montrer la divergence d'une intégrale il suffit alors d'exhiber une suite (xn) qui converge vers b telle que la série (2.1) soit divergente. 2.4

Calcul Intégral et Différentiel

Théorème 3.9 (Formule de changement de variables pour les intégrales impropres). Soient a<b c<d quatre réels

Cours danalyse ECS deuxième année

2 sept. 2012 1.3.2 Suites définies par une récurrence linéaire d'ordre k (k > 1) . ... 3.7 Techniques de calcul des intégrales impropres .

Intégrales impropres 1 Extension par continuité

On supposera donc connues la définition et les principales propriétés de l'intégrale d'une fonction continue

Intégrales impropres Vidéo — partie 1 Définitions et premières propriétés Vidéo — partie 2 Fonctions positives Vidéo — partie 3 Fonctions oscillantes Vidéo — partie 4 Intégrales impropres sur un intervalle borné Vidéo — partie 5 Intégration par parties Changement de variable 1 Dé?nitions et premières propriétés

Calcul intégral Exercices corrigés

Pour les int´egrales impropres on va proc´eder comme pour les s´eries : on disposera d’une liste de cas types pour lesquels la nature de l’int´egrale est connue et on traitera les autres cas par des th´eor`emes de comparaisons ou des techniques plus ?nes

Suites limites intégrales impropres - sorbonne-universitefr

3 2 Integrales impropres On note C0([a;b];R) l’ensemble des fonctions continues : [a;b] à valeurs dans R (On rappelle que f: I!R estcontinueenunpointx 0 2Isilim x!x 0;x2If(x) estbiendé?nie ElleestcontinuesurIsi elleestcontinueentoutpointx 0 deI Danslecasoùf2C0([a;b];R)où[a;b] estdoncunsegmentdeRl’intégrale R b a f(x)dxesttoujours

Calcul intégral Exercices corrigés - Meabilis

1 20 Intégrale et suite 5 23 1 21 Méthode d’Euler Am du Nord 2006 23 1 22 Equa diff intégrale volume Am du Sud 2004 26 1 23 Equa diff + fonction+intégrale Antilles 2001 28 1 24 La chaînette 31 1 25 Primitive de ln 37 1 26 Equation différentielle 38 1 27 Equation différentielle et primitive 39 1 28

Chapitre 28 : intégrales impropres

Chapitre 28 : intégrales impropres 1 Définitions Définition 1 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle[a;b[ avec ??

Quels sont les exercices corrigés de calcul intégral?

Calcul intégral Exercices corrigés 1. 1. Calcul de primitives 1 1. 2. Basique 1 1 1. 3. Basique 2 2 1. 4. Centre de gravité (d’après bac pro) 2 1. 5. QCM 1 3 1. 6. QCM 2 3 1. 7. QCM 3 4 1. 8. Calcul d’intégrales, fonction rationnelle 5 1.

Comment calculer l’intégrale d’un plan?

1. Comme m?0 et que fest positive sur [m; 0] , l’intégrale en question est l’aire de la partie de plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe (C) et les droites d’équation (x = m) et (x= 0). 2. a. Faisons, comme suggéré par l’énoncé, une intégration par parties : ( ) '( ) 1 '( ) ( )x x

Quels sont les différents types d’intégrales ?

Différents types d’intégrales : intervalle non borné,fonction de signe constant; intervalle non borné,fonction oscillante; intervalle borné, fonction de signe constant; intervalle borné, fonction oscillante.

Qu'est-ce que l'intégrale impropre ?

Ici, les fonctions considérées sont des fonctions àvaleurs réelles ou complexes continues et l’intégration est faite sur des intervalles du type [a,b[,]a,b], ]a,b[ avec a ou b qui peuvent prendre¥comme valeurs. Dé?nition 1.1 — intégrale impropre. On dit que l’intégraleRaf(t)dt est impropre dans lescas suivants :

Intégrales impropres

1. Définitions et premières propriétésLa plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domaines bornés du plan. Nous allons

apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés, soit parce que l"intervalle d"intégration est infini

(allant jusqu"à+1ou1), soit parce que la fonction à intégrer tend vers l"infini aux bornes de l"intervalle. Pour

assimiler ce chapitre, vous avez juste besoin d"une petite révision des techniques de calcul des primitives, et d"une

bonne compréhension de la notion de limite.

1.1. Points incertains

Considérons par exemple la fonctionfqui àt2]1,0[[]0,+1[associef(t) =sinjtjjtj32. Comment donner un sens à

l"intégrale defsurR?tsinjtjjtj3=2•

On commence d"abord par identifier lespoints incertains, soit+1, soit1d"une part, et d"autre part le ou les

points au voisinage desquels la fonction n"est pas bornée (t=0 dans notre exemple).

