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MPSI2, Louis le GrandFormation des images, instruments d"optiqueSemaine du 6 au 13 octobreOn prendran= 1pour l"air dans tous les exercices. On produira une figure soignée pour

chaque situation étudiée. Sauf mention explicite du contraire, la lumière se propage de

gauche à droite dans les schémas représentés. On traitera en premier l"exercice "Construc-

tions» fondamental. La lumière se propage de gauche à droite dans tous les schémas en l"absence de miroir. Exercices d"application :Constructions, formules de conjugaison, dioptre plan, zones, focométrie, projections, oculaires, loupe, lunette de Galilée. Culture en sciences physiques :Dioptre plan, oculaires, lentille de Fresnel, cavité, lunette de Galilée,

Corrigés en TD :Dioptreplan,zones,projection,oculaires,cavité,lunettedeGalilée.Lentilles et miroirs

Exercice 1 : Constructions

On tracera pour chacune de ces constructions le maximum de rayons particuliers et on précisera le carac-

tère réel, virtuel, droit, retourné, agrandi, réduit, de l"image. 1. (a)

T racerl"imag ed"un objet situé à une distance f0=2 en aval du foyer objet d"une lentille conver-

gente de distance focalef0 (b)

T racerl"imag ed"un objet situé à une distance f0=2 en amont du foyer objet d"une lentille conver-

gente de distance focalef0 (c) T racerl"imag ed"un objet situé a uf oyerimag ed"une len tillecon vergente. 2.

Mêmes questions pour une len tillediv ergente,en in versantles rô lesdes f oyersobjet et imag e.

3. Déterminer la marche d ur ayonsur les deux imag esci- après: FF ?F

?F4.Déterminer la position, les f oyerset la na turedes len tillesminces f ormantde l" objetAB l"imag eA

0B0 dans les figures ci-après (la lumière se propage de gauche à droite) :AB A ?B?AB A?B ?Exercice 2 : Formules de conjugaison

On désigne parp(resp.p0) la distance entre un objet AB (resp. son image A0B0) et le centre d"une lentille

convergente de distance focalef0. 1.

Déterminer l" expressionde p0en fonction depetf0si l"objet et l"image sont réels. En déduire les

expressions de la distance AA0et du grandissement. 2.

Déterminer les expressions de la distance AA

0et du grandissement en fonction depetf0si l"objet est

réel et l"image virtuelle, Exercice 3 : Zones d"une lentille divergente et d"un miroir concave

Déterminer les différentes zones d"une lentille divergente et d"un miroir concave. On indiquera pour cha-

cune la nature de l"image, réelle ou virtuelle et le grandissement transversal (positif ou négatif, inférieur

ou supérieur à 1 en norme). On veillera à utiliser les relations de conjugaison les mieux adaptées.

Exercice 4 : Projection à l"aide d"un miroir concave 1. On dispose d"un miroir conca vede r ayonR = 1 m.Quelle est sa distance f ocale? 2.

C emiroir est placé à la distance D = 5 md"un écr anE .Où doit -onplacer un petit objet pour en a voir

une image nette sur E? Quel est le grandissement?

Exercice 5 : Champ d"un miroir convexe

Les miroirs convexes sont souvent utilisés comme rétroviseurs de voiture, dans les carrefours routiers, sur

les distributeurs de billets...On étudie dans les deux questions suivantes un miroir de dia- mètrei(mesuré orthogonalement à l"axe optique) D, observé par un oeil considéré ponctuel, situé sur l"axe optique en un point noté O situé à la distanced. On s"intéresse à la zone de l"espace visible dans le miroir, qu"on nomme sonchamp, caractérisée par l"incidence maximale, notée, des rayons parvenant à l"oeil de l"observateur, comme indiqué sur le schéma ci-contre dans le cas d"un miroir plan.ΔDO

dα1.Le miroir est plan. En considér antle r ayonextrême parv enantà l" oeil,déterminer l" expressionde

l"angle, en fonction de D et de la distanced. 2. Le miroir est con vexe,de r ayonde courbure R .Déterminer la nouv elleexpression de l" angleet conclure sur l"utilité du miroir convexe dans cette situation.

