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Cours d"optique géométrique Sup TSI

Chapitre 2 : Formation des images dans les conditions de Gauss

L"optique est la branche de la physique qui étudie les phénomènes mettant en jeu la lumière.

I.

Systèmes optiques centrés

1.

Définitions

Système optique : C"est un ensemble de milieux transparents séparés par des surfaces

réfractantes (dioptres) ou réfléchissantes (miroirs). Le système optique est dit centré s"il

possède un axe de symétrie appelé axe optique. On distingue trois catégories de systèmes optiques : Système dioptrique : c"est un système ne comportant que des dioptr es(milieux réfrac- tants). Système catadioptrique : c"est un système comportant des dioptr eset des mir oirs. Système catoptrique : c"est un système ne comportant que des mir oirs(milieux réflé- chissants). Image d"un point :A0est l"image deApar un système optique(S)si tous les rayons passant parAconvergent enA0après traversée su système(S)(figure 1). A A

0(S)Axe

optique

Figure 1

2.

Espace objet-espace image

Un objet est réel s"il est situé dans l"espace objet réel (EOR). Il est virtuel s"il est situé dans

l"espace objet virtuel (EOV).

Une image est réelle si elle est située dans l"espace image réelle (EIR). Elle est virtuel si elle

est située dans l"espace image virtuelle (EIV). L"espace objet et l"espace image dépend de la nature du système optique (figure 2).

Remarque :

Un objet (ou une image) est réel s"il est obtenu par intersection des rayons lumineux. Un objet (ou une image) est virtuel s"il est obtenu par intersection desprolongementdes rayons lumineux.Formation des images 1/11 Y Elmokhtari

Cours d"optique géométrique Sup TSI

EOREOR

EIREIREIVEIVEOVEOV

Cas d"un système dioptriqueCas d"un système catoptrique

Figure 2

3.

Notions de stigmatisme et d"aplanétisme

a)

Stigmatisme

Un système optique(S)est rigoureusement stigmatique si tous rayon lumineux passant par

un point objetApasse, après traversée su système(S), par le même point imageA0. On dit que

AetA0sont deux points conjugués par(S).

Si l"image deAest une tâche de petite dimension, le système est approximativement stig- matique. b)

Aplanétisme

SoitABun objet perpendiculaire à l"axe optique. Le système est aplanétique si l"imageA 0B0 deABest perpendiculaire à l"axe optique. 4.

Conditions de l"appr oximationde Gauss

Un système optique est approximativement stigmatique et aplanétique s"il vérifie les deux conditions dites de Gauss : les rayons incidents sur le système optique sont paraxiaux (proches de l"axe optique); les rayons incidents sont peu inclinés par rapport à l"axe optique. II.

Lentilles sphériques minces

1.

Définitions

Une lentille sphérique est un milieu transparent homogène et isotrope limité par deux dioptres ou un dioptre sphérique et un dioptre plan.

Il existe deux types de lentilles :

lentille convergente : à bords minces (figure 3a); lentille divergente : à bords épais (figure 3b)Formation des images 2/11 Y Elmokhtari

Cours d"optique géométrique Sup TSI

(a) Lentilles convergentes(b) Lentilles divergentes

Figure 3

Soit une lentille constituée de dioptres sphé- riques de centresC1etC2et de rayonsR1=S1C1 etR2=S2C2(figure 4). La lentille est mince si son épaisseure << R1et e << R

2avece=S1S2.

Dans ce casS1S2O.Oest le centre optique

de la lentille mince.

On représente une lentille mince par les sym-

boles de la figure 5.C 2S 1S 2C

1Figure 4

O (a) Lentille convergenteO (b) Lentille divergente

Figure 5

2.

Foyers, plans focaux et distances focales

Pour une lentille mince sphérique, on définit (figure 6) : le plan focal objet(): c"est l"ensemble des points objet dont l"image est rejetée à l"infini; le plan focal image(0): c"est l"ensemble des points image dont l"objet se trouve à l"infini; le foyer principal objetF: c"est l"intersection du plan focal objet()et l"axe optique; le foyer principal imageF0: c"est l"intersection du plan focal image(0)et l"axe optique; la distance focale objetf=OFet la distance focale imagef0=OF

0avecf0=f.

