[PDF] Transformees de Fourier des signaux temps´ discret : Cours D

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Chapter 4

Transform

´ees de Fourier des signaux temps

discret : Cours D

4.1 Transform

´ee de Fourier`a temps discret (TFTD)

la transform

´ee de Fourier`a temmps discret est un cas particulier de la transform´ee de Fourier, cette transform´ee de

Fourier

`a temps discret ne s"applique que sur des signaux temps discret non-p´eriodiques. La transform´ee de Fourier

d"un tel signal est une fonction d

´efinie pour toutes les fr´equences,fe-p

eriodique o` ufeest la fr´equence d"´echan- tillonnage. Il s"agit d"une fonction `a valeurs complexes dont le module est une fonction paire (j^X(f)j=j^X(f)j) et la phase est impaire (arg(^X(f)) =arg(^X(f))). Elle est d´efinie par :

X(f) =1X

n=1x nej2fnTe

On peut noter que si on avait cherch

´e`a approximer le r´esultat de la transform´ee de Fourier (R1

1x(t)ej2ftdt)

en approximant le signalx(t)par la suitexn, on aurait trouv´e la transform´ee de Fourier temps discret multipli´e par

T

e. Dans la d´efinition ceTen"est pas pr´esent, mais il y a de nombreuses occasions o`u de fait on le rajoute (soit

pour ajuster les spectre d"un signal temps continu avec un signal temps discret, soit pour

´etablir des´equivalences

entre la transform ee de Fourier et la transform´ ee de Fourier temps discret pour des signaux particuliers).

La transform

ee de Fourier discr` ete inverse transforme un spectre qui estfe-p´eriodique en une succession de raies qui correspond au signal temps discret aussi la formule calcule une suite `a partir d"une fonction`a valeurs complexes d

´efinies sur un intervalle :

x n=1f eZ fe=2 fe=2^X(f)ej2fnTe o `uxnest un signal temps discret dont la p´eriode d"´echantillonnage est1=fe.

4.2 Propri

´et´es de la transform´ee de Fourier`a temps discret

Soitsnun signal temps discret non p

eriodique` a valeurs r´ eels. Alors sa transform´ ee de Fourier` a temps discret^S(f) v

´erifie pour toutf.

S(f) =^S(f)

j ^S(f)j=j^S(f)j arg^S(f) =arg^S(f) De plus le fait quesnest un signal pair (sn=sn) est´equivalent au fait que^S(f)est r´eel. 19 L"

´energie d"un signalsntemps discret non p´eriodique peut aussiˆetre´evalu´ee`a partir de son spectre (th´eor`eme

de Parseval) E=1f eZ fe2 fe2 j^S(f)j2df

C"est le fait que le signal est non p

´eriodique qui fait qu"on s"int´eresse`a l"´energie et non`a la puissance, (qui serait nulle). La d

´efinition de l"´energie utilis´ee ne d´epend pas defe, ainsi si on multiplie par2fe, le spectre de^S(f)

reste p

´eriodique par rapport`afe, l"int´egrale ainsi calcul´ee aurait alors doubl´ee en valeur mais comme il faut aussi

diviser parfe, le r´esultat serait encore identique.

On a aussi les relations suivantes :

X(0) =X

n2Zx n x 0=1f eZ fe=2 fe=2^X(f)df

La transform

´ee de Fourier`a temps discret est un op´erateur lin´eaire. Elle conserve la multiplication par un

facteur

TFTD[xn](f) =TFTD[xn](f)

o `uxnest un signal temps discret non p´eriodique. Elle conserve l"additivit´e des signaux

TFTD[xn+yn](f) =TFTD[xn](f) +TFTD[yn](f)

Un retard sur un signal temps discret non p

´eriodique se traduit aussi par un d´ephasage du spectre

TFTD[xnd](f) =ej2fdTeTFTD[xn](f)(4.1)

o

`uxnetxndsont deux signaux temps discret non p´eriodiques, le deuxi`eme´etant retard´e dedTepar rapport au

premier etTe=1f eest la p´eriode d"´echantillonnage.

Un spectre peut

ˆetre d´ecal´e en fr´equence par la multiplication d"un signal appropri´e TFTD h x nej2f0nTei (f) =TFTD[xn](ff0) o

`uxnest un signal temps discret non p´eriodique. Dans la pratique on multipliexnpar un signal sinuso¨ıdal de

fr

´equencef0et on obtient un spectre qui est d´ecal´e vers des fr´equences plus´elev´ees def0et plus basses def0

TFTD[xncos(2f0nTe)](f) =12

TFTD[xn](ff0) +12

TFTD[xn](f+f0)

On utilise en g

´en´eral un filtre passe-haut ou passe-bande pour supprimer le d´ecalage en fr´equence non souhait´ee.

