[PDF] Mathématiques financières Legros B. Mini Manuel de

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Mathématiques

financières manuel

L'essentiel du cours

Exercices corrigés

Sujet d'examen

Benjamin Legros 9782100745296-legros-lim.indd 320/01/16 07:50Retrouver ce titre sur Numilog.com

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Partie 1

1.1Suites arithmŽtiques 4

1.2Suites gŽomŽtriques 8

1.3Suites arithmŽtico-gŽomŽtriques 12

Points clŽs 14

Exercices 15

Solutions 16

2IntŽrts simples et escompte 23

2.1Mode de calcul des intŽrts simples 24

2.2Placements de courtes durŽes 25

2.3Versements constants 29

2.4Calcul du taux moyen 31

2.5Exemples de livrets dÕŽpargne 32

2.6Effet de commerce et escompte 33

2.7Calcul de lÕescompte 34

2.9IntŽrts prŽcomptŽs 36

2.10Contrat ˆ terme dÕachat ou de vente de devises 38

Points clŽs 41

Exercices 43

Solutions 46

9782100745296-legros-tdm.qxd 20/01/16 8:54 Page VRetrouver ce titre sur Numilog.com

3IntŽrts composŽs 57

3.1Calcul des intŽrts composŽs 57

3.2Taux proportionnels et taux Žquivalents 61

3.3Versements constants 62

Points clŽs 70

Exercices 72

Solutions 75

4Emprunts indivis 89

4.1Principe gŽnŽral 90

4.2Modes de remboursement classiques 96

4.3Remboursements Žvolutifs 102

Points clŽs 106

Exercices 108

Solutions 110

Partie 2

Les projets dÕinvestissement

5Outils dÕŽvaluation dÕun investissement 121

5.2Comparaison de deux projets dÕinvestissement 129

5.3Prise de dŽcision en avenir incertain 128

Points clŽs 136

Exercices 138

Solutions 140

6Emprunts obligataires 147

6.1Principe de fonctionnement 148

6.2Tableaux dÕamortissement pour les obligations ˆ taux fixe 153

6.3Analyse du risque 159

Points clŽs 163

Exercices 165

Solutions 167

VITable des matières

9782100745296-legros-tdm.qxd 20/01/16 8:54 Page VIRetrouver ce titre sur Numilog.com

7Valeur des actions 179

7.1Mode dÕŽvaluation 180

7.2Risque et rentabilitŽ 185

7.3Gestion de la diversification 189

Points clŽs 193

Exercices 195

Solutions 197

Sujet dÕexamen 201

Index 213

Table des matièresVII

© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

9782100745296-legros-tdm.qxd 20/01/16 8:54 Page VIIRetrouver ce titre sur Numilog.com

La page d'entrée de chapitre

Elle donne le plan du cours,

ainsi qu'un rappel des objectifs pédagogiques du chapitre.

Le cours

Le cours,concis et structuré,

expose les notions importantes du programme.

Les rubriques

Une erreur à éviter

Un peu de méthode

Les points clés à retenir

Les exercices

Ils sont proposés en fin de chapitre,

avec leur solution,pour se tester tout au long de l'année.

Le sujet d'examen

Situé à la fin de l'ouvrage,il permet

de s'entraîner dans les conditions de l'examen.

Comment utiliser le Mini Manuel ?

9782100745296-legros-tdm.qxd 20/01/16 8:54 Page VIIIRetrouver ce titre sur Numilog.com

ƒtudes de suites..............................................................3

IntŽrts simples et lÕescompte

....................................23

IntŽrts composŽs

Emprunts indivis

1

PARTIE

Chapitre 1

Chapitre 2

Chapitre 3

Chapitre 4

Comment Žvaluer un placement financier ? Que reprŽsente un gain ˆ venir dans le bilan dÕune entreprise ? Que reprŽsente un taux dÕintŽrt ?

Quels mŽcanismes dŽterminent un emprunt ?

diffŽrents points de vue du particulier,de lÕentreprise ou de la banque. Le premier chapitre Ç Les suites È est le fondement mathŽmatique nŽcessaire ˆ la comprŽhension des formules de la finance.Ses rŽsultats mathŽmatiques vont se trouver dans lÕensemble du livre. Le second chapitre Ç IntŽrts simples et Escompte È permet dÕestimer les place- ments de durŽes courtes sur des comptes rŽglementŽs du type Livret A. Il permet aussi dÕapprŽhender le fonctionnement de composŽs È prŽsente le calcul des placements de longues durŽes et de lÕactualisation. Une application essentielle de ce chapitre est le calcul des rentes qui permet de concevoir le fonctionnement dÕune retraite les Žchanges financiers entre le prŽteur et lÕemprunteur avec une mise en place des aspects comptables de lÕemprunt.

9782100745296-legros-part1.qxd 11/01/16 7:57 Page 1Retrouver ce titre sur Numilog.com

9782100745296-legros-part1.qxd 11/01/16 7:57 Page 2Retrouver ce titre sur Numilog.com

Considérons la suite 2 ; 5 ; 8 ; 11... On devine assez simplement le terme suivant : 14. On a observé un ajout de 3 pour calculer un terme à partir du précédent et l'on a conclu que le phénomène allait se poursuivre ensuite. Un autre exemple : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13... Le phénomène est moins simple ici. On remarque qu'un terme est égal à la somme des deux précédents. Ainsi le terme suivant sera 21 et il est possible de calculer l'ensemble des termes qui suivent. Ces exemples peuvent sembler gratuits, mais ils démontrent tout l'inté- rêt des suites : le caractère prédictif. Ce caractère prédictif est essentiel en finance. En effet, qu'il s'agisse du remboursement d'un emprunt ou de gains réalisés par un placement, l'important est de pouvoir chiffrer au mieux les mouvements de capitaux à venir. Les suites se trouvent donc dans l'ensemble des thèmes abordés dans cet ouvrage. Ce chapitre pré- sente les résultats essentiels sur les suites les plus utilisées en finance : les suites arithmétiques et les suites géométriques. 1