Pour une lentille convergentef0>0tandis que pour une lentille divergentef0<0.Formation des images 3/11 Y Elmokhtari

Cours d"optique géométrique Sup TSI

la vergence ou la puissance d"une lentilleV=1f

0.Vs"exprime en dioptrie(1= 1m1).OFF

0()(0)Lentille convergenteOF

0F(0)()Lentille divergente

Figure 6

3. Construction de l"image géométrique d"un objet

Construisons l"imageA

0B0d"un objetAB, perpendiculaire à l"axe optique, par une lentille.

Le pointAse trouve sur l"axe optique.

Pour cela, on trace deux rayons (figure 7), passant par le point objetB, parmi les trois rayons suivants : un rayon incident passant parFtraverse la lentille et sort parallèle à l"axe optique; Un rayon incident parallèle à l"axe optique traverse la lentille et passe parF0; Un rayon incident passant par le centre0de la lentille ne subit aucune déviation. L"intersection de deux rayons émergents permet de déterminer le point imageB0. Le point A

0est obtenu par projection orthogonale deB0sur l"axe optique.AB

A 0B 0FF 0OAB A 0B 0FF 0O

Figure 7

Application 1 :

Construire le rayon émergent de la lentille dans le cas de la figure 8.Formation des images 4/11 Y Elmokhtari

Cours d"optique géométrique Sup TSI

OF 0F

Figure 8a

Solutions :

Pour dessiner la marche du rayon lumineux incident, on trace le rayon parallèle passant

parOqui ne subit pas de déviation à la traversée de la lentille. Ces deux rayons parvenant de

l"infini, ils se coupent en un point du plan focal image(0)(figure 8b).(+) OF

0F(0)Figure 8b

4.

Relations de conjugaison et de grandissement

Les relations de conjugaison et de grandissement permettent de connaître la position et la grandeur de l"image connaissant celles de l"objet ou inversement. a) Relations avec origine aux foyers : For mulesde Newton Prenons le schéma de la figure 9.Formation des images 5/11 Y Elmokhtari

Cours d"optique géométrique Sup TSI

Soit les triangles(JOF)et(FAB)d"une part et les triangles(IOF0)et(F0A0B0)d"autres part.

Le théorème de Thalès donne :FA

FO =AB OJ etF 0A0F 0O=A 0B0OI avecOF

0=FO=f0,OJ=A

0B0etOI=AB.

On a donc :

=A 0B0AB =f0FA =F 0A0f 0

On en déduit les formules de Newton :FA:F

0A0=f02;

=A 0B0AB =F 0A0f

0=f0FA

AB A 0B 0FF 0OI J

Figure 9

b) Relations avec origine au centr e: For mulesde Descartes Soit les triangles(OAB)et(OA0B0). Le théorème de Thalès donne :OA 0OA =A 0B0AB =A 0B0AB =OA 0OA Or =f0FA . Doncf0FA =OA 0OA

Par suite :f0FO+OA

=OA 0OA )f0:OA=f0:OA

0+OA:OA

0

Divisons les deux membres parf0:OA:OA

0. Alors :

1OA 01OA =1f 0

On en déduit les formules de Descartes :

1OA 01OA =1f 0; =A 0B0AB =OA 0OA

Formation des images 6/11 Y Elmokhtari

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5.

Doublet accolé de deux lentilles

Soit un doublet de deux lentilles mincesL1etL2de centresO1etO2et de distances focales f

01etf02. Le doublet est accolé doncO1O2O.

On noteraA1l"image intermédiaire d"un point objetAsitué sur l"axe optique parL1etA0 l"image définitive par le doublet. A

1est l"image deAparL1. Donc1OA

11OA =1f 01. A

0est l"image deA1parL2. Donc1OA

01OA 1=1f 02.

D"où :

1OA 01OA =1f 01+1f 02=1f 0

Conclusion :

Un doublet accolé de deux lentilles minces de distances focalesf01etf02est équivalent à une lentille mince de distance focalef0tel que : 1f 0=1f 01+1f

02ouV=V1+V2III.Mir oirssphériques

1.

