[PDF] 6. Méthodes intégrales 1 Introduction 2 Convection forcée interne

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P.-Y. Lagree, cours ENSTA, Methodes Integrales

6. Methodes integrales

Resume

La methode integrale consiste a travailler sur les equations integrees sur l'epaisseur de la couche limite (ou du tuyau) et a se donnera priorila forme du prol de vitesse et de temperature, toute l'information etant contenue dans le prefacteur et dans l'epaisseur (c'est une autre vision de l'analyse dimensionnelle). On aboutit alors a une equation dierentielle sur l'epaisseur de couche limite dynamique et/ou l'epaisseur de la couche limite thermique. On va montrer que l'on retrouve de maniere approchee tous les resultats que nous avons obtenus en convection forcee interne, externe et en convection naturelle .

1 Introduction

La methode integrale consiste simplement a integrer les equations transversalement sur toute la variable interne de couche limite de 0 de1. On transforme un systeme d'equations aux derivees par- tielles (PDE) en un systeme d'equations dierentielles ordinaires (ODE) portant sur des "epaisseurs" (comme l'epaisseur de deplacement). Comme on a perdu le detail du prol, il faut faire une hypothese

sur la forme du prol. On dit que la vitesse est toujoursgrosso modola m^eme, elle va de 0 a la vitesse

au loinue(x) et varie sur une epaisseur caracteristique, on posera donc u=Ue(x)f0(y=(x)): Cette fonction de formef0() que l'on se donnea priori(qui n'est pas forcement la solution de Blasius ou une solution autosemblble) permet d'exprimer les coecients inconnus en fonction des autres variables. De m^eme la temperature a toujours la m^eme forme et on posera donc

T=T0+ (TwT0)(y=(x));

la fonction denissant l'epaisseur thermique(x) sera du m^eme ordre de grandeur que(x) qui denit les eets dynamiques. On presente ici cette methode et quelques "fermetures" laminaires et turbulentes. Nous allons donc reexaminer tous les cas que nous avons vus avec cette methode simple pour montrer son bien fonde et sentir pourquoi elle est autant utilisee sous des formes variees. Comme il s'agit d'une methode ancienne, les equations sont ecrites avec dimensions (en faisant en fait les approximations de couche limite que nous avons faites proprement). Le probleme nal 1D obtenu reste avec dimensions.

2 Convection forcee interne, Cas du tuyau

2.1 Vitesse de base

Dans le cas du tuyau, l'ecoulement est propice a la methode, en eet le prol est toujours une parabole pour la vitesse. u=14(dpdx )(R2r2) - 6.1-

P.-Y. Lagree, cours ENSTA, Methodes Integrales

on reconna^t une dependanceu=Ue(x)f0(y=(x)) l'epaisseur caracteristique est(x) =R, la vitesse caracteristiqueUe(x) =R24(dpdx ) et la "forme" de la vitesse est doncf0() = 12: Encore une fois, rappelons l'arbitraire du choix, siUe(x) =R2 (dpdx ) on aurait alors pour forme de vitessef0() = (12)=4. Bien entendu, le resultat nal est independant.

2.2 Equation de la chaleur integrale

L'equation de la chaleur avec dimensions, en tenant compte du fait que les variations enxsont assez lentes, est l'equation de Graetz (ici ecrite avec les dimensions) : c pu@@x

T=k@r@r

(r@@r T) on l'ecrit de maniere integree sur toute la section ( @@r

TjRest le

ux a la paroi) : c pZ R

02ru@@x

Tdr= 2Rk@@r

TjR La vitesse est celle de Poiseuille, sa forme est en (1(r=R)2), ecrite avec la moyenne de la vitesse Um: u= 2Um(1(r=R)2);telle queZ R

02rudr=R2Um:

Il faut normalement resoudre completement l'equation de Graetz pour obtenir le champ de temperature, mais nous allons faire une approximation forte, nous allons supposer que le champ de temperature a

une forme en variables separees, ce qui revient a dire que la temperature a toujours la "m^eme forme"

T=Tp+ (T)

T ppourrait dependre dexet Tdepend dexet est une fonction de (r=R). L'equation integree : [cpUm@@x T]Z R

02r2(1(r=R)2)(r=R)dr= 2Rk0(1)(T)

ou encore, si on a fait appara^tre le groupement

N=20(1)R

1

04(12)()d

qui est un facteur de forme ne dependant que de la forme exacte du prol de temperature choisi.