On découpe ensuite chaque intervalle d"intégration en autant d"intervalles qu"il faut pour que chacun d"eux ne

contienne qu"un seul point incertain, placé à l"une des deux bornes.

Nous souhaitons une définition qui respecte la relation de Chasles. Ainsi l"intégrale sur l"intervalle complet est la

somme des intégrales sur les intervalles du découpage.

Dans l"exemple de la fonctionf(t) =sinjtjjtj32ci-dessus, il faut découper les deux intervalles de définition]1,0[et

]0,+1[en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler1et+1, et 2 autres pour le point incertain 0. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS2

On pourra écrire pour cet exemple :Z

+1 1 f(t)dt=Z 1 1 f(t)dt+Z 0

1f(t)dt+Z

1 0 f(t)dt+Z +1 1 f(t)dt.

•Le seul but est d"isoler les difficultés : les choix de1et1comme points de découpage sont arbitraires (par

exemple3 et 10 auraient convenu tout aussi bien).

1.2. Convergence/divergence

Par ce découpage, et par changement de variablet7! t, on se ramène à des intégrales de deux types.

Intégrale sur [a,+1[.

2. Intégrale sur ]a,b], avec la fonction non bornée ena.

Nous devons donc définir une intégrale, appeléeintégrale impropre, dans ces deux cas.Définition 1.1.

Soitfune fonction continue sur[a,+1[. On dit que l"intégraleR+1 af(t)dtconvergesi la limite, lorsquextend vers+1, de la primitiveRx af(t)dtexiste et est finie. Si c"est le cas, on pose : Z +1 a f(t)dt=limx!+1Z x a f(t)dt. (1) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge. 2. Soitfune fonction continue sur]a,b]. On dit que l"intégraleRb af(t)dtconvergesi la limite à droite, lorsque xtend versa, deRb xf(t)dtexiste et est finie. Si c"est le cas, on pose : Z b a f(t)dt=limx!a+Z b x f(t)dt. (2) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.Remarque.

•Convergence équivaut donc à limite finie. Divergence signifie soit qu"il n"y a pas de limite, soit que la

limite est infinie.

Observons que la deuxième définition est cohérente avec l"intégrale d"une fonction qui serait continue sur[a,b]

tout entier (au lieu de]a,b]). On sait que la primitiveRb xf(t)dtest une fonction continue. Par conséquent, l"intégrale usuelleRb af(t)dtest aussi la limite deRb xf(t)dt(lorsquex!a+). Dans ce cas, les deux intégrales coïncident.

1.3. Exemples

Quand on peut calculer une primitiveF(x)de la fonction à intégrer (par exempleF(x) =Rx af(t)dt), l"étude de la convergence se ramène à un calcul de limite deF(x). Voici plusieurs exemples.

Exemple 1.

L"intégraleZ+1

011+t2dtconverge.

En effet,

011+t2dt="

arctant x

0=arctanxet limx!+1arctanx=2

On pourra écrire :

Z+1

011+t2dt="

arctant +1 0=2

à condition de se souvenir que

arctant +1

0désigne une limite en+1.

INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS31

1+t2Cela prouve que le domaine sous la courbe n"est pas borné, mais cependant son aire est finie!

Exemple 2.

Par contre, l"intégraleZ+1

011+tdtdiverge.

En effet,

011+tdt="

ln(1+t) x

0=ln(1+x)et limx!+1ln(1+x) = +1.

Exemple 3.

L"intégraleZ1

0 lntdtconverge.

En effet,

Z1 x lntdt=" tlntt 1 x=xxlnx1 et limx!0+(xxlnx1) =1 .

On pourra écrire :

Z1 0 lntdt=" tlntt 1 0=1 .

Exemple 4.

Par contre, l"intégraleZ1

01t dtdiverge.

En effet,

Z1 x1t dt=" lnt 1 x=lnxet limx!0+lnx= +1.

1.4. Relation de ChaslesLorsqu"elle converge, cette nouvelle intégrale vérifie les mêmes propriétés que l"intégrale de Riemann usuelle, à

commencer par la relation de Chasles :Proposition 1(Relation de Chasles). Soitf:[a,+1[!Rune fonction continue et soita02[a,+1[. Alors les intégrales impropresR+1 af(t)dtetR+1 a

0f(t)dt sont de même nature. Si elles convergent, alorsZ

+1 a f(t)dt=Z a0 a f(t)dt+Z +1 a

0f(t)dt.

" Être de même nature » signifie que les deux intégrales sont convergentes en même temps ou bien divergentes en

même temps.

Le relation de Chasles implique donc que la convergence ne dépend pas du comportement de la fonction sur des

intervalles bornés, mais seulement de son comportement au voisinage de+1. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS4

Démonstration.La preuve découle de la relation de Chasles pour les intégrales usuelles, aveca6a06x:

Z x a f(t)dt=Z a0 a f(t)dt+Z x a

0f(t)dt.