Dilater ou concentrer un signal temps discret non p ´eriodique signifie changer sa p´eriode d"´echantillonnage ou sa fr

´equence d"´echantillonnage sans changer les valeurs prises par la suite qui d´efinit ce signal. Soitxnun signal

TDNP

´echantillonn´e avec une fr´equence d"´echantillonnagefxeetynun signal TDNP ayant les mˆemes valeurs que

x nmais´echantillonn´e avec une autre fr´equence d"´echantillonnagefye. On posea=TyeT xe. Alors les deux spectres prennent les m ˆemes valeurs mais pas pour les mˆemes fr´equences etfyef xe=1a . Pour toutf

Y(f) =^X(af)

On ne peut pas d

´eriver ou int´egrer un signal temps discret, en revanche`a partir d"un signal temps discret non

p

´eriodique, on peut d´efinir le signal diff´erence ou le signal somme cumul´ee avec la mˆeme fr´equence d"´echan-

tillonnage. Le premier a pour valeur les diff ´erences entre les termes successifs des signaux. Le deuxi`eme a pour 20 valeur les valeurs successives des sommes cumul ´ees. De fac¸on analogue`a la transform´ee de Fourier il y a aussi une relation la transform

´ee de Fourier`a temps discret d"un signal temps discret non p´eriodique et la transform´ee de

Fourier

`a temps discret du signal diff´erence et aussi avec la transform´ee de Fourier`a temps discret du signal somme

cumul

´ee.

Soitxnun signal temps discret non p´eriodique etyn=xnxn1le signal diff´erence correspondant alors

Y(f) = (1ej2fTe)^X(f)(4.2)

En effet

^Y(f) =TFTD[xn](f)TFTD[xn1](f) =^X(f)ej2fTe^X(f)(xn1est le signal retard´e et on a appliqu

´e (4.1)).

Soitxnun signal temps discret non p´eriodique etyn=P knxkle signal somme cumul´ee alors

Y(f) =11ej2fTe^X(f)(4.3)

Cette propri

´et´e peutˆetre vue comme une cons´equence de (4.2), puisquexn=ynyn1.

Il est int

´eressant de noter que (4.2) et (4.3) ressemblent`a (3.8) et (3.9) quand on fait tendrefTevers z´ero.

La transform

´ee de Fourier`a temps discret transforme le produit de convolution entre deux signaux`a temps discret non p ´eriodiques en un simple produit de transform´ee de Fourier. TFTD x ndyn (f) =TFTD[xn](f)TFTD[yn](f)(4.4)

Pour des signaux temps discret non p

´eriodiques, on d´efinit le produit de convolution`a temps discret par x ndyn=X k2Zx kynk Zest l"ensemble des entiers positifs et n´egatifs.

A la diff

´erence de la transform´ee de Fourier pour les signaux`a temps continu, il n"y a ici pas de difficult´es

math

´ematiques pour donner un sens`a la transform´ee de Fourier`a temps discret des signaux suivants.

La transform

´ee de Fourier d"un Dirac`a temps discret est la fonction constante1.

TFTD[n](f) = 1

On peut remarquer que ce spectre est p

´eriodique mais en fait p´eriodique de p´eriodefepour toute valeur defe. De m

ˆemencorrespond`a un signal temps discret qui ne d´epend pas de la p´eriode d"´echantillonnageTe. Il confirme

(4.4) dans la mesure o `unest l"´el´ement neutre du produit de convolutionndxn=xnet de mˆeme1est l"´el´ement neutre du produit1^X(f) =^X(f). L" ´equivalent`a temps discret d"une fonction porte est un signal qui vaut1pour0n < Net0ailleurs et est d

´efini parxn=1[0::N1][n]. Sa transform´ee de Fourier ressemble`a un sinus cardinal, il s"agit d"un quotient

de sinus qui en basse fr ´equence est approximativement´egale au sinus cardinal mais qui est aussi une fonction p

´eriodique de p´eriodefe.

TFTD

1[0::N1][n](f) =ejf(N1)Tesin(fNTe)sin(fTe)(4.5)

Cette relation se d

´emontre en utilisantP

n0zn=1zn11z1et en cherchant`a mettre en facteurejfNTedans la

partie haute de la fraction etejfTedans la partie basse de la fraction. Avec cette relation, on observe aussi que si

Naugmente, le signal en temps a une dur´ee plus longue et que le spectre correspondant a des lobes plus´etroits et

des valeurs plus ´elev´es tout en conservant une p´eriodicit´e identique et´egale`afe.