Exercice 6 : Focométrie

Lafocométrieest la mesure de la distance focale d"une lentille.

Méthode de Bessel. On dispose d"un objet AB dont on veut projeter une image A0B0sur un écran E situé

à la distance D de AB. Pour ce faire, on dispose d"une lentille convergente de distance focalef0. 1. Mon trerqu"une projection n "estpossible que si D >4f0 2. Mon trerque si D >4f0, il existe deux positions de la lentille permettant d"obtenir une image nette de AB sur l"écran (E), et que ces deux positions sont distantes dedtelles que :f0=D2d2=4D:La mesure de D etdpermet alors de déterminerf0.

Méthode de Silbermann. On diminue maintenant D et on cherche à ne plus obtenir qu"une seule posi-

tion permettant de réaliser la projection : que vaut alors D? Que vaut le grandissement? Quel est le nom

de cette configuration. Intérêt et inconvénients de cette méthode par rapport à la précédente.i. Ce diamètre n"a aucun rapport avec le rayon de la sphère dans laquelle le miroir a été coupé.

Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.1/72016-2017

MPSI2, Louis le GrandFormation des images, instruments d"optiqueSemaine du 6 au 13 octobreExercice 7 : Oculaires

Les oculaires utilisés dans les instruments d"optique (microscope par exemple) sont constitués d"undoublet

de deux lentilles. On notef01etf02les distances focales des lentilles et on pose=F

01F2. On prendra par

la suite un doublet tel quef01= 3a,f02=a, etO

1O2= 2ala distance entre les centres des deux lentilles. La

constanteaest positive. 1.

On note F et F

0les positions des foyers objet et image de l"ensemble du dispositif. Déterminer graphi-

quement leur position. 2.

Mon trerqu" ona F

1F =f012

etF

02F0=f022

. Vérifier l"accord avec la construction graphique.Instruments fondamentaux

Exercice 8 : Lunette de Galilée

ii On fabrique une lunette en utilisant comme objectif une lentille mince convergente L

1de distance focale

f01>0 et comme oculaire une lentille mince divergente L2de distance focalef02<0. Les axes de ces deux

lentilles coïncident, et elles sont placées de telle façon que le foyer image de L

1corresponde au foyer objet

de L 2.

Faire un schéma, montrer qu"un tel dispositif est afocal, et fournit d"un objet à l"infini une image

"droite». Calculer le grossissement pourf01= 20 cm etf02=5 cm.

Exercice 9 : Loupe

On considère une loupe de distance focalef0. Son "grossissement commercial» (noté Gc) représente le

rapport de l"angle sous lequel on voit un objet quand il est placé au foyer de la loupe sur l"angle sous lequel

on le verrait, sans loupe, s"il était placé aupunctum proximumnotédmde l"observateur.

Que devient le grossissement de la loupe si on fait en sorte que l"image virtuelle soit à la distancedmde l"observateur, celui-ci collant son oeil à la loupe. Calculer ce nouveau grossissement si Gc= 3, pour

d m= 25cm. Exercice 10 : Stigmatisme approché du dioptre plan

Un dioptre plan sépare un milieu d"indicend"un milieu d"indicen0. Soit A un point du milieu d"indicen, S

la projection de Asur le plan du dioptre. Un rayon lumineux issu de A atteint le dioptre sous une incidence

iet est réfracté sous l"anglei0. 1. P eut-ondire que ce système est cen tré?Quel en est l" axeoptique ? 2.

Mon trerque l"in tersectionA

0du prolongement du rayon réfracté avec l"axe

AS vérifie :SA=SA

0= (ncosi)=(n0cosi0):M

ISAA?nn

?i

?i3.En déd uireque si iest petitiiiil y a stigmatisme approché, la relation de conjugaison s"écrivant :nSA

n 0SA

0:Par un raisonnement très simple, montrer que, dans ces conditions, le grandissement transversal

test égal à 1.ii. Galileo Galilei, physicien italien (1564-1642). iii. On rappelle que cosi'1 pouripetit.4.Expliquer pourquoi, mal gréle résul tat t= 1, un poisson paraît plus gros lorsqu"il est sous l"eau que ce qu"il paraîtrait s"il était dans l"air à la même distance.

