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Convection Naturelle

4. "Convection Libre" ou "Convection Naturelle"

Resume

La "Convection Libre" (Free Convection), ou "Convection Naturelle" (Natural Convection;freie oder

naturliche Konvektion;convezione naturale;convecc~ao natural) est le regime d'ecoulement obtenu lorsque

l'on chaue un uide sans qu'il n'y ait d'ecoulement "exterieur" impose. Cet ecoulement est inexpliquable

dans le cadre precedent car aucun mouvement ne serait possible de par le decouplage entre les equations de

la dynamique et de la thermique. Pour lever ce paradoxe, on tient compte d'un phenomene que l'on avait

neglige : la legere dilatabilite du uide. C'est donc la force d'Archimede provoquee par les variations de densite induites par le chauage qui fait se deplacer le uide. La "thermique" et la "dynamique" sont alors tres fortement couplees.

Nous allons donc discuter cette approximation dite "de Boussinesq" (1872) etetablir lesequations aerentes.

Nous introduirons le nombre sans dimension de la convection naturelle, le Grashof. Nous examinerons le pro-

bleme classique de l'ecoulement le long d'une plaque plane cree par son chauage. Puis nous dirons un mot

sur le probleme fondamental de Rayleigh Benard : le passage d'un regime de conduction a un regime de

convection lorsqu'un nombre sans dimension passe un certain seuil (il s'agit en fait d'une introduction a la

stabilite hydrodynamique).

4.1. equations du probleme.

4.1.1. Variations de

A priorila densite est fonction de la temperature et de la pression par la loi d'etat (pour un gaz mais

aussi pour un liquide). Il est donc naturel de penser que si l'on chaue une paroi, la temperature du uide

environnant augmente par diusion. La stratication de pression s'en trouve changee, le gradient de pression

cree le mouvement.

Dans le cours nous avons jusqu'a present neglige toute variation de. Cela permettait de decoupler les equations :

la "thermique" ne retroagissait pas sur la "dynamique". Manifestement, le decouplage n'est plus valable ici

puisque c'est le chauage qui provoque le mouvement. On va donc permettre une variation de la densite avec le

chauage en supposant cependant que cette perturbation est petite. Il faut donc ici reintroduire une variation

deautour d'une position d'equilibre : le repos. En revanche la viscosite reste toujours constante.Figure1 { plaque, dans un champ de pesanteur, soumise a une temperature dierente de son environnement.

Il n'y a pas d'ecoulement impose.

Soit donc un

uide au repos et a la temperatureT1au loin, il est en presence d'une paroi chauee a la temperatureTp.

Pour obtenir la dependance de, rappelons les coecients thermodynamiques classiques, respectivement le

coecient de dilatation a pression constante, le coecient d'augmentation de pression a volume constant, le

coecient de compressibilite a temperature constante : =1 @@T P ; =1p @p@T ; =1 @@p T Le developpement de Taylor de la densite au voisinage deT=T1, etp=P1: =1(1(TT1) +(pP1) +:::) Eau= 5:8104K1,=5.25 105Atm1. Air= 3:3104K1,=T1et=p1(pour un gaz parfait).

Anticipons le fait que les variations de pression sont negligeables et ecrivons simplement quene depend que

deT(posons=(TpT1)) : =1(1"T+:::) - 4.1-

Convection Naturelle

Nous reviendrons plus loin en4.1.5sur le bien fonde de cette hypothese compte tenu de l'ordre de grandeur

eectif des variations de pression.

4.1.2. equation de continuite

L'equation de continuite

ddt +ru= 0;devient donc :

1"dTdt

+1(1"T)ru= 0; au premier ordre en(en premiere approximation), le uide est incompressible :ru= 0;Retenons qu'en premiere approximation le uide est incompressible.

4.1.3. equation de quantite de mouvement

Le tenseur des contraintes pour un

uide newtonien := -pI+(ru)I+ 2D

Au vu du paragraphe precedent, et sachant queetsont du m^eme ordre de grandeur, on ecrira en premiere

approximation que le tenseur des contraintes n'est pas aecte par la compressibilite := -pI+ 2D Comme on etudie un ecoulement en presence de gravite, il est judicieux de poser : p=p01gz+ (p)p et donc de ne s'interesser qu'aux variations autour de la position d'equilibre hydrostatique

Lorsqu'il n'y a pas de mouvement (u= 0), les equations de quantite de mouvement deviennent suivant la

directionez (celle deg=gez @@z phyd1g= 0;

la pression estphydtelle que :phyd=p01gz. Lorsqu'il y a mouvement, la projection suivantzfait appara^tre

(entre autres termes) : @@z pgque l'on reecrit(p)@@z p(1)g puisque (-1)=-1"T, il va rester une force de " ottabilite" (buoyancy force) dirigee vers le haut. La

variation de la densite dans le produitdu=dtsera negligee (du=dt'1du=dt) puisque la vitesse est petite

et en supposant comme de coutume quevarie peu avec la temperature, l'equation dynamique s'ecrit : 1(@@t u+u ru) =(p)rp+1g"Tez +r2 u: L'ecoulement est produit par la force d'Archimede ("buoyancy force").

