[PDF] Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

View - Download Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Previous PDF

Next PDF

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Denis Vekemans

R nest muni de l"une des trois normes usuelles||.||1,||.||2ou||.||∞. ||x||1=? 2 i;||x||∞= sup

Toutes les normes deRnsont équivalentes.

1 Fonctions de plusieurs variables réelles

Fonctionf:U?Rn-→Rp(Uest ouvert deRn).

Définition 1.1

fadmet unelimiteena?Us"il existel?Rptel que ?ε >0,?α >0,?x?Rn,||x-a||< α=? ||f(x)-l||< ε.

S"il existe,lest unique et on notel= limx→a.

• {f| ?l,l= limx→af}est unR-espace vectoriel;φ:f?→limx→afest linéaire.

Définition 1.2

festcontinueena?Usilimx→af(x) =f(a). On notef? C0(a).

• {f|f? C0(a)}est unR-espace vectoriel.

•Sifest linéaire,fest continue (en particulier, sifest une projection,fest continue).

Définition 1.3

fadmet desfonctions partielles associéesàfau pointa= (a1,...,an)?U: f (a) i:xi?→f(a1,...,ai-1,x,ai+1,...,an).

•fadmet une limite au pointa=?f(a)

iadmet une limite enai. Mais la réciproque est fausse.

•f? C0(a) =?f(a)

i? C0(ai). Mais la réciproque est fausse.

?Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais

cedex ; France 1 PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

Définition 1.4

fadmet undéveloppement limité d"ordre2ena?Usi ?Lforme linéaire,?qforme quadratique,f(a+h) =f(a) +L(h) +q(h) +φ(h) avec|φ(h)|=o(||h||2), i.e.?(α1,...,αn,ω1,1,ω1,2,...,ωn,n)?Rn+n(n+1)

2tels que

f(a1+h1,...,an+hn) =f(a1,...,an) +? ihi+? i,jhihj+φ(h) avec|φ(h)|=o(||h||2).

2 Différentielle

Fonctionf:U?Rn-→Rp(Uest ouvert deRn).

Définition 2.1

festdifférentiableena(on notef?Diff(a)) si ?Lforme linéaire,?h, f(a+h) =f(a) +L(h) +φ(h) avec|φ(h)|=o(||h||).

De façon équivalente,

?ε >0,?α >0,?h,||h||< α=? ||f(a+h)-f(a)-L(h)||< ε||h||.

L"applicationL, si elle existe, est unique et est appelée ladifférentielledefau pointa?U. On la note

df a. Lorsquefest différentiable ena?Uet que la différentielle defest continue ena?U, on dit quefest continûment différentiableena(on notef? C1(a)).

•L=dfaest linéaire deUdansRp. Mais attention, la différentiabilité etLne dépendent pas du choix

des normes.

•f?Diff(a) =?f? C0(a).

• {f|f?Diff(a)}est unR-espace vectoriel;φ:?→dfaest linéaire.

•f? C1(a)??dfa? C0(a).

Définition 2.2

On dit quefadmet unedérivée dans la directionu(uest tel que||u||= 1), s"il existelimλ→0f(a+λu)-f(a)

∂f ∂u(a). •Sif?Diff(a), alorsfadmet des dérivées dans toutes les directions et∂f ∂u(a) =dfa(u). Mais la réciproque est fausse. -2/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

3 Exemples d"applications différentiables

•Sifest linéaire,dfa=f.

•Sif:U?R2-→Rpest bilinéaire,dfa1,a2(h1,h2) =f(a1,h2) +f(h1,a2). •Sif:U?R-→Rp,f?Diff(a)??f?D(a)ethf?(a) =dfa(h). •Sif:U?Rn-→Rp,f?Diff(a)?? ?i, fi?Diff(a)etdfa(h) = (df1a(h),...,dfpa(h))avec f= (f1,...,fp). Dans le cas particulier oùn= 1,f?(a) = (f?1(a),...,f?p(a)).

4 Différentielle de la composée de deux applications

U?Rnf-→Rpg-→Rq.