Exercice 11 : Lentille de Fresnel

ivE 1. On considère un prisme en v erred"indice n(placé dans l"air) et d"angle A très faible, utilisé sous incidence quasi-normale,iei'0°. Déterminer la déviation D subie par un rayon, puis en donner une approximation en fonction uniquement denet A en utilisant le fait que tous les angles sont petits pour simplifier les expressions. 2. Des prismes de ce type son trépartis de part et d" autrede l" axeO xdans le plan de la figure. Ils sont régulièrement espacés, lekeétant à la distance r k=kbde l"axe, orientés de manière à rabattre vers l"axe un faisceau parallèle. On désigne par A kl"angle dukeprisme. Que doit valoir Akpour qu"un faisceau parallèle à Oxvienne converger approximativement en un point F

0défini parOF

0=f0. Quelle utilité voyez-vous à un tel dispositif?

Où les rencontre-t-on?Ak

r kSystèmes optiques à éléments multiplesExercice 12 : Cavité réfléchissanteE On réalise une cavité réfléchissante à l"aide de deux miroirs concaves identiques M

1et M2. Les deux miroirs ont même axe,

sefontface,etleursfoyerssontconfondusen F.Onseplacedans les conditions de Gauss et on considère uniquement des rayons se propageant dans un plan contenant leur axe. 1. On considère un r ayonl umineuxinciden tse propag eant dans cette cavité, parallèlement à l"axe principal commun S

1S2des deux miroirs. Au bout de combien de réflexions

sur M

1d"une part, sur M2d"autre part, le rayon réfléchi

s"identifie-il au rayon lumineux incident?

?S1?S2?F1.On pose la même question pour un r ayoninciden t,se propag eantdans la ca vitéen passan tpar F.

2.

On cherche main tenantà démon trerque les deux résul tatsacquis précédemmen tson tvr aispour

n"importe quel rayon lumineux incident. Dans ce but, établir : (a) a ubout de combien de réflexions sur M

1et M2l"image d"un point A situé sur l"axe S1S2coïncide

avec ce point, (b) a ubout de combien de réflexions sur M

1et sur M2le grandissement transversal est égal à1

d"une part, à +1 d"autre part.iv. A. J. Fresnel (1788-1827) physicien français. Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.2/72016-2017

MPSI2, Louis le GrandFormation des images, instruments d"optiqueSemaine du 6 au 13 octobre(c)En déd uirecombien de réflexions sur M

1et M2sont nécessaires pour qu"un rayon quelconque

se reproduise identiquement à lui-même.Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.3/72016-2017

MPSI2, Louis le GrandFormation des images, instruments d"optiqueSemaine du 6 au 13 octobreCorrection de l"exercice 1

1. Les constructions son treprésen téessur la figure 1. AB A ?B?FF ?(a) Image réelle, renversée, agrandie. AB A ?B ?FF ?(b) Image virtuelle, droite, réduite. AB A ?B ?FF ?(c) Image réelle droite, réduite.

Figure1

2. Les constructions son treprésen téessur la figure 2. AB A ?B ?F ?F(a) Image réelle, droite, agrandie. AB A ?B ?F ?F(b) Image virtuelle, renversée, agrandie. AB A ?B ?F ?F(c) Image virtuelle, droite, réduite.

Figure2

3.

On utilise (v oirla figure 3) les f oyersimag esecondaires associés à l"inclinaison sous laquelle le rayon

étudié atteint la lentille. Remarquons qu"on aurait aussi pu utiliser les foyers secondaires objets.

4.