Puis on passe à la limite (lorsquex!+1).Bien sûr, si on est dans le cas d"une fonction continuef:]a,b]!Ravecb02]a,b], alors on a un résultat similaire,

et en cas de convergence :Zb a f(t)dt=Z b0 a f(t)dt+Z b b

0f(t)dt.

Dans ce cas la convergence de l"intégrale ne dépend pas deb, mais seulement du comportement defau voisinage de

1.5. Linéarité

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la linéarité des intégrales usuelles et des limites.Proposition 2(Linéarité de l"intégrale).

Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,+1[, et,deux réels. Si les intégralesR+1 af(t)dtetR+1 ag(t)dt convergent, alorsR+1 af(t)+g(t)dt converge et Z +1 a f(t)+g(t)dt=Z +1 a f(t)dt+Z +1 a

g(t)dt.Les mêmes relations sont valables pour les fonctions d"un intervalle]a,b], non bornées ena.

Remarque : la réciprocité dans la linéarité est fausse, il est possible de trouver deux fonctionsf,gtelles queR+1

af+g converge, sans queR+1 af, niR+1 agconvergent. Trouvez un tel exemple!

1.6. PositivitéProposition 3(Positivité de l"intégrale).

Soient f,g:[a,+1[!Rdes fonctions continues, ayant une intégrale convergente.Si f6g alorsZ +1 a f(t)dt6Z +1 a g(t)dt.En particulier, l"intégrale (convergente) d"une fonction positive est positive :

Sif>0 alorsZ

+1 a f(t)dt>0

Une nouvelle fois, les mêmes relations sont valables pour les fonctions définies sur un intervalle]a,b], non bornées

ena, en prenant bien soin d"avoiraRemarque.

Si l"on ne souhaite pas distinguer les deux types d"intégrales impropres sur un intervalle[a,+1[(ou] 1,b])

d"une part et]a,b](ou[a,b[) d"autre part, alors il est pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique :R=R[f1,+1g

Ainsi l"intervalleI= [a,b[aveca2Retb2Rdésigne l"intervalle infini[a,+1[(sib= +1) ou l"intervalle fini

[a,b[(sib<+1). De même pour un intervalleI0=]a,b]aveca=1oua2R. INTÉGRALES IMPROPRES1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS5

1.7. Critère de CauchyOn termine par une caractérisation de la convergence un peu plus délicate (qui peut être passée lors d"une première

lecture). Rappelons d"abord le critère de Cauchy pour les limites. Rappel: Soitf:[a,+1[!R. Alors limx!+1f(x)existe et est finie si et seulement si

8 >09M>au,v>M=)f(u)f(v)< .Théorème 1(Critère de Cauchy).

Soit f:[a,+1[!Rune fonction continue. L"intégrale impropreR+1 af(t)dt converge si et seulement si

8 >09M>a

u,v>M=)Z v u f(t)dt< .Démonstration. Il suffit d"appliquer le rappel ci-dessus à la fonctionF(x) =Rx af(t)dtet en notant queF(u)F(v)=Rv uf(t)dt.1.8. Cas de deux points incertains

On peut considérer les intégrales doublement impropres, c"est-à-dire lorsque les deux extrémités de l"intervalle de

définition sont des points incertains. Il s"agit juste de se ramener à deux intégrales ayant chacune un seul point

incertain.Définition 2. Soienta,b2RavecaLes relations de Chasles impliquent que la nature et la valeur de cette intégrale doublement impropre ne dépendent

pas du choix dec, avecaAttention!

Si une des deux intégralesRc

af(t)dtou bienRb cf(t)dtdiverge, alorsRb af(t)dtdiverge. Prenons l"exemple deR+x xtdtqui vaut toujours0, pourtantR+1

1tdtdiverge! En effet, quel que soitc2R,R+x

ctdt=x22 c22 tend vers+1(lorsquex!+1).

Exemple 5.

Est-ce que l"intégrale suivante converge?Z+1

1tdt(1+t2)2

On choisit (au hasard)c=2. Il s"agit de savoir si les deux intégralesZ 2

1tdt(1+t2)2etZ

2tdt(1+t2)2

convergent.

En notant qu"une primitive de

t(1+t2)2est12

11+t2, on obtient :

Z 2 xtdt(1+t2)2=12

11+t2

2 x=12 15

11+x2

! 110 lorsquex! 1. Donc R2

1tdt(1+t2)2converge et vaut110

De même

2tdt(1+t2)2=12

11+t2

x 2=12

11+x215

!+110 lorsquex!+1. Donc R+1

2tdt(1+t2)2converge et vaut+110

AinsiR+1

1tdt(1+t2)2converge et vaut110+110=0. Ce n"est pas surprenant car la fonction est une fonction impaire.