Proposition 4.1

f?Diff(a),g?Diff(f(a)) =?g◦f?Diff(a)et d(g◦f)a=dgf(a)◦dfa.

•f? C1(a),g? C1(f(a)) =?g◦f? C1(a).

5 Différentielle du produit et du quotient de deux applications

Proposition 5.1

Sif?Diff(a),g?Diff(a), alorsfg?Diff(a)et

d(fg)a=f(a)dga+g(a)dfa.

Proposition 5.2

Sif?Diff(a),g?Diff(a)et signe s"annule pas dans un voisinage dea, alorsf g?Diff(a)et d(f g)a=g(a)dfa+f(a)dga(g(a))2.

6 Dérivées partielles

Définition 6.1

On dit quefadmet une dérivée partielle d"indiceisif(a) iest dérivable au pointai. ∂f ∂xi(a) = (f(a) i)?(ai) = limρ→0f(a1,...,ai-1,ai+ρ,ai+1,...,an)-f(a1,...,an)ρ. •f?Diff(a) =?fadmet enades dérivées partielles à tous les indices etdfa(h) =? ∂xi(a).

Mais, la réciproque est fausse.

•fadmet enades dérivées partielles continues à tous les indices=?f?Diff(a). Mais, la réciproque

est fausse.

•f? C1(U)?? ?i,∂f

∂xi? C0(U). -3/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

7 Matrice jacobienne

Définition 7.1

Jf(a)donnée par

J f(a) =((((∂f 1 ∂x1(a)...∂f1∂xn(a) ∂f p ∂x1(a)...∂fp∂xn(a))))) est appelée matrice jacobienne defau pointa.

•Cas particuliers.

-p= 1,dfa(h) =? ∂xi(a). -n= 1,f?(a) =? -n=p,det(Jf(a)) =jf(a) =D(f1,...,fn)

D(x1,...,xn).

Proposition 7.1

U?Rnf-→Rpg-→Rq. Sif?Diff(a)et sig?Diff(f(a)), J g◦f(a) =Jg(f(a))·Jf(a).

Proposition 7.2

∂(g◦f)i ∂xl(a) =? i∂fk(f(a))∂fk∂xl(a) (formule de changement de variable).

8 Difféomorphismes

f:U?Rn-→V?Rn. Dans cette section,p=n.

Définition 8.1

Φest undifféomorphismesi c"est une bijection différentiable ainsi queΦ-1. •SoitΦest un difféomorphisme. Pour touta?U, la matrice jacobienneJΦ(a)est inversible et J

Φ-1(Φ(a)) = (JΦ(a))-1.

•SoitΦest un difféomorphisme. Pour touta?U, le jacobienjφ(a)ne s"annule pas etjΦ-1(Φ(a)) =1

jΦ(a)).

Définition 8.2

Φest unC1-difféomorphismesi c"est une bijection de classeC1ainsi queΦ-1. •SoitΦest unC1-difféomorphisme. Alors, l"applicationa?→jφ(a)est continue.

Proposition 8.1

théorème d"inversion locale. SoitUun ouvert deRn, etf:U-→Rnune application de classeC1 dansUtelle queJf(a)soit inversible. Alors, il existe un voisinageW1deaet un voisinageW2def(a)tel que la restriction defàW1soit unC1-difféomorphisme deW1surW2. -4/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

9 Formule des accroissements finis

f:U?Rn-→R. Dans cette section,p= 1etUest convexe.

Proposition 9.1

Sif?Diff(U),?θ?]0,1[tel que

f(a+h)-f(a) =? i∂f ∂xi(a+θh)

Proposition 9.2

Sidfest bornée (i.e.?M?R+tel que?x?U,|∂f

inégalité des accroissements finis.

10 Dérivées successives, fonctions de classeCk

f:U?Rn-→R. Dans cette section,p= 1.

Définition 10.1

Si l"applicationa?→∂f

∂xi(a)admet enaune dérivée partielle d"indicej, on la note∂2f∂xj∂xi(a). C"est une

dérivée partielle secondedefena.

