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Introduction aux probabilités

et à la statistique

Jean Bérard

Avertissement

Ces notes sont en cours d"élaboration. Il se peut donc qu"y subsistent un certain nombre d"erreurs, d"incohérences, et/ou de passages inachevés.

Table des matières

Introduction 7

1 Le modèle probabiliste 13

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Le point de vue formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Mais que représente exactement ce formalisme? . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Espace des possibles et choix du niveau de description . . . . 16

1.3.2 Sens concret - sens formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3 Signification concrète de la probabilité . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Probabilité et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.1 Probabilité d"un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.2 Probabilité et opérations sur les événements . . . . . . . . . . 32

1.4.3 Quelques exemples de modèles probabilistes . . . . . . . . . . 35

1.5 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.5.1 Notions de dépendance et d"indépendance entre événements . 46

1.5.2 Effet de loupe et biais de sélection . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.5.3 Représentation en arbre des modèles probabilistes . . . . . . . 60

1.6 Construire un modèle approprié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.6.1 Quelques pistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.6.2 Compatibilité de deux modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.6.3 De l"importance de décrire explicitement le modèle . . . . . . 73

1.7 Un exemple fondamental : la succession d"épreuves indépendantes . . 74

1.7.1 Une histoire de singe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.7.2 Tout résultat est exceptionnel! . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.7.3 Succession indépendante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.8 Coïncidences troublantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1.8.1 C"est vraiment incroyable! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1.8.2 Ce que l"on observe est presque toujours improbable . . . . . 90

1.8.3 Des coïcidences surprenantes doivent se produire . . . . . . . 90

1.8.4 Attention à l"interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.8.5 Quand s"étonner? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.8.6 Un magicien doué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.9 Auto-évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2 Variables aléatoires 121

2.1 Introduction et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.2 Loi d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.2.1 Le point de vue formel pour les variables aléatoires discrètes . 125

2.2.2 La loi dans l"interprétation fréquentielle de la probabilité -

notion de loi empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.2.3 Fonction de répartition d"une loi discrète . . . . . . . . . . . . 131

2.2.4 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.2.5 Quelques lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.2.6 Variables aléatoires et lois continues . . . . . . . . . . . . . . 153

2.2.7 Exemples de lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

2.3 Loi jointe de plusieurs variables aléatoires, vecteurs aléatoires . . . . 170

2.3.1 Indépendance de variables aléatoires, cas discret . . . . . . . . 171

2.3.2 Vecteur aléatoire continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2.3.3 Somme de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . 172

2.4 Opérations sur les lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

2.5 Loi d"une fonction d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 176

2.6 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

2.6.2 Espérance et moyenne, loi empirique . . . . . . . . . . . . . . 180

2.6.3 Le raisonnement de Huygens * . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.6.4 L"utilité espérée * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.6.5 L"espérance comme indicateur de position . . . . . . . . . . . 182

2.6.6 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

2.6.7 L"inégalité de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

2.6.8 Opérations algébriques : linéarité de l"espérance . . . . . . . . 200

2.6.9 Opérations algébriques : espérance d"un produit . . . . . . . . 204

2.6.10 Espérance et variance des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . 210

2.6.11 Régression linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.7 Probabilité, loi et espérance conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . 226