L "intersectiond ur ayonjoignan tB et B

0avec l"axe optique donne la position de la lentille (voir la fi-

gure4). Ondétermineensuitelefoyer image(resp.objet)enutilisant lerayonissudeB(resp. émergent

de B0) et parallèle à l"axe optique. Le caractère réel ou virtuel de la lentille dépend du caractère réel

ou virtuel des foyers.FF ?F F ?FF ?Figure3 - .AB A ?B ?F ?AB A ?B ?F ?FFigure4 - Détermination de la lentille connaissant une paire objet/image.

Correction de l"exercice 2

1.

Si l" objetet l"imag eson tréels, on est en zone de projection et on sait que l" objetest en amon td uf oyer

objet et l"image en aval du foyer image. On a doncOA =petOA

0=p0puisquepetp0sont des

distances positives. Les relations de Descartes s"écrivent alors : 1p +1p 0=1f 0AA

0=p+p0=p2pf0

=p0p =f0pf0: 2. Si l" objetest réel et l"imag evirtuelle, on est en zone de l oupe,et on a donc OA =p <0 etOA 0=p0<

0. Les relations de Descartes s"écrivent alors :

1p 1p 0=1f 0AA

0=pp0=p2f

0p =p0p =p2f 0p:

Correction de l"exercice 3

Lentille divergenteOn utilise les relations de Newton :FA:F

0A0=f02et

t=f0FA . On détermine ainsi les

zones suivantes :Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.4/72016-2017

MPSI2, Louis le GrandFormation des images, instruments d"optiqueSemaine du 6 au 13 octobreobjet réel (FA<0etjFAj>jf0j)!

image virtuelle, t>0et t<1.objet virtuel (jFAj0et t>1(retour inverse).objet virtuelFA>0!image virtuelle etF

0A0<0,

t<0.

Miroir concaveOn a maintenant :FA:F

0A0=f02et

t=f0F

0A, avecf0<0 :objet réel etF

0A<0!image réelle,

t<0.F

0A>0et objet réel (jF

0Aj !image virtuelle t>0et t>1.objet virtuel (F

0A>jf0j)!image

réelle et00et t<1(retour inverse).

On retrouve immédiatement ces résultats en "repliant » l"espace objet d"une lentille convergente.

Correction de l"exercice 4

Sa distance focale vautf0= R=2 =50cm (en orientant l"axe optique dans le sens des rayons incidents).

La relation de conjugaison de Descartes (la plus appropriée puisqu"on donne une distance par rapport au

sommet du miroir) s"écrit, en posantx=SA avec A la position de l"objet :1D +1x =1f

0, soitx=0;56m, et

un grandissement : t=SA 0SA =Dx =8;9.

Correction de l"exercice 5

Dans les deux cas, le rayon marginal parvient à l"oeil sous l"incidencedéfinie par tan=D2d. Cependant

l"incidence de ce rayon (l"angle) sur le miroir est différente selon la nature de ce dernier. C"est cet angle

qui définit le champ du miroir. 1.

Dans le cas d umiroir plan, le r ayonmarginal parvien tà l" oeilsous le même angle . On a donc tanp=

D2d.2.Dans le cas d umiroir con vexeon peut ,pour sim plifierla construction, utiliser le principe du retour inverse en considérant la marche d"un rayon issu de l"oeil atteignant le bord du miroir. Sa direction après ré- flexion donnera l"angle. On détermine sa marche en utilisant le foyer focal image F0associé à l"incidence: c"est en effet celle avec laquelle il atteint le miroir. Ce foyer se situe à la distance F

0F0=f0tan=Rtan2

de l"axe optique. Son incidence d"émergence, l"angledest alors donnée par tand=D=2+F0F0jf0j= tan+DR .ΔDO d|f?|θ

F?θF

?αOn a donc toujoursd>p, la différence étant d"autant plus grande que D est grand devant R. Attention,

cette expression devient alors moins correcte puisque qu"on sort des conditions de Gauß.