Proposition 10.1

théorème de Schwarz. Sifadmet des dérivées partielles secondes∂2f ∂xj∂xiet∂2f∂xi∂xjdans un voisinage de aet si ces dérivées partielles sont continues ena, alors 2f ∂xi∂xj(a) =∂2f∂xj∂xi(a).

Définition 10.2

On définit par récurrence les dérivées partielles successives si elles existent.

•Sifadmet surUdes dérivées partielles continues jusqu"à l"ordrek, on dit quefest de classeCkdans

U. On peut alors intervertir l"ordre des dérivations.

11 Formules de Taylor-Lagrange et de Taylor-Young, développements li-

mités f:U?R3-→R. Dans cette section,n= 3etp= 1. -5/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

Proposition 11.1

formule de taylor-lagrange. Sifest de classeCρ, alors il existeθ?]0,1[tel que f(a+h)-f(a) =? k!? 1

Proposition 11.2

formule de taylor-young. Sifest de classeCρ, alors il existe une fonctionφtelle que f(a+h)-f(a) =? k!?

1+α2+α3=kk!α1!α2!α3!hα11hα22hα33∂kf∂xα11∂xα22∂xα33(a) +φ(h).

avec|φ(h)|=o(||h||ρ).

Proposition 11.3

Sifest de classeC2dansU, alorsfadmet en touta?Uun développement limité à l"ordre2fourni par la

formule de Taylor-Young f(a+h) =f(a) +L(h) +q(h) +o(||h||2). où

L(h) =?

h

1∂f

(a) et q(h) =1 2? h 2

1∂2f∂x21+h22∂2f∂x22+h23∂f∂x23+ 2?

h (a).

12 Extrema

f:U?Rn-→R. Dans cette section,p= 1.

Définition 12.1

On dit quefadmet unmaximum(respectivementminimum)relatifena?Us"il existe un voisinageV deatel que Le maximum (respectivement minimum) est ditstrictsi ?x?V\{a},f(x)?=f(a).

Proposition 12.1

Sifest exrtemum enaet différentiable ena, alorsdfa= 0.

•En particulier, siU=Rn, pour quefprésente un extremum relatif ena, il est nécessaire que∂f

∂xi(a) = 0.

La réciproque est fausse.

•Cas oùn= 2.On suppose quefest une application de classeC2d"un ouvertUdeR2eta?U est choisi tel que ∂f

∂x(a) =∂f∂y(a) = 0. On note alorsr(a) =∂2f∂x2(a),s(a) =∂2f∂x∂y(a)ett(a) =∂2f∂y2(a)et

δ(a) = (s2-rt)(a).

-6/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007 - Siδ(a)<0,aest unextremum relatifpourf(maximum sir(a)<0; minimum sir(a)>0). - Siδ(a)>0,an"est pas un extremum relatif, mais uncolpourf(tout voisinage deacontientxety tels quef(x)< f(a)< f(y)). - Siδ(a) = 0, on ne peut conclure. Cette discussion résume de l"étude de la signature de la forme quadratique q(x,y) =r(a)x2+ 2s(a)xy+t(a)y2.

13 Fonctions implicites

f:U?R3-→R. Dans cette section,n= 3etp= 1.

Proposition 13.1

théorèmes des fonctions implicites Sif? C1(U), et que(a,b,c)?Uest tel quef(a,b,c) = 0et∂f ∂z(a,b,c)?= 0, alors il existe un voisinage Vde(a,b,c), un voisinageWde(a,b)et une fonctionφ:W-→Rde classeC1vérifiantc=φ(a,b)et (x,y,z)?V,f(x,y,z) = 0??(x,y)?W,z=φ(x,y), alors ∂x(x,y) =-∂f ∂x ∂f ∂z(x,y,φ(x,y))et∂φ∂y(x,y) =-∂f ∂y ∂f ∂z(x,y,φ(x,y)). •Autrement dit, on peut résoudre localement l"équationf(x,y,z) = 0.

•Les relations concernant les dérivées partielles s"obtiennent par dérivation de la relationf(x,y,φ(x,y)) =

0.

14 Gradient, divergence, laplacien, rotationnel

SoitUun ouvert d"un espace vectoriel euclidienE, de dimension3.

