[PDF] Sujet du bac S Mathématiques Spécialité 2017 - Am. du Nord

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Exercice 3

Corrigé

SPÉCIALITÉ

Lesujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour

aborder les questions suivantes, à condition de l"indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non

fructueuse, qu"il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en

compte dans l"appréciation de la copie.17MASSAN1Page 1/7Sujets Mathématiques Bac 2017 freemaths.fr

BACCALAURÉATGÉNÉRAL

SESSION

2017

MATHÉMATIQUES

Série

S

Candidats

Durée

del"épreuve:4heures

Coefficient

:9 Ce Les du

16novembre1999.freemaths.frfreemaths.fr

EXERCICE3 (5 points)

Commun à tous les candidats

npremiers termes consécutifs est égale au produit desnpremiers termes consécutifs. On admet qu"une telle suite existe et on la note ( u n). Elle vérifie donc trois propriétés : *u0È1, *pour toutnÊ0,unÊ0. *pour toutnÈ0,u0Åu1Å¢¢¢Åun¡1AEu0£u1£¢¢¢£un¡1.

1.On choisitu0AE3. Détermineru1etu2.

s

1AEu0.

a)Vérifier que pour tout entiernÈ0,snÅ1AEsnÅunetsnÈ1. b)En déduire que pour tout entiernÈ0, u nAEsns n¡1. c)Montrer que pour toutnÊ0 ,unÈ1.

3.À l"aide de l"algorithme ci-contre, on veut cal-

culerletermeunpourunevaleurdendonnée. a)Recopier et compléter la partie traitement de l"algorithme ci-contre. b)Le tableau ci-dessous donne des valeurs ar- rondies au millième deunpour différentes valeurs de l"entiern:n0510203040 u n31,1401,0791,0431,0301,023

Quelle conjecture peut-on faire sur la

convergence de la suite ( u n)?Entrée: Saisirn

Saisiru

Traitement:sprend la valeuru

Pouriallant de 1 àn:

|uprend la valeur ... |sprend la valeur ...

Fin Pour

Sortie: Afficheru4.a)Justifier que pour tout entiernÈ0,snÈn. b)En déduire la limite de la suite (sn) puis celle de la suite (un).

17MASSAN1Page 5/7Amérique du Nord 201 7 - freemaths . fr

Bac - Maths - 201

7 - Série S

1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7

EXERCICE 3

[ Amérique du Nord 201 7 ] 1.

Déterminons U

1 et U 2

Il s'agit de calculer U

1 U 1 est tel que: U 0 + U 1 = U0 x U 1 3 + U 1 = 3 x U 1 <=> 3 x U 1 - U 1 = 3 <=> 2 U 1 = 3 => U 1 = 3 2

Il s'agit de calculer U

2 U 2 est tel que: U 0 + U 1 + U 2 = U 0 x U 1 x U

2 <=> 3 +

3 2 + U 2 = 3 x 3 2 x U 2 9 2 + U 2 9 2 x U 2 <=> 9 2 U 2 - U 2 9 2 => U 2 9 7

Au total:

U 1 3

2 et U

2 9 7 2. a.

Vérifions que, pour tout entier n > 0, S

n 1 = S n + U n et S n > 1:Pour tout entier naturel n > 0: S n = U 0 + U 1 + U 2 + . . . + U n 1 d'où: S n 1 = U 0 + U 1 + U 2 + . . . + U n 1 + U n => S n 1 = S n + U n 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7

De plus, comme pour tout n > 0:

U n > 0, nous avons: U 0 = 3 > 0, U 1 > 0, U 2 > 0, . . . , U n 1 > 0.

Par conséquent:

U 0 + U 1 + U 2 + . . . + U n 1 > 3 => U 0 + U 1 + U 2 + . . . + U n 1 > 1 => S n > 1. Au total, nous avons bien pour tout entier naturel n > 0: S n 1 = S n + U n et S n > 1. 2. b. Déduisons-en que pour tout entier naturel n > 0, U n S n S n - 1

Pour tout entier naturel n > 0:

S n + U n = S n x U n <=> ( S n - 1 ) U n = S n => U n S n S n - 1 avec: S n 1.

Au total, pour tout entier naturel n > 0:

U n S n S n - 1 3. a. Recopions et complétons la partie traitement de l'algorithme: La partie Traitement complétée est la suivante:

Traitement:

S prend la valeur U

Pour i allant de 1 à n:

U prend la valeur S S - 1

S prend la valeur S + U

Fin Pour

3 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 3. b. Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite ( U n La conjecture que nous pouvons émettre sur la convergence de la suite ( U n ) est: " on pourrait, a priori, penser que la suite ( U n ) est convergente " .

De plus, (

U n ) est positive et semble converger vers " 1 " ( minorant ) . 4. a.

Justifions que pour tout entier n > 0, S

n > n:

Pour tout entier naturel n > 0,

U n > 1 d'après la question précédente

Dans ces conditions:

U 0 = 3 > 1, U 1 > 1, U 2 > 1, . . . , U n 1 > 1.

D'où:

U 0 + U 1 + U 2 + . . . + U n 1 > 1 + 1 + 1 + . . . + 1 cad: S n > n x (

1 ) => S

n > n

Au total: pour tout entier naturel n > 0, S

n > n 4. b.

Déduisons-en la limite de la suite ( S

n ) ainsi que celle de la suite ( U n lim S n n = lim n +n

Donc la suite (

S nquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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