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Contrôle n°5 3ème .....

Nom : .....................

Prénom : ..................

Exercice 1 :

3 points

1°) Compléter avec des valeurs approchées au centième :

cos 35° ý ........... tan 72° ý ........... sin 45°ý ...........

2°) Compléter avec des angles arrondis au degré

sin a = 0,45 donc a ý ........... cos b = 0,32 donc b ý ........... tan g = 6 donc g ý ...........

Exercice 2 :

6 points

Sur la figure ci-contre :

- les droites (AD) et (CE) sont sécantes en B ; - le point O est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC.

Les dimensions ne sont pas respectées.

Calculer les longueurs FE, BD et AB.

On donnera les résultats arrondis au dixième.

Exercice 3 :

4 points

Calculer les mesures des angles :

1°)

4URT.

2°)

4UTR.

3°)

4RUT.

On donnera les mesures arrondies au degré. U

9 cm

S R 5 cm 6 cm

T Exercice 4 :

3 points

On considère l"angle j, tel que sin j = 5

13. En déduire, par le calcul, les valeurs exactes de cos j et tan j.

Exercice 5 :

4 points

ABC est un triangle et C est son cercle circonscrit. A" est le point de C diamétralement opposé à B.

1°) Comparer les angles

4BAC et7BA"C .

2°) Déterminer une expression de

BC sin 7BA"C

3°) Que peut-on en déduire pour

BC sin 4BAC , AB sin 4ACB et CA sin 4CBA Citation du mathématicien Henri Poincaré (1854-1912) : " Les mathématiciens n"étudient pas les objets mais les relations entre ces objets. » B D E F C

A 35°

50° 10 cm

3 cm O C

Contrôle 5 : corrigé 3ème

Exercice 1 :

3 points

1°) On peut donner une valeur approchée au centième soit par défaut, soit par excès:

cos 35° ý 0,81 ou 0,82 tan 72° ý 3,07 ou 3,08 sin 45°ý 0,70 ou 0,71

2°) Donner un arrondi au degré ne laisse pas le choix parmi les valeurs approchées :

sin a = 0,45 donc a ý 27° cos b = 0,32 donc b ý 71° tan g = 6 donc g ý 81°

Exercice 2 :

6 points

Calcul de la longueur FE :

Le triangle BEF est rectangle en F, on utilise la trigonométrie : sin

4444FBE= FE

BE donc sin 50° = FE

10 donc FE = 10 ´ sin 50° ý 7,7 cm

Calcul de la longueur BD :

Le triangle BDE est rectangle en E, on utilise la trigonométrie : cos

4444EBD= BE

BD donc cos 35° = 10

BD donc BD = 10 ¸ cos 35° ý 12,2 cm

Calcul de la longueur AB :

Le triangle ABC est inscrit dans le cercle C et [BC] est un diamètre de ce cercle ; or si un côté d"un triangle est

le diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé au diamètre ; donc

ABC est rectangle en A.

Le triangle ABC est rectangle en A, on utilise la trigonométrie : tan

4444ABC= AC

AB donc tan 35° = 3

AB donc AB = 3 ¸ tan 35° ý 4,3 cm

Exercice 3 :

4 points

Calcul de la mesure de l"angle4URT que l"on peut aussi nommer4URS: Le triangle URS est rectangle en S, on utilise la trigonométrie : tan

4444URS= USRS

donc tan 4URS= 6 5 donc 4444URSýýýý 50° Calcul de la mesure de l"angle4UTR que l"on peut aussi nommer4UTS: Le triangle UTS est rectangle en S, on utilise la trigonométrie : sin

4444UTS= US

UT donc sin 4UTS= 6 9 donc 4444UTS ýýýý 42°

Calcul de la mesure de l"angle RUT :

RUT est un triangle ; or la somme des mesures des angles d"un triangle vaut 180° ; donc :

4URT+ 4RTU+ 4RUT= 180° donc 50° + 42° + 4RUT= 180° donc 4RUT= 180° - (50° + 42°) = 88°

Ce résultat est néanmoins aussi une valeur approchée, puisqu"il est calculé à l"aide de valeurs approchées.

Exercice 4 :

3 points

Quelle que soit la mesure de l"angle j, on a : (cos jjjj)2 + (sin jjjj)2 = 1

Soit avec la donnée : (cos jjjj)2 + (())5555

13

131313

2 = 1 donc (cos j)2 + 25 169
= 1 donc (cos jjjj)2 = 1 - 25252525 169

169169169

= 144144144144 169

169169169

donc cos jjjj =

144144144144

169

169169169 = 12121212

13

131313 car cos j > 0

Quelle que soit la mesure de l"angle j, on a : tan jjjj = sin jjjj cos jjjj = sin j ¸ cos j Soit avec la donnée et le résultat précédent : tan jjjj = 5555 13

131313

13

131313 = 5555

13

131313 ´´´´ 13131313

12

121212 = 5 ´ 13

13 ´ 12 = 5555

12

121212

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