Définition 14.1

Unchamp scalairedéfini surUest un applicationφ:U-→R. Unchamp vectorieldéfini surUest un

application ?V:U-→E.

•Ces définitions s"étendent à un espace affine euclidien moyennant le chiox d"une origine.

•On dit que le champ scalaire ou vectoriel est continu (respectivement différentiable, respectivement de

classeCk) siφou?Vest continu (respectivement différentiable, respectivement de classeCk).

14.1 Gradient d"un champ scalaire

φest un champ scalaire différentiable dansU.

Définition 14.2

Le vecteur

∂?i?i+∂φ∂?j?j+∂φ∂?k?kest indépendant de la base orthonormée(?i,?j,?k)choisie. On l"appelle legradient

du champφet on le note--→gradφ. -7/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

Proposition 14.1

Si?u=x?i+y?j+z?ket qu"on noteφ(?u) = Φ(x,y,z), on a alors gradφ=∂Φ

Propriétés du gradient.

-φ?→--→gradφest linéaire. - Siφ1etφ2sont deux champs scalaires différentiables, grad(φ1φ2) =φ1--→gradφ2+φ2--→gradφ1.

14.2 Divergence d"un champ vectoriel

Vest un champ vectoriel différentiable dansU.

Définition 14.3

Le réel

?i∂?V

∂?i+?j∂?V∂?j+?k∂?V∂?kest indépendant de la base orthonormée(?i,?j,?k)choisie. On l"appelledivergence

du champ ?Vet on le note div?V.

Proposition 14.2

Si?u=x?i+y?j+z?ket qu"on note?V(?u) =P(x,y,z)?i+Q(x,y,z)?j+R(x,y,z)?k, on a alors div ?V=∂P ∂x+∂Q∂y+∂R∂z.

Propriétés de la divergence.

?V?→div?Vest linéaire. - Siφest un champ scalaire différentiable et si?Vest un champ vectoriel différentiable, div(φ?V) =φdiv?V+?V--→gradφ.

14.3 Laplacien d"un champ scalaire

φest un champ scalaire de classeC2dansU.

Définition 14.4

Le réel(div◦--→grad)(φ)est indépendant de la base orthonormée(?i,?j,?k)choisie. On l"appelle lelaplaciendu

champφet on le noteΔφ.

Proposition 14.3

Si?u=x?i+y?j+z?ket qu"on noteφ(?u) = Φ(x,y,z), on a alors

Δφ=∂2Φ

Propriétés du laplacien.

-φ?→Δφest linéaire. - Siφ1etφ2sont deux champs scalaires de classeC2, Δ(φ1φ2) =φ1Δφ2+φ2Δφ1+ 2--→gradφ1--→gradφ2. -8/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

14.4 Laplacien d"un champ vectoriel

Vest un champ vectoriel de classeC2dansU.

Définition 14.5

Le vecteur(--→grad◦div)(?V)est indépendant de la base orthonormée(?i,?j,?k)choisie. On l"appelle lelaplacien

du champ ?Vet on le noteΔ?V.

Proposition 14.4

Si?u=x?i+y?j+z?ket qu"on note?V(?u) =P(x,y,z)?i+Q(x,y,z)?j+R(x,y,z)?k, on a alors ?V= ΔP?i+ ΔQ?j+ ΔR?k.

Propriétés du laplacien.

?V?→Δ?Vest linéaire. - Siφest un champ scalaire de classeC2et si?Vest un champ vectoriel de classeC2, Δ(φ?V) =φΔ?V+?VΔφ+ 2div?V--→gradφ.

14.5 Rotationnel d"un champ vectoriel

Eest, dans cette sous-section, orienté.?Vest un champ vectoriel différentiable dansU.

Définition 14.6

Le vecteur??i?∂?V

∂?i? +??j?∂?V∂?j? +??k?∂?V∂?k? est indépendant de la base orthonormée(?i,?j,?k)choisie. On l"appelle lerotationneldu champ?Vet on le note---→rot?V.