Refaites les calculs pour une autre valeur decet vérifiez que l"on obtient le même résultat.

INTÉGRALES IMPROPRES2. FONCTIONS POSITIVES6On termine en expliquant le plan du reste du chapitre. Lorsque l"on ne sait pas calculer une primitive, on a recours à

deux types de méthode : soit la fonction est de signe constant au voisinage du point incertain, soit elle change de

signe une infinité de fois dans ce voisinage (on dit alors qu"elle " oscille »). Nous distinguerons aussi le cas où le point

incertain est1ou bien une valeur finie. Il y a donc quatre cas distincts, selon le type du point incertain, et le signe,

constant ou non, de la fonction à intégrer. Ces quatre types sont schématisés dans la figure suivante et leur étude fait

l"objet des sections suivantes.a+1a+1abab

Différents types d"intégrales : intervalle non borné,fonction de signe constant; intervalle non borné,fonction oscillante;

intervalle borné, fonction de signe constant; intervalle borné, fonction oscillante.Mini-exercices.1.

Pour chacune des intégrales suivantes, déterminer le point incertain, dire si l"intégrale converge,

et si c"est le cas, calculer la valeur de l"intégrale : Z 1

01p1tdtZ

+1 0 costdtZ 1

011tdtZ

ln2 1 etdt 2. Même exercice pour ces intégrales ayant deux points incertains : Z +1

1dt1+t2Z

1dt(t1)2Z

+1 1 ejtjdtZ +1 01t dt 3.

Écrire la preuve de la linéarité des intégrales impropres. Même chose pour la positivité. 2. Fonctions positives

Nous considérons iciR+1

af(t)dt, oùfest de signe constant au voisinage de+1. Quitte à réduire l"intervalle

d"intégration, et à changer éventuellement le signe defs"il est négatif, nous supposerons que la fonction est positive

ou nulle sur l"intervalle d"intégration[a,+1[.a+1

INTÉGRALES IMPROPRES2. FONCTIONS POSITIVES7

Rappelons que, par définition,

Z+1quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Quels sont les exercices corrigés de calcul intégral?

Comment calculer l’intégrale d’un plan?

Quels sont les différents types d’intégrales ?

Qu'est-ce que l'intégrale impropre ?

Intégrales impropres

1. Définitions et premières propriétésLa plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domaines bornés du plan. Nous allons

1.1. Points incertains

On pourra écrire pour cet exemple :Z

1f(t)dt+Z

1.2. Convergence/divergence

Intégrale sur [a,+1[.

1.3. Exemples

Exemple 1.

L"intégraleZ+1

011+t2dtconverge.

En effet,

011+t2dt="

0=arctanxet limx!+1arctanx=2

On pourra écrire :

011+t2dt="

à condition de se souvenir que

0désigne une limite en+1.

1+t2Cela prouve que le domaine sous la courbe n"est pas borné, mais cependant son aire est finie!

Exemple 2.

Par contre, l"intégraleZ+1

011+tdtdiverge.

En effet,

011+tdt="

0=ln(1+x)et limx!+1ln(1+x) = +1.

Exemple 3.

L"intégraleZ1

En effet,

On pourra écrire :

Exemple 4.

Par contre, l"intégraleZ1

En effet,

1.4. Relation de ChaslesLorsqu"elle converge, cette nouvelle intégrale vérifie les mêmes propriétés que l"intégrale de Riemann usuelle, à

0f(t)dt sont de même nature. Si elles convergent, alorsZ

0f(t)dt.

0f(t)dt.

0f(t)dt.

1.5. Linéarité

1.6. PositivitéProposition 3(Positivité de l"intégrale).

Sif>0 alorsZ

1.7. Critère de CauchyOn termine par une caractérisation de la convergence un peu plus délicate (qui peut être passée lors d"une première

8 >09M>au,v>M=)f(u)f(v)< .Théorème 1(Critère de Cauchy).

8 >09M>a

Si une des deux intégralesRc

1tdtdiverge! En effet, quel que soitc2R,R+x

Exemple 5.

Est-ce que l"intégrale suivante converge?Z+1

1tdt(1+t2)2

1tdt(1+t2)2etZ

2tdt(1+t2)2

En notant qu"une primitive de

11+t2, on obtient :

11+t2

11+x2

1tdt(1+t2)2converge et vaut110

De même

2tdt(1+t2)2=12

11+t2

11+x215

2tdt(1+t2)2converge et vaut+110

AinsiR+1

1tdt(1+t2)2converge et vaut110+110=0. Ce n"est pas surprenant car la fonction est une fonction impaire.

01p1tdtZ

011tdtZ

1dt1+t2Z

1dt(t1)2Z

Nous considérons iciR+1

INTÉGRALES IMPROPRES2. FONCTIONS POSITIVES7

Rappelons que, par définition,

11+t2

11+x2

11+t2