La transform

´ee de Fourier de signaux sinuso¨ıdaux de fr´equencef0sur une dur´eeNet`a temps discret de

fr

´equence d"´echantillonnagefe>2f0forme un spectre p´eriodique dont la p´eriode est compos´e de deux pics enf0

et enf0avec des ondulations. 21
TFTD cos(2f0nTe)1[0::N1][n](f) =12

TFTDsin(2f0nTe)1[0::N1][n](f) =12jej(ff0)(N1)Tesin((ff0)NTe)sin((ff0)Te)12jej(f+f0)(N1)Tesin((f+f0)NTe)sin((f+f0)Te)

Ces relations se d

´emontrent en appliquant un d´ecalage fr´equentiel au spectre obtenu en (4.5). On observe aussi

que siNaugmente alors les pics enf0etf0se d´etachent mieux des ondulations, ces pics sont plus´elev´es et les

ondulations sont plus resser ´es autour des deux pics. Mˆeme lorsque la conditionfe>2f0n"est pas v´erifi´ee les formules restent vraies, mais ce qui se passe est qu"on ne voit plus les pics, et ce `a cause du terme sous la fraction qui au lieu d"att ´enuer comme dans le cas d"un sinus cardinal contribue`a masquer ou`a donner une apparence de d

´eplacement de ces pics. Cette conditionfe>2f0correspond`a une approximation du crit`ere de Shannon Nyquist,

ce serait le crit `ere si le signal consid´er´e´etait un vrai signal.

4.3 Transform

´ee de Fourier discr`ete (TFD)

La transform

´ee de Fourier discr`ete est adapt´ee au cas des signaux temps discret p´eriodiques de fr´equence d"´echan-

tillonnagefe=1T eet de p´eriodeT=NTe. Le spectre est alors p´eriodique de p´eriodefeparce que le signal est temps discret. Le spectre est compos

´e de raies espac´ees defeN

=1NT e=1T parce que le signal est p´eriodique de p

´eriodeT=NTe.

On consid

`ere un signal temps discret p´eriodiquesnde p´eriodeN´echantillonn´ee`afe. La transform´ee de

Fourier^S(f)est p´eriodique de p´eriodefeet est form´ee d"une succession de raies aux fr´equencesfk=kfeN

avec

k2Z(Z´etant les entiers positifs et n´egatifs).^S(f)est d´ecrite par des coefficients qui correspondent`afk=kfeN

pourk2 f0:::N1get qui sont : Sk=1N N1X n=0s nej2knN (4.6)

Ces coefficients forment une suite p

´eriodique de p´eriodeN. Ce sont ces coefficients qui permettent de calculer la transform

´ee de Fourier discr`ete. Aussi la transform´ee de Fourier discr`ete peut aussi s"´ecrire de cette fac¸on

Sk=TFD[sn][k]

Dans cette

´ecriture on dit que^Skest p´eriodique de p´eriodeN.

La transform

´ee de Fourier discr`ete desnpeut s"´ecrire aussi

TF[sn](f) =feX

l2ZN1X k=0^

Sk(fkfeN

lfe)(4.7)

Le deuxi

`eme signe somme et le param`etrekd´ecrit les diff´erentes raies au sein de l"intervalle de fr´equences[0;fe].

Le premier signe somme et le param

`etreld´ecrit la fac¸on dont les diff´erentes raies au sein de l"intervalle de fr

´equences[0;fe]sont rendues p´eriodiques et s"´etalent sur l"ensemble des fr´equences. Dans cette deuxi`eme´ecriture

on dit que^S(f)est p´eriodique de p´eriodefe. Cette´ecriture est en fait moins utilis´ee, on remplace g´en´eralement

le premier signe somme en utilisant le fait que^Skest en fait p´eriodique. Le termefeest rajout´e pour rendre

compatible cette formule avec la d ´efinition des s´eries de Fourier, en effetfeest en fait1T e.

La transform

´ee de Fourier discr`ete peut aussi s"´ecrire aussi

TF[sn](f) =feX

k2ZTFD[sn][k](fkfeN )(4.8)

On retrouve aussi le termefe.