Définitions

Un miroir est un milieu qui réfléchit totalement la lumière. Si le centreCdu miroir sphérique se trouve dans le milieu de propagation de la lumière, le miroir est concave (ou convergent) (figure 10a). Dans le cas contraire, le miroir est dit convexe (ou divergent) (figure 10b).SC SC ou (a) Miroir concaveSC SC ou (b) Miroir convexe

Figure 10

CetSsont respectivement le centre et le sommet du miroir. (SC)est l"axe principal du miroir. Tout axe passant parCest dit axe secondaire du miroir. 2. Construction géométrique de l"image d"un objet

Construisons l"imageA

0B0d"un objetAB, perpendiculaire à l"axe optique, par un miroir

sphérique. Le pointAse trouve sur l"axe optique.

Pour cela, on trace les deux rayons (figure 11), passant par le point objetB, suivants :Formation des images 7/11 Y Elmokhtari

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un rayon incident passant parCse réfléchit dans la même direction (incidence normale); un rayon incident passant parSse réfléchit symétriquement par rapport à l"axe optique. L"intersection des deux rayons réfléchis permet de déterminer le point imageB0. Le pointA0 est obtenu par projection orthogonale deB0sur l"axe optique.CSAA 0B B

0(a) Miroir concaveSCAB

A 0B

0(b) Miroir convexe

Figure 11

3.

Relations de conjugaison et de grandissement

a)

Relations avec origine au centr e

D"après la figure 11, on a :AB

CA =A 0B0CA 0) =A 0B0AB =CA 0CA et :AB SA =A 0B0SA 0) =SA 0SA

On a donc :CA

0CA =SA 0SA =SC+CA

0SC+CA

)SC:CA+CA

0:CA=SC:CA

0CA:CA

0

D"où :SC:CA+SC:CA

0=2CA:CA

0 Divisons les deux membres de cette équation parSC:CA:CA

0. Donc :

1CA 0+1CA =2CS On retient les relations de conjugaison et de grandissement avec origine au centre : 1CA 0+1CA =2CS; =A 0B0AB =CA 0CA

Formation des images 8/11 Y Elmokhtari

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b)

Relations avec origine au sommet

On a :CA

0CA =SA 0SA )SA 0SA =CS+SA

0CS+SA

D"où :SA

0:CS+SA

0:SA=SA:CSSA:SA

0)SA

0:CS+SA:CS=2SA:SA

0

Divisons les deux membres parSA:SA

0:CS, on obtient :

1SA 0+1SA =2SC On retient les relations de conjugaison et de grandissement avec origine au sommet : 1SA 0+1SA =2SC; =A 0B0AB =SA 0SA 4.

Foyer ,for mulesde Newton

a) Foyer

Le foyer principal objet est un point de l"axe optique dont l"image est rejetée à l"infini. D"après

la formule de conjugaison avec origine au sommet 1SF =2SC ouSF=SC 2

Le foyer principal image est un point de l"axe optique dont l"objet se trouve à l"infini. D"après

la formule de conjugaison avec origine au sommet 1SF 0=2SC ouSF 0=SC 2 On en déduitF0F. Le miroir sphérique possède un seul foyer principal notéFet qui se trouve à mi-distance entre le centre et le sommet.

Le plan focal est le plant de front passant parF.

La grandeurf=FS=CS

2 est appelée distance focale du miroir.

Un rayon incident parallèle à l"axe optique se réfléchit en passant parFet un rayon incident

passant parFse réfléchit parallèlement à l"axe optique (figure 12).CFSFCS

Figure 12

Formation des images 9/11 Y Elmokhtari

Cours d"optique géométrique Sup TSI

Application 2 :

Construire le rayon réfléchi sur le miroir dans le cas de la figure 13a.CFS (a)CF()S (b)

Figure 13

Solutions :

Pour dessiner le rayon réfléchi, on trace le rayon incident parallèle passant par le centreC

qui se réfléchit dans la même direction. Ces deux rayons parvenant de l"infini, ils se coupent en

un point du plan focal()(figure 13b). b)

For mulesde Newton

Soit les triangles(FSJ)et(FAB)(figure 14). On a alors :SJ FS =AB FA avecSJ=A

0B0etFS=f

Donc =A 0B0AB =fFAquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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