AvecNon reecrit l'equation integree :

c pR2Um@@x T=NkT

Pour rappel, les approches simples de thermique aiment a faire des bilans sur des quantites moyennes,

le bilan d'energie en 1D s'ecrit entre une tranche 1 et 2 (d'epaisseurdx), par une analyse globale : (h2h1)dmdt =dQdt ;ou aussi, icicpdmdt (dT) =h(TmTp)2Rdx: - 6.2-

Methodes Integrales

en remarquant que la dierente d'enthalpie (h2h1) =ddx (T)dxet en introduisant le coecient d'echangeh. Or commedm=dt=R2Umon a donc c pUmR2ddx

T=2Rh(T)

on identie, et on a l'expression entreh, le coecient d'echange de la vision simpliee etN: h= [0(1)R 1

02(12)()d]k2R

On reconna^t l'expression du Nuelt dans l'expressionN, en eet, le Nuelt dans les tuyaux est deni comme le ux divise par la temperature moyenne contrairement aux cas de convection externe. Si on conna^t exactement la solution numerique du probleme (ici Graetz), on a la valeur exacte de N= 3:65679, on a donc la valeur du coecient d'echange associe.

2.3 Solutions "test"

Supposons maintenant que l'on ne connaisse pas le prol exact, mais on sait simplement qu'il passe de 0 au bord a 1 au centre, on peut alors "tester" l'expression dehpour un prol donne qui "ressemble" au vrai prol. Pour respectivement le fondamental de Graetz, le cosinusJ0(x0) avecx0 la premiere racine deJ0la fonction de Bessel, et la parabole, on trouve

N=0(1)R

1

02(12)()d= 3:65679resp:4:994resp4:18resp:6

les valeurs sont superieures a la valeur de la solution du mode fondamental 3.65679 car les courbes ont

une tangente trop forte a l'origine (le paragraphe suivant nous donnera des solutions plus favorables).

On remarque aussi que la "moyenne" est prise au sens de la moyenne avec la vitesse de Poiseuille : m=Z 1

04(12)()d:

Neanmoins, on se satisfait car l'ordre de grandeur est susant.

2.4 Flux constant

Reprenons l'equation de la chaleur :

c pZ R

02ru@@x

Tdr= 2Rk@@r

TjR

Si on travaille a

ux constantqpest constant, orqp=k@@r TjR c pZ R

02ru@@x

Tdr=2Rqp

commeu(r) etqpest constant, il est vraisemblable que la temperature cro^t lineairement enx, ce qui donne la derivee enxconstante compatible avec cette equation. On peut imaginer qu'elle s'ecrit - 6.3-

Methodes Integrales0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0hq0HhLcosHph2L1-h2Figure1 { Dierents prols possibles testes pour le tuyau, de bas en haut : le mode fondamental de

solution de Graetz (malheureusement un peu trop incurve et droit), un cosinus et une parabole.

T=Tp(x)+(T)(r=R), avec@@x

T=dTp(x)dx

=qx=cstet avec (T) constant. Cela nous permet de simplier la partie convective de l'equation de la chaleur c p2Um(1(r=R)2)dTp(x)dx =k@r@r (r@@r T) donc on trouve la temperature dans le tuyau (T) =cpUmdTp(x)dx (38 +(r=R)22 (r=R)48 or on travaille a ux constantqp=k@@r

TjR=kcpUmdT

p(x)dx 12 dT pdx =2qpc pkUmR la temperature cro^t lineairement avecx T p=2qpc pkUmRx+T0 on a alors l'expression de la temperature nale en fonction du ux impose

T(x;r) =Tp(x)qpRk

(34 r2R

2+r44R4)

d'ou une temperature moyenne (avec la moyenne ponderee de Poiseuille) : T m=1U mR2Z R

02r(2Um(1(r=R)2))T(x;r)dr

qui cro^t avecx T m=Tp11qpR24k - 6.4-

Methodes Integrales0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0hq0HhL1-43h2+h43Figure2 { le mode fondamental de solution de Graetz (courbe inferieure), compare a la solution a

ux constant (courbe superieure). et comme par denitionqp=h(TpTm), h=4811 kD = 4:36kD le coecient est un peu plus eleve dans le cas a ux constant (que dans le cas a temperature constante :

3.66).