4.1.4. equation de l'energie

Sonetablissement est un peu delicat, il passe par des transformations de la thermostatique et ces considerations

subtiles de compressibilite. C'est pour cela que nous sommes passes rapidement au chapitre sur les "Generalites,equations de la thermomecanique des

uides"

On a par denition de la variation de l'energie interne par les apports de chaleurs de dissipation visqueuse,

de diusion thermique et de travail mecanique : dedt =:D rqsoitdedt =kr2

T+(ru)

2pru+ 2(D:D):

- 4.2-

Convection Naturelle

Or on ne peut pas utiliserde=cvdTcar le volume change lorsque l'on chaue (cfla remarque plus loin qui montre que l'on ne peut pas simplier en posantpru= 0 car dansdedt il y a un terme justement du

m^eme ordre de grandeur). On va donc reecrire de maniere dierente cette equation, pour ce faire, rappelons

les relations de thermostatique bien connues (et valables en mecanique des uides de par l'hypothese de l'etat local, en fait on va retrouver la relation de MeyerCpCv=T(@P@T )V(@V@T )P) : On peut remarquer que par denition de=pI+eth=e+p=, l'equation de l'energie s'ecrit avec l'enthalpieh: ddt hddt (p=) =pru+:D rqou, commeddt (1=) =ru, le termeprudispara^t des deux membres et l'equation de l'energie ecrite en enthalpie est : ddt hddt p=:D rqOn va maintenant en fait developperdh=dt:

Le premier principe :dedt

=:D rqLe second principe :Tdsdt =dedt

+prud'ou l'equation generale du transfert thermique ecrite avec l'entropies(voir Landau & E. Lifshitz (1989)) :

T dsdt =kr2 T+ru2 + 2(D:D); cette ecriture nous montre bien que sans dissipation, l'entropie est constante.

Revenons a la thermostatique pour ecriresen fonction des variations deTetp, par denition de la fonction

d'etats(p;T) : (variables naturelless(e;1=)) ds= (@s@p )Tdp+ (@s@T )pdT on a besoin des deriveees partielles des(ce sont les relations de Maxwell), or, sachant : dh=de+d(p=) = (Tdspd(1) +d(p=)) =Tds+1dp on en deduitTds=1dp+ (dh=dT)dT

T(@s@T

)P= (@h@T )p=cpetdg=dhd(Ts) =sdT+1dp donc commesest une dierentielle totale exacte (@s@p )T= (@1@T )p d'ou l'expression de la dierentielledsen fonction dedTetdp

Tds=cpdT+T

(@@T )pdp:

Et nalement, on obtient l'equation

c pddt T+T (@@T )pddt p=kr2

T+(ru)

2+ 2(D:D)

au passage on a etabli l'identite ddt hddt p=cpddt T+T (@@T )pddt p:

On peut maintenant simplier ces equations exactes. En eet on a fait appara^tre les termes faibles, on peut

maintenant negliger T (@@T )p=Tainsi queruet obtenir l'equation nale utile : c pddt T=kr2 T+ 2(D:D):L'equation de la chaleur s'ecrit bien aveccp. - 4.3-

Convection Naturelle

4.1.5. Remarques

* Reprenons l'expression complete du developpement de Taylor de la densite avec la temperature et le pression :

au voisinage deT=T1, etp=P1: =1(1(TT1) +(pP1) +:::) la temperature a ete examinee, voyons la variation de pression =1(1"T+((p)p1gz)) +::: or le terme de variation de pression est nous nous en doutons : (p)1Lgou aussi (p)1U20. On a, si on estime (p)1Lg: (p) =(Lg)<< carP11pour un gaz, dans le cas d'un liquide la compressibilite est eectivement tres faible. Si on prefere l'autre estimation de pression (p)1U20, comme par ailleurs que la vitesse du son est @p@ s =c2 on voit donc que (la derivee asconstant etant supposee proche de celle aTconstant) (p) =O(1U20 1c2) qui est le nombre de Mach (U0=c) au carre, ce terme est donc petit. * Si on dit :cvddt T=kr2 T+0+2(D:D);on commet une erreur : en eet on acpcv=r. Le terme neglige -pruest d'ordre de grandeur -p1u1(TpT1)=L, maisT11(car@=@T==T) donc : p