2.8 Conditionnement par une variable aléatoire de loi continue . . . . . . 229

2.9 Transformées de Laplace et de Fourier d"une loi de probabilité * . . . 230

2.9.1 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

2.9.2 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

2.9.3 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

2.9.4 Transformées des lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

2.10 Quelques mots de théorie de l"information * . . . . . . . . . . . . . . 233

2.10.1 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

2.10.2 Questionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

2.11 Quelques mots sur le hasard simulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

2.12 Les lois de Benford et de Zipf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

2.12.1 La loi de Benford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

2.12.2 Lois de Zipf-Mandelbrot et de Pareto . . . . . . . . . . . . . . 241

2.13 Auto-évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

2.14 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

3 Loi des grands nombres 285

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

3.2 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

3.2.1 Cadre et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

3.2.2 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

3.2.3 Preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

3.2.4 Qu"est-ce qu"un grand nombre? . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

3.2.5 Attention à l"approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

3.2.6 Loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

3.2.7 Robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

3.2.8 L"hypothèse de répétition indépendante . . . . . . . . . . . . 304

3.2.9 L"existence de l"espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

3.2.10 Position de la loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . 329

3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

3.3.1 L"assurance et la mutualisation du risque . . . . . . . . . . . 333

3.3.2 Sondages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

3.3.3 Mécanique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

3.3.4 Méthodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

3.4 Inégalités de déviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

3.5 Convergence de la loi empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

3.5.1 Convergence des histogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

3.5.2 Le théorème de Glivenko-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . 338

3.6 Auto-évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

4 La courbe en cloche 341

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

4.2 Les lois gaussiennes unidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

4.3 Le théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

4.3.1 Cadre et énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

4.3.2 Des illustrations lorsque la loi deX1++XNest connue

explicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

4.3.3 Des illustrations lorsque la loi deX1++XNn"est pas connue

explicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

4.3.4 Deux erreurs fréquentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

4.3.5 Preuve du théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . 374

4.3.6 Le théorème de la limite centrale et la loi des grands nombres 374

4.3.7 Attention à l"échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

4.3.8 Quantification de la convergence dans le théorème de la limite

centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

4.3.9 Robustesse du théorème de la limite centrale . . . . . . . . . 382

4.3.10 Le théorème de la limite centrale et le caractère universel (?)

de la loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

4.4 Des exemples concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

4.4.1 Des exemples approximativement gaussiens . . . . . . . . . . 403

4.4.2 Des exemples non gaussiens, même approximativement . . . . 417

4.4.3 Phynances! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

4.5 Quelques applications du TCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

4.5.1 Sondages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

4.5.2 Méthodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

4.6 Lois gaussiennes multidimensionnelles - Vecteurs aléatoires gaussiens 436

4.6.1 Vecteurs gaussiens et régression linéaire . . . . . . . . . . . . 436

4.6.2 Le principe du test du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

5 Bibliographie 439

5.1 Ouvrages recommandés pour travailler ce cours. . . . . . . . . . . . . 439

5.2 Ouvrages et articles de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

Introduction

La théorie des probabilités constitue un cadre mathématique pour la description du hasard et de la variabilité, ainsi que pour le raisonnement en univers incertain. Elle forme un tout cohérent dont les concepts, les méthodes et les résultats interviennent dans de très nombreux domaines des sciences et des technologies, parfois de manière fondamentale. En voici, à titre de motivation pour ce cours, une petite liste non- exhaustive. En physique, la description de la nature à l"échelle microscopique, donnée par la mécanique quantique, est de nature probabiliste : seule la probabilité pour une particule de se trouver dans tel ou tel état est accessible à la théorie. En physique encore, la description des systèmes constitués d"un très grand nombre de particules (ce qui est le cas de tous les systèmes physiques macroscopiques) s"appuie générale- ment sur une modélisation probabiliste du comportement individuel des particules (mécanique statistique). En biologie, dans le domaine médical ou environnemental, la

prise en compte de la variabilité naturelle des phénomènes étudiés nécessite souvent,

et à toute sorte de niveaux, le recours à la modélisation probabiliste (il peut aussi bien s"agir d"étudier des mécanismes moléculaires comme la réplication de l"ADN, le développement morphologique d"un organisme, sa réponse à un traitement médi- cal, ou encore la propagation des épidémies ou des feux de forêt, la croissance et les migrations de populations animales, la diffusion de polluants dans un sol, les phé- nomènes de crue, etc...). La modélisation probabiliste s"applique aussi au traitement des données et des signaux (codage, compression, débruitage), ou à l"analyse des er- reurs de mesure. Elle intervient également dans le domaine économique et industriel (fiabilité et performance des systèmes et des procédés, dont le comportement comme l"environnement de fonctionnement sont variables, gestion des approvisionnements et des stocks, politiques d"assurance, prévisions économiques, décisions d"investisse- ment, et plus généralement évaluation et gestion du risque). L"intelligence artificielle, et notamment les techniques d"apprentissage automatisé et d"extraction de données (reconnaissance de formes, traitement d"image, systèmes experts, fouille de données, réseaux neuronaux...) reposent également, pour une part sur une modélisation pro- babiliste de l"information qu"ils traitent. Mentionnons enfin l"utilisation devenue in- 8 contournable du "hasard simulé» par ordinateur, qu"il s"agisse d"étudierin silico le comportement d"un système réel que l"on a modélisé, d"employer un algorithme randomisé (d"optimisation, de tri, de vérification,... ), ou de résoudre un problème numérique à l"aide d"une méthode de Monte-Carlo.

Un point de vocabulaire

Bien que les frontières délimitant les deux domaines ne puissent pas toujours être

très précisément tracées, on distingue en général lathéorie des probabilitéset la

statistique, en disant que la première a pour objet principal de définir des modèles mathématiques du hasard et de l"incertitude, et d"étudier leurs propriétés, tandis que la seconde a notamment pour but de confronter ces modèles mathématiques

à la réalité, en particulier à l"expérience et aux données observées, afin de choisir,

d"ajuster et de valider les modèles, et de les exploiter pour effectuer des prévisions, tester des hypothèses, prendre des décisions.

Objectifs du cours

Tous les exemples cités ci-dessus sont d"un niveau assez (voire très) élevé, et se rattachent à des domaines scientifiques spécialisés qu"il est bien entendu impossible d"aborder ou même de résumer dans un cours de base comme celui-ci. L"objectif principal de ce cours, qui requiert idéalement une première familiarisation, à un niveau intuitif avec les notions probabilistes, est de vous fournir des bases solides et correctement formalisées en probabilités. Il s"agira essentiellement d"assimiler les principaux outils conceptuels permettant d"aborder la modélisation mathématique de l"incertitude, du hasard et de la variabilité, ainsi qu"un certain nombre de tech- niques qui s"y rapportent. Après ce cours, vous devriez être en mesure de comprendre comment s"articulent les différents aspects (formalisation, intégration des données, résolution mathématique et/ou simulation, validation, exploitation, appréciation desquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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