T(x;r) =Tp(x) + (TmTp)2411

(34 +r2R

2r44R4)

Retenons que dans le cas a

ux constant, on a une solution exacte pour le probleme de Graetz. Elle se decompose en une partie lineaire enx, qui augmente le long du tube plus une forme polynomiale du rayon.

3 Relations Integrales pour la dynamique

3.1 Denition de l'epaisseur de deplacement

Les equations de couche limite sont des EDP 2D qui sont assez diciles a resoudre. Mais sou- vent on trouve une solution autosemblable : le prol de vitesse a une forme unique qui est ensuite distendue par une epaisseur au l de la resolution. Nous presentons donc l'equation de Von Karman-

Pohlhausen (1921) qui consiste a ecrire uniquement la dependance globale entre ueet l'epaisseur (dite

de deplacement1) en supposant que tous les prols sont presque similaires. Cette epaisseur a une signication physique. Pour denir1, on sait queu=@ =@yet que represente le ux a travers une surface. Le ux a travers une hauteurHest donc par denition =Z H 0udy - 6.5-

Methodes Integrales

on decompose en utilisant le prol de uide parfaituequi est constant a l'echelle de la couche limite =Z H

0udy=Z

H

0(uue)dy+Z

H 0uedy or RH

0uedy=Hue, on en deduit que l'on peut denir une quantite integrale notee1telle que,

puisque l'on suppose queHassez grand pour le changer en1. =Z H

0udy= (H1)ue;avec1ue=Z

1

0(ueu)dy

le ux du prol eectif est le m^eme que celui d'un prol plat (prol de "type uide parfait") mais deplace d'une petite hauteur1 1=Z 1 0(1uu e)dy

C'est ainsi que l'on denit l'epaisseur de deplacement1, c'est la distance a laquelle il faut deplacer

un mur ctif pour que l'ecoulement de uide parfait associe soit exactement le m^eme du point de vue du ux de masse.Δ 1 H

M´ethodesInt´egrales

consiste`a´ecrireuniq uement lad´ependanceglobaleentr e¯u e etl"´e paisseur ded´ep lacementδ 1 ensupp osantquetouslesprofilssont presques imilaires. H -6.6- Figure3 { Le ux de masse est le m^eme dans la couche limite et dans une couche equivalente de uide parfait deplacee de~1. 3.2

Equation integrale de Von Karman

Nous partons des equations de Prandtl dans le cas 2 D Plan, ecrites en variables adimensionnees

. Nous allons etablir les equations integrales en reecrivant le terme de derivee totale ~u@~u@x+ ~v@~u@~ysous

la forme conservative, puis on soustrait@x(~uue) = ~u@x(ue)ue@~y~vl'equation du momentum : @@x(~uue~u2) + (ue~u)@ue@x@@~y(~v(~uue)) =@2~u@~y2 On change de signe et on integre de la paroi a1. Cette derniere integration se fait sans problemes carua le bon go^ut de tendre versue, doncv(uue) tend vers 0 en1(en eetv(x;1) n'est ni nul ni m^eme borne dans le cas general, en revanche (uue) decro^t plus vite vers 0 quev(x;y) n'augmente - 6.6-

Methodes Integrales

a l'inni). D'autre part le domaine est xe (pas de borne du genreY(x)). On denit l'epaisseur de deplacement et l'epaisseur d'energie etHestt le facteur de forme qui est le rapport1=2 1=Z 1

0(1~uue)d~y;~2=Z

1

0~uue(1~uue)d~yetH=~1~

2; Par la suite, on verra qu'il est judicieux de denir un coecient appele coecient de frottementf2 tel que par denition :@~u@~y=f2Hue

1Notre forme favorite qui lie l'epaisseur de deplacement a la vitesse

a la lisiere de la couche limite est l'equation de Karman : ddx(~1H ) +~1ue(1 +2H )duedx=f2H~

1ue; i:e:~1=F(ue);(1)

cette ODE lie les variations de1etuesachant queHetf2sont des fonctions (pour l'instant inconnues) de1etue On peut donc resoudre en partant d'une condition initiale, par esmple~1(0) = 0 (la valeur de Hie-

menz pourrait aussi ^etre une bonne idee) et ue(0) (donnee). Ensuite,~1est obtenu par la connaissance

de ue, on ecrit formellement~1=F(ue). remarque

Avant de passer a des fermetures plus subtiles, regardons le cas de la plaque plane Si la vitesseueest

constante (=1), et que l'on suppose les coecients constants : ddx(~1H ) =f2H~ 1ue; s'integre en

1=p2f2H0x1=2

la couche limite est alors bien en racine dex, le coecient depend des parametres du modele. On va donc essayer d'estimerf2etHen se donnant des prolsa priorien esperant que les valeurs ne seront pas trop loin def2= 0:22 etH0= 2:59 (valeurs de Blasius) qui permettent de retrouver la couche limite de Blasius en 1:7(x)1=2.