1u1(TpT1)=L=O(r1(u1=L)):OrcvTest lui aussi d'ordreO(r1(u1=L)):On a donc bien neglige

un terme du m^eme ordre de grandeur que les autres. * dans l'equation de la chaleur : ddt cpT=kr2

T+ 2(D:D)

le terme 2(D:D) sera encore negligeable dans la plupart des cas.

* attention rappelons que nous supposons que la dependance des coecients de transport est negligeable en

temperature. S'il n'y a pas de gravite, on pourrait imaginer que le mouvement est cree par la variation de

avec la temperature, le resultat est tres tres petit. Si (p) =O();alorsu= 0((p)1=2), la vitesse est donc tres

faible si la viscosite est elle m^eme faible. * on evitera de confondreaveca=k=(cp), (etPr==a) qui est parfois notedans la communaute ther- micienne (d'ailleurs lecoecient thermodynamique est souvent note,est la notation internationale.)

* L'approximation date de 1901 est dans son livre "Theorie analytique de la Chaleur". La formule, qui n'est pas

encore de "Boussinesq" est introduite par la phrase en page VII de l'avertissement : "il fallait encore observer

que, dans la plupart des mouvements provoques par la chaleur sur nos uides pesants, les volumes ou les densites

se conservent a tres peu pres, quoique la variation correspondante dupoidsde l'unite de volume soit justement

la cause des phenomenes qu'il s'agit d'analyser. De la resulte la possibilite de negliger les variations de la

densite, la ou elles ne sont pas multipliees par la graviteg, tout en conservant, dans les calculs, leur produit

par celle-ci. Gr^ace aux simplications alors obtenues, la question, encore tres dicile et presque toujours rebelle

a l'integration n'est plus inabordable" . Page 174/175, la formule est dite ainsi : "Et le poidsgde l'unite de

volume (..) aura decru sensiblement deg, comme s'il etait adjoint, au poids primitif ou normal de l'unite de

volume, la petite force antagoniste, c'est a direascensionnelle,g. - 4.4-

Convection Naturelle

4.1.6. Resume : equations nales

Compte tenu de l'hypothese de Boussinesq :=1(1-(TT1)),constant et de l'elimination de

la pression hydrostatique, on obtient le systeme couple suivant regissant les ecoulements de convection libre

laminaire :

8>>>><

>>>:ru= 0 1(@@t u+u ru) =(p)rp+1g"Tez +r2 u;

1cp(@@t

+u r)T=kr2

T+ 2(D:D);

plus les conditions aux limites d'adherence pour la vitesse, et de temperature : uj w= 0;puis (Tjw=Tpouk@nTjw=qpouh@nTjw+ (TjwTp) = 0:)

4.2. Analyse phenomenologique sommaire des equations

4.2.1. Le systeme

Nous connaissons la temperature du corps, et soitLsa dimension caracteristique. La jauge de la vitesse est

inconnuea priori, adimensionnons : u=U0u; T=T1+ (TpT1)T; x=Lx; y=Ly::: et enlevons les barres (on est maintenant sans dimension) : ru= 0 (ur)u=p

1U20rp+Lg(TpT1)U

20Tez +U 0Lr2 u: (ur)T=k

1cpU0Lr2

T+ 2U0c

pL(TpT1)(D:D) Bien entenduU0est inconnu. Nous allons voir que plusieurs points de vue sont possibles.

4.2.2. Une possibilite

Il est clair que le terme

Lg(TpT1)U

20est indispensable pour coupler thermique et dynamique. S'il existe un

ecoulement impose supplementaire de vitesseU1, on utilise cette vitesse comme jauge, le nombre precedent est

le nombre de Richardson :

Ri=g(TpT1)LU

21

Il s'agit du probleme fort delicat de la convection mixte... En fait siU1= 0,u vetwsont mesures avec un

U

0inconnu pour l'instant. La perturbation de temperature est mesuree par T. Si on chaue la diusion est le

mecanisme qui transmet la temperature, donc : k

1cpU0L= 1;doncU0=PrL

serait un bon choix (on rapelle quePr=O(1)). On prefere generalement prendre (de maniere equivalente, au

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