Proposition 14.5

Si?u=x?i+y?j+z?ket qu"on note?V(?u) =P(x,y,z)?i+Q(x,y,z)?j+R(x,y,z)?k, on a alors rot ?V=?∂R ∂y-∂Q∂z? ?i+?∂P∂z-∂R∂x? ?j+?∂Q∂x-∂P∂y? ?k=((((∂ ∂x ∂y ∂z)))) ?((((P Q R))))

Propriétés du rotationnel.

?V?→---→rot?Vest linéaire. - Siφest un champ scalaire différentiable et si?Vest un champ vectoriel différentiable, rot(φ?V) =φ---→rot?V+--→gradφ??V .

15 Champ de gradient, champ de rotationnel

Définition 15.1

Un champ vectoriel

?Vdéfini sur un ouvert connexeUest unchamp de gradients"il existe un champ scalaireφdifférentiable surU(appelépotentiel scalairede?V), tel que?V=--→gradφ. -9/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

•Deux potentiels scalaires de?Vdiffèrent d"une constante. Pour tout réelλ, l"ensemble des pointsMtels

queφ(M) =λest appelée surface équipotentielle.

•SiV? C1(U), la condition---→rot?V= 0est nécessaire pour que?Vsoit un champ de gradient car

rot gradφ= 0. Cette condition devient suffisante lorsqueUest convexe.

•Si?u=x?i+y?j+z?ket qu"on note?V(?u) =P(x,y,z)?i+Q(x,y,z)?j+R(x,y,z)?k, la condition précédente

(i.e.---→rot?V= 0) équivaut à ∂R ∂y-∂Q∂z= 0 ;∂P∂z-∂R∂x= 0 ;∂Q∂x-∂P∂y= 0. •Dans la pratique, si?Vvérifie---→rot?V= 0, on écrit∂φ ∂x=P,∂φ∂y=Qet∂φ∂z=R, puis on intègre l"une des

équations pour obtenir par exemple,φ(x) =?x

x

0P(t,y,z)dt+λ(y,z)que l"on dérive pour écrireQ=∂φ

∂y, ce qui donne une condition surλ.

Définition 15.2

Un champ vectoriel

?Vdéfini sur un ouvert connexeUest unchamp de rotationnels"il existe un champ vectoriel ?Ωdifférentiable surU(appelépotentiel vecteurde?V), tel que?V=---→rot?Ω. •Deux potentiels vecteurs de?Vdiffèrent d"un gradient. •SiV? C1(U), la condition div?V= 0est nécessaire pour que?Vsoit un champ de rotationnel car div rot?Ω = 0.

•Dans la pratique, pour déterminer les potentiels vecteurs?Ω =P?i+Q?j+R?k, on cherche une solution

particulière

?Ω0dont on fixe arbitrairement l"une des composantes à0, puis?Ω0+--→gradφ(oùφest un champ

scalaire arbitraire de classeC2) est aussi un potentiel vecteur.

16 Formes différentielles de degré un

U?Rn.

Définition 16.1

Uneforme différentielle de degré unsurUest une applicationωdeUdans l"ensemble des applications

linéaires deRndansR. Soita?Ueth= (dx1,...,dxn)?Rn, on a :

ω(a)(h) =?

i(a)dxi.

•Pour que la forme différentielleωsoit de classeCkdansU, il faut et il suffit que chaquePile soit.

•Sif:U-→Rest différentiable dansU, l"applicationdf:a?→dfaest un exemple de forme différentielle

de degré un. -10/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

Définition 16.2

Une forme différentielleωestexactesurUs"il existefde classeC1dansUtelle quedf=ω(fest une primitive deωet siUest connexe, deux primitives deωdiffèrent d"une constante).

Définition 16.3

Une forme différentielleω=Pdx+Qdy+Rdzde degré1et de classeC1dansUestferméesi ∂R ∂y-∂Q∂z= 0 ;∂P∂z-∂R∂x= 0 ;∂Q∂x-∂P∂y= 0. •Toute forme exacte est fermée. La réciproque est vraie siUest convexe. •Si on regardeP,QetRcomme les composantes d"un champ vectoriel?V=P?i+Q?j+R?k, alors -ωest fermée??---→rot?V=?0.