3.3 Fermeture

Pour xer les idees commencons par une "fermeture" simple et classique. Les equations dependent de deux parametresf2etHqui sont inconnus pour l'instant. Il dependent en fait de la forme exacte du prol. Le prol est cherche sous la forme d'un polyn^ome,upassant de 0 a la paroi aueloin a une distance speciale notee. Cen'est pas la jaugeL=pR, c'est une valeur precise "fois" cette jauge. Cette idee permet de reconcilier les developpements asymptotiques et une demarche plus classique, cepeut ^etre interprete comme la valeur detelle quef0= 0:99 ou 0.999, etc.. Cette valeur du probleme asymptotique est ensuite multipliee par la valeur deL=pRpour une valeur nie deR... Ce

polyn^ome doit respecter l'adherence, et la valeur limite que l'on impose en:u=ue. Ce sont les seules

conditions "naturelles". On impose ensuite autant de@u=@y= 0 eny=qu'il le faut (attention, - 6.7-

Methodes Integrales

ca n'est pas physique! En eet il s'agit d'extensions de la vraie condition@u=@y= 0 a l'inni) par exemple a l'ordre 4, on pose=y=. u=u e=a0+a1+a222 +a33+a44: en=1,a0+a1+a2+a3+a4= 1 en=0,a0= 0 en=1,a1 + 2a2+ 3a3+ 4a4= 0

La bonne condition est ensuite de prendre en=0

0 =@xp+@2yuj0

Par exemple lorsque le gradient de pression est nul on retrouve Blasius approche par : ~u= 1(1 +)(1)3;~1=:3~;~1=~2= 2:55 Si maintenant on autorise un gradient de pression, la relation de la derivee seconde a la paroi fait appara^tre un coecient qui est un parametre caracteristique du gradient de pression : =2duedx et le prol de vitesse aura la forme : u=u e= 1(1)3(1 + (11=6)) Si on se donne ce prol (que l'on appelle "Pohlhausen ordre 4)", on en deduit les epaisseurs :

1== (36)=120;2== 37=315=945(2)=9072;

et le facteur de formeH= ((36)=120)=(37=315=945(2)=9072), la valeur en Puis le frottement donne : f

2= (2 + =6)(37=315=9452=9072);

Valeurs a gradient de pression nul :f2= 74=315 = 0:234921 etH(0) = 189=74 = 2:5540540 est proche de celle de Blasius (HB= 2:59 et 0.22=0.332*1.721/2.59). on a ainsi1=p2f2H= 9p7=185 = 1:75068 le frottement a la paroi estHf2=1= (1=3)p37=35 = 0:342725 et l'epaisseur physique de Pohlhausen= 120=361= 6p35=37 = 5:83559

Cette demarche est completement classique.

3.4 Fermeture avec1

Mais, ici nous devions des ouvrages tels que Cousteix ou Schlichting. En eet, selon leur approche, le parametre naturel est bien , et2qui s'introduisent naturellement. On prefere en eet, pour notre part, exprimerHen fonction de 1(construit sur1) plut^ot que (construit sur). Pourquoi? Car1 est la quantite physique qui appara^t l'on fait du couplage uide parfait couche limite (c'est l'epaisseur de deplacement). Puis on prefere exprimerf2en fonction deH(ce qui en revanche est plus classique). Les auteurs preferent utiliser2car il est directement relie au frottement...Hen fonction de 1a - 6.8-

Methodes Integrales

la forme sur la gure 4 gauche. Par denition

1= 21, apres manipulation (le plus simple est de

substituer le developpement

1en fonction de au premier ordre : = 100=91. D'ou :

H= (36(1001)=9)=(120(37=315(201)=1701(62521)=45927)) on traceHen fonction de 1(les points sont les valeurs issues de Falkner Skan, voir plus loin), puis f

2en fonction deH(gure 4 ).

3.5 Fermeture de Falkner Skan

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