TF[sn](f)lorsqu"il s"agit de la d´ecrire au moyen d"un ensemble de fonctions de Dirac p´eriodique de p´eriodefeet

22

l"expressionTFD[sn][k]lorsqu"il s"agit de la d´ecrire par une suite de coefficients`a valeurs complexes et p´eriodique

de p

´eriodeN. La d´efinition deTFD[sn][k]n"est pas unique, le terme de normalisationNest parfois introduit dans

la transform

´ee de Fourier discr`ete inverse, c"est le cas de Matlab, ce terme est parfois r´eparti entre la transform´ee

de Fourier discr `ete et la transform´ee de Fourier discr`ete inverse sous la forme de deux produits par1pN

L"utilisation importante de la transform

´ee de Fourier ne provient pas tellement de ce que dans la r´ealit´e il est souvent pertinent de mod ´eliser un ensemble d"´ev`enements par un signal temps discret p´eriodique, mais surtout de la possibilit

´e de calculer avec un ordinateur (4.6) ce qui n"´etait pas exactement le cas des autres transform´ees de

Fourier. En fait il y a m

ˆeme un algorithme rapide qui optimise le calcul de (4.6) qui s"appelle la transform´ee de Fourier rapide (TFR) ouFast Fourier Transform(FFT).

C"est la raison pour laquelle on s"int

´eresse`a l"approximation suivante. Soitx(t)un signal temps continu non p

´eriodique nul sauf en un intervalle[0;T]. Soitxnle signal temps discret p´eriodique,´echantillonn´e en respectant

le crit

`ere de Shannon-Nyquist, rendu p´eriodique de p´eriodeNen modifiant les donn´ees nulles. On suppose aussi

queNest suffisamment grand pour queTNTe. Alors pourkentier dans[N=2:::N=2],

TF[x(t)](kfe=N)NTeTFD[xn][k]

Le termeNTerajout´e est l`a pour co¨ıncider avec l"approximation,Nannule la division parNfaite dans la d´efinition

deTFDfaite`a tort vis-`a-vis de cette approximation etTeest la largeur des rectangles utiliser pour approximer

l"int

´egrale faite dans la transform´ee de Fourier dex(t). Mˆeme si on est amen´e`a l"utiliser souvent, cette approxi-

mation n"est pas toujours de bonne qualit

´e.

On peut naturellement aussi chercher

`a approximer la transform´ee de Fourier d"un signal temps continu non p

´eriodique par le calcule de la transform´ee de Fourier`a temps discret du signal´echantillon´e`a l"aide de l"ordinateur

en un ensemble fini de fr ´equences mais si cet ensemble de fr´equences en lesquels on calcule est comparable aux nombre de donn ´ees que l"on dispose, les erreurs que l"on commet sont similaires`a ceux que l"on effectue en utilisant une transform

´ee de Fourier discr`ete.

Lorsqu"on calcule une transform

´ee de Fourier discr`ete`a l"aide d"un ordinateur, celui-ci fournit les coefficients a valeurs complexes^Skpourk2 f0:::N1gqui correspondent aux fr´equencesfk=kfeN

2[0;fe[Ces coefficients

suffisent

`a d´eterminer compl`etement la transform´ee de Fourier discr`ete puisque celle-ci est p´eriodique de p´eriode

f

e. Cependant on visualise en g´en´eral cette transform´ee de Fourier sur l"intervalle[fe=2;fe=2]et non sur[0;fe]et

l"allure des courbes n"est pas du tout la m ˆeme suivant qu"on la repr´esente sur le premier ou le deuxi`eme intervalle.

Ainsi un spectre qui serait croissant entrefe=2et0puis d´ecroissant entre0etfe=2et serait donc maximal au

centre appara

ˆıtrait comme minimal au centre s"il´etait repr´esent´e sur[0;fe]puisque d´ecroissant entre0etfe=2et

croissant entrefe=2etfe. Par cons´equent pour visualiser un spectre`a partir de ses coefficients^Skcalcul´es par

transform

´ee de Fourier discr`ete il est n´ecessaire de trouver les coefficients correspondant aux fr´equencesfk2

[fe=2;0]. SiNest paire ce sont les fr´equences associ´ees`ak2 fN2 ::N1g, math´ematiquement on peut aussi bien mettrek=N=2associ´e`af=fe=2ou`af=fe=2tout`a droite ou tout`a gauche du graphique. SiNest impaire ce sont les fr

´equences associ´ees`ak2 fN+12

::N1g. Dans la visualisation sur[fe=2;0]les fr´equences associ

´es`a ces coefficients sontfk=(kN)feN

, elles sont not´eesf0kouk0=kNet les coefficients complexes correspondant sont ^Sket souvent not´es^Sk0.