-ωest exacte etφest une primitive deω???Vest un champ de gradient etφest un potentiel scalaire

de ?V.

Définition 16.4

Un champ scalaireμest unfacteur intégrantde la forme différentielleωsi la formeμωest fermée.

Définition 16.5

ω=Pdx+Qdyest une forme différentielle de degré un et de classeC1dansU,Wun ouvert deR2 etφ:W=?Uun changement de variables admissible (C1-difféomorphisme) donné parx=f(u,v)et y=g(u,v). On appelleimage transposée de la formeωparφla forme ?(ω) =P(φ(u,v))?∂f ∂udu+∂f∂vdv? = [(P◦φ)∂f

∂u+ (Q◦φ)∂g∂u]du+ [(P◦φ)∂f∂v+ (Q◦φ)∂g∂v]dv

•φ?(ω)est de classeC1dansW.φ?(ω1+ω2) =φ?(ω1) +φ?(ω2).(φ◦ψ)?=ψ?◦φ?.

Exemple: siφest la transposition polairex=ρcosθety=ρsinθ, -ω1=xdy-ydx;φ?(ω1) =ρ2dθ. -ω2=xdx+ydy;φ?(ω2) =ρdρ.

17 Intégrales curvilignes

Définition 17.1

Soitω=Pdx+Qdy+Rdzune forme différentielle de degré un, continue dans un ouvertU?R3et

?→γ= ([a,b],?F)un arc géométrique orienté de classeC1, dont le supportΓest contenu dansU.

Si ?F:t?→?F(t) =f1(t)?i+f2(t)?j+f3(t)?k, alors l"intégrale b a [P(?F(t))f?1(t) +Q(?F(t))f?2(t) +R(?F(t))f?3(t)]dt

ne dépend pas du choix de la paramétrisation deγet on l"appelleintégrale de la forme différentielleω

sur l"arc orienté ?→γouintégrale curviligneselon?→γ(notée? -11/12-Mathématiques PLC1 MathsDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles2007

•Si?→γestC1par morceaux, il est réunion finie d"arcs?→γide classeC1et on définit l"intégrale deωpar?

?→γiω.

Définition 17.2

Si(P,Q,R)sont regardées comme composantes du champ vectoriel?V=P?i+Q?j+R?k, on note alors?

?→γ?V--→dMet on dit que c"est lacirculationdu champ vectoriel?Vle long de l"arc orienté?→γ.

?→γétant fixé,ω?→? ?→γωest linéaire. •Siφ?(ω)désigne la transposée de la formeω, on a? ?→γφ?(ω)oùφ(?→γ)est l"image parφde l"arcω. •Siωest une forme différentielle exacte dansU,? ?→γωne dépend que des extrémités de l"arc?→γet?

?→γω=φ(B)-φ(A)oùφest une primitive deω(i.e.dφ=ω) etAetBles extrémités de l"arc (i.e.

OA=?F(a)et--→OB=?F(b)). En particulier, siωest une forme différentielle exacte et si l"arc?→γest fermé (i.e.

A=B),?

?→γω= 0.

Références

[1] M. Serfati,Exercices de mathématiques. 3. Analyse II, Belin, Collection DIA, 1987. -12/12-Mathématiquesquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

[PDF] TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice

[PDF] PPA, inflation et masse monétaire

[PDF] Chapitre deux : Calcul de variation, calcul d'incertitude 21

[PDF] Les acteurs de la gestion de projet - Lascom

[PDF] Types et performances des processeurs

[PDF] Le contrôle interne - ECF

[PDF] Rôles sociaux - HCP

[PDF] Les différents services au sein de l'entreprise - cloudfrontnet

[PDF] A Les juridictions judiciaires LE DROIT PENAL

[PDF] Les différents types d'enquêtes

[PDF] presente brievement les differents types d'inflation, 1'auteur aborde

[PDF] Techniques d'études de marché - Orsys

[PDF] Les 6 différents styles d'évangélisation - Archdiocese of Saint Boniface

[PDF] Les différents types de cartes en géographie

[PDF] reconnaître les types de clients - CCI Ariège