CHAPITRE

Études de suites

1.1Suites arithmétiques

1.2Suites géométriques

1.3Suites arithmético-géométriques

PLAN ?Savoir définir une suite arithmétique et une suite géométrique. ?Trouver la raison et le terme général d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique. ?Connaître la formule de la somme des termes d'une suite. ?Comprendre le fonctionnement des suites arithmético-géométriques. ?Utiliser le logarithme lors d'une recherche de durée. ?Modéliser un phénomène par une suite arithmétique ou une suite géo-métrique.

OBJECTIFS

9782100745296-legros-C01.qxd 11/01/16 8:00 Page 3Retrouver ce titre sur Numilog.com

© D d T d i i é déli

1.1SUITES ARITHMÉTIQUES

a) Définition d'une suite arithmétique

Considérons la suite 2 ; 4 ; 6 ; 8...

On observe un ajout de 2 pour calculer un terme à partir du précédent.

4Chapitre 1• Études de suites

+2 +2 +2+2

2 4 6 8 10

Ce nombre qui permet de calculer un terme à partir du précédent s'ap- pelle la raison de la suite arithmétique. La notation d'usage de la rai- son d'une suite arithmétique est r.

Formalisons le phénomène en notant u

0 le premier terme,u 1 le second, u 2 le troisième et ainsi de suite. On calcule un terme à partir du précé- dent selon le schéma suivant : +r+r+r+r 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u Ainsi, la définition d'une suite arithmétiqueest donnée par la relation : u n+1 =u n +r Cette relation suffit complètement à définir une suite arithmétique si l'on dispose d'un des termes de la suite. Dans l'exemple précédent, la connaissance de " u 0 =2» et de la relation " u n+1 =u n +2» permet de calculer pas à pas l'ensemble des termes de la suite. b) Comment calculer simplement un terme d'une suite arithmétique ? La relation précédente ne permet pas de calculer rapidement un terme d'une suite arithmétique. Si l'on souhaite calculer le 50 e terme, il est nécessaire de connaître le 49 e qui, lui-même, se calcule à partir du 48 e et ainsi de suite. Ainsi, pour atteindre le 50 e terme, il sera nécessaire

9782100745296-legros-C01.qxd 11/01/16 8:00 Page 4Retrouver ce titre sur Numilog.com

d'effectuer un grand nombre de calculs. C'est pour cela qu'il est essen- tiel de mettre en place une formule générale qui fournit n'importe quel terme indépendamment du précédent. Pour construire cette formule, on peut partir de la définition suivante pour calculer u 1 :u 1 =u 0 +r

De même pour calculer u

2 u 2 =u 1 +r=(u 0 +r)+r=u 0 +2×r

Puis :

u 3 =u 2 +r=(u 0 +2×r)+r=u 0 +3×r Ces premiers résultats induisent une formule générale: u n =u 0 +n×r Remarque :la démarche présentée induit la formule mais n'a pas valeur de démonstration mathématique. Une démonstration rigoureuse utilise- rait le principe de récurrence.

Si l'on ne dispose pas du terme u

0 mais d'un autre terme u k , le terme général d'une suite arithmétique est donné par la relation suivante : u n =u k +(n-k)×r

Exemple

Cherchons le terme général de la suite arithmétique de raison 3 sachant que u 5 =22. Par application de la formule précédente avec k=

5, on trouve :

u n =u 5 +(n-5)×3=22+(n-5)×3=22+3×n-15 =7+3×n c) Représentation graphique et sens de variation Les termes successifs d'une suite arithmétique peuvent être représentés graphiquement. Les points représentés sont alignés sur une droite de pente ret d'ordonnée à l'origine u 0

1.1• Suites arithmétiques5

financiers 1 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

9782100745296-legros-C01.qxd 11/01/16 8:00 Page 5Retrouver ce titre sur Numilog.com

© D d T d i i é déli

Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend de sa raison : - Si r>

0la suite est croissante.

- Si r<

0la suite est décroissante.

- Si r=

0la suite est constante.

d) Somme des termes d'une suite arithmétique On peut chercher à cumuler les termes d'une suite. Ce calcul a un inté- rêt dès que l'on souhaite cumuler des valeurs.

On cherche à calculer :S=u

0 +u 1 +u 2 +···+u n En écrivant cette somme " à l'envers » on trouve : S=u n +u n-1 +u n-2 +···+u 0 Ainsi en additionnant les deux lignes précédentes, terme à terme, on trouve :

2×S=(u

0 +u n )+(u 1 +u n-1 )+(u 2 +u n-2 )+···+(u n +u 0 À première vue, ce regroupement peut sembler artificiel mais la remarque suivante va simplifier l'expression : On a u 0 +u n =u 0 +u 0 +n×r=2×u 0 +n×r u 1 +u n-1 =u 0 +r+u 0 +(n-1)×r=2×u 0 +n×r=u 0 +u n u 2 +u n-2 =u 0 +2×r+u 0 +(n-2)×r=2×u 0 +n×r =u 0 +u n u k +u n-k =u 0 +k×r+u 0 +(n-k)×r=2×u 0 +n×r =u 0 +u n

6Chapitre 1• Études de suites

024681012

0123456

n u 0 u n

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