La transform

´ee de Fourier discr`ete inverse est d´efinie de mani`ere similaire. On consid`ere un spectre p´eriodique^S(f)de p´eriodefeayant des raies aux fr´equencesfk=kfeN

pourk2 f0:::N1gassoci´es aux coefficients^Sk.

Alors la transform

´ee de Fourier discr`ete inverse, not´eeTFD1, est un signalsnde p´eriodeN s n=N1X k=0^

Skej2knN

La transform

´ee de Fourier discr`ete inverse s"´ecrit aussi TFD

1[^Sk](t) =X

n2ZN1X k=0^

Skej2knN

(tnTe)(4.9) 23

4.4 Propri

´et´es de la transform´ee de Fourier discr`ete

Soitsnun signal temps discret p´eriodique. Alors les coefficients de sa transform´ee de Fourier discr`ete^Skv´erifient

Sk=^Sk

j^Skj=j^Skj arg( ^Sk) =arg(^Sk) Sisnest un signal temps discret p´eriodique et paire (sn=snou dit autrementsn=sNn) alors^Skest`a valeurs r

´eels. En fait il y a mˆeme´equivalence entre le fait que^Skest r´eel et la parit´e desn.

La puissance d"un signalsnTDP peut aussiˆetre´evalu´e`a partir de son spectre (th´eor`eme de Parseval)

E= +1 P=P k2Zj^Skj2

On peut remarquer que cette

´egalit´e ne d´epend pas de la fr´equence d"´echantillonnage et en fait la d´efinition deP

ne fait pas non plus intervenir la p ´eriode d"´echantillonnage ou la fr´equence d"´echantillonnage.

On a aussi les relations suivantes :

X0=1N N1X n=0x n x 0=N1X k=0^ Xn

La transform

´ee de Fourier discr`ete est un op´erateur lin´eaire. Elle conserve la multiplication par un facteuret

l"additivit

´e.

TFD[xn][k] =TFD[xn][k]

o

`uxnest un signal temps discret p´eriodique de p´eriodeNet´echantillonn´e`a la fr´equencefe.

TFD[xn+yn][k] =TFD[xn+yn][k]

o

`uxnetynsont deux signaux temps discret p´eriodiques de mˆeme p´eriodeNet´echantillonn´e`a la mˆeme fr´equence

f e.

La transform

´ee de Fourier discr`ete d"un signal retard´ee est d´ephas´ee.

TFD[xnd][k] =ej2kdN

TFD[xn][k](4.10)

o

`uxnetxndsont deux signaux temps discret p´eriodique de mˆeme p´eriodeN´echantillonn´e`a la mˆeme fr´equence

f

e, le deuxi`eme signal est retard´e ded < Npas de temps par rapport au premier signal. Du fait que ces deux

signaux sont p ´eriodiques, on peut aussi dire quexndest en avance deNdpas de temps surxn, en effet x nd=xn+(Nd).

Lorsqu"un signal temps discret p

´eriodique est dilat´e, ce ne sont pas les valeurs complexes calcul´ees par la trans- form

´ee de Fourier discr`ete qui sont modifi´ees, mais la fr´equence d"´echantillonnage qui est modifi´e et en l"occurence

diminu

´ee. Il en r´esulte alors que le spectre est modifi´e du fait de la diminution des valeurs complexes associ´ees aux

diff

´erentes raies et du fait des fr´equences de ces diff´erentes raies qui sont plus proches les unes des autres.

Soitxnun signal temps discret p´eriodique de p´eriodeN´echantillonn´e`a la fr´equence d"´echantillonnagefxeet

y

nun signal temps discret p´eriodique avec les mˆemes valeurs quexnet de mˆeme p´eriodeNmais´echantillonn´e`a

24
la nouvelle fr ´equencefye. Alors les raies de^Y(f)sont espac´ees defyeN tandis que celles de^X(f)sont espac´ees de f xeN

Yk=^Xk

1f ye^Y(f) =1f xe^Xk

Pour deux signaux temps discret p

´eriodiquesxnetynde mˆeme p´eriodeNet de mˆeme fr´equence d"´echan-

tillonnagefe, il est faux de dire que le produit des transform´ees de Fourier est la transform´ee d"un produit de

convolution. C"est une id ´ee fausse ne serait-ce parce que le produit de convolution est d´efinie par une somme infine et qu"appliqu

´e`a des signaux p´eriodiques il produirait une suite infinie en tout instant. Cette propri´et´e est vraie si

on utilise le produit de convolution circulaire d

´efinie par

x nyn=1Nquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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