Correction de l"exercice 6

Méthode de BesselLa relation de conjugaison de Descartes s"écrit :1OA 01OA =1f

0. En posantOA =x

(pour avoirx >0 pour un objet réel), on aOA

0= Dxet l"équation devient :x2Dx+ Df0= 0, qui

admet des solutions si= D(D4f0)>0, soit D>4f0. Pour D>4f0, cette équation admet deux solutions :x=DpD (D4f0)2 , distantes ded=pD (D4f0), soitf0=D2d2=4D.

On peut donner une autre démonstration de la seule inégalité D>4f0basée sur l"inégalité arithmético-

géométrique. On a en effet :

1Dx+1x

=1f

0!f0D =x(Dx);

en multipliant parx(Dx). L"inégalité arithmético-géométrique (basée sur la concavité de la fonction

racine) assure que8a;b(a+b)=2>pab. Appliquée ici àxet (Dx), elle s"écrit : px(Dx)612

D!x(Dx)6D24

dont on déduit de nouveau D>4f0. On peut enfin en donner une dernière démonstration utilisant le principe duretour inverseou le

caractère réflexif de la notion de stigmatisme. Soit un objet A placé par rapport à la lentille de telle

manière que la distance le séparant de son image A0est minimale. En considérant maintenant que A0

est l"objet et A son image, la position de A

0par rapport à la lentille réalise la même distance entre

l"objet et l"image. En admettant qu"il n"y a qu"une seule distance objet-lentille réalisant ce minimum,

on en conclut que A et A

0sont symétriques par rapport au plan de la lentille mince. On a doncOA =

OA

0. La relation de conjugaison de Descartes assure alors immédiatement queOA =2f0,OA

0= 2f0

et doncAA

0= 4f0.

Méthode de SilbermanOn cherche à obtenir une seule image, soit= 0, on a alors D = 4f0, c"est la

configuration dite " 2f2f». L"intérêt est qu"on n"a qu"une seule mesure à effectuer, l"inconvénient,

qu"il faut être capable de mesurer précisément le grandissement (égal à1 dans cette configuration).

Correction de l"exercice 7Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.5/72016-2017

MPSI2, Louis le GrandFormation des images, instruments d"optiqueSemaine du 6 au 13 octobre1.On détermine :

le foyer image F0en cherchant l"intersection d"un rayon parallèle à l"axe optique avec ce dernier, après traversée des deux lentilles, le foyer objet F en utilisant le principe du re- tour inverse. On considère un rayon parallèle à l"axe optique provenant de l"infini et se pro- pageant en sens inverse, et on détermine son intersection avec l"axe optique. On constate que pour cet oculaire particulier, le foyer objet est virtuel.F1?F

2?F?1= F?2

?F??F?? F ?F ?2.P ourle foyerimag e,larela tiondeconjug aisondeNewton pourla deuxièmelen tilles"écrit: F

2F01:F

02F0=

f022puisque l"image d"un point à l"infini par la première lentille est F01. Cette relation s"écrit :F

02F0=f022

=a2 . Pour le foyer objet, on a :F 1F:F

01F2=f012, en considérant la propagation en sens

inverse, qui inverse les rôles des foyers objet et image de la lentille 2. Au final,F

1F =f012

=9a2

Correction de l"exercice 8

On constate sur la figure ci-contre que le dispositif est afo- cal : un faisceau parallèle a pour image un faisceau paral- lèle. De plus, et contrairement au cas de la lunette astrono- lunette pour l"observation terrestre. Calculons le grossisse- ment G =0=. On a tan()''O

1A1=f01et de la même

manière0=O

2A2=(f02) soit G=f01=jf02j.?

?F1 O 1? O 2? A1 ?A2 F ?2?

F?1= F2

F 1? F ?2??

F2?Correction de l"exercice 9

On a G

c=dmf 0.

Au lieu de rechercher le confort de l"oeil de l"observateur, on peut augmenter l"ange0sous lequel est

vu l"objet en plaçant l"image virtuelle à la distancedmde la lentille et en collant l"oeil à la lentille. Le

grossissement vaut alors : G=A

0B0=dmAB=dm=A

0B0AB =OA 0OAquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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