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Polytechnique,

Premier Partenaire

des Professionnels

81H9(56H7( G·$17$1$1$5H92

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE G·$17$1$1$5H92

Mention : GENIE MECANIQUE ET INDUSTRIEL

Parcours : GENIE INDUSTRIEL

Industriel, grade Master

Etudes semi-analytique et purement

QXPpULTXH GH O·pvaporation par

ŃRQYHŃPLRQ PL[PH G·XQH SOMTXH SOMQH

humide inclinée

Présenté par : DIMBIHARIZAFY Ando Pascal

Directeur de mémoire : Monsieur RAKOTOVAO José Denis, Professeur Titulaire Directeur de mémoire : Monsieur RAKOTOVAO José Denis, Professeur Titulaire Président du jury : Monsieur RANDRIAMORASATA Josoa Albert, Professeur Titulaire

Membres du jury : Monsieur RANARIJAONA Jean Désiré, Enseignant chercheur à Žǯ30A

Monsieur RAMAHAROBANDRO Germain, Enseignant chercheur à

Žǯ30A

Monsieur RAKOTONINDRIANA Tahiry Fanantenana, Enseignant ...Š‡"...Š‡—"  Žǯ30A Soutenu le : 09 Juillet 2018

Promotion 2015

Page 2

Remerciements

Avant tout, je souhaite louer Le Seigneur qui nous a donné la force et la santé ainsi que ce jour

important. ¾ Madame RAKOTOMANANA Dina, Responsable de la mention Génie Mécanique et

¾ Monsieur RANDRIAMORA3A4A

‘•‘ƒ AŽ"‡"-ǡ 0"‘ˆ‡••‡—" 4‹-—Žƒ‹"‡ “—‹ ƒ ƒ......‡"-± †ǯ²-"‡

le président de jury de ce présent mémoire, ¾ Aux membres de jury qui consacrent leur temps pour examiner ce mémoire malgré leurs multiples tâches : Monsieur RAKOTONINDRIANA Tahiry Fanantenana, Enseignant chercheur, Monsieur RANARIJAONA Jean Désiré, Enseignant chercheur, Monsieur RAMAHAROBANDRO Germain, Enseignant chercheur. Je tiens ensuite à exprimer particulièrement ma gratitude envers Monsieur RAKOTOVAO José et initié aux travaux de recherches. Tout le mérite de ce travail lui revient. ceux de la mention Génie Mécanique et Industriel. Enfin, pour toute ma famille et mes amis, je les remercie de leur soutien et de leur encouragement.

Merci infiniment

Page 3

Table des matières

Remerciements ....................................................................................................... 2

Table des matières ............................................................................................ 3

NOMENCLATURE ........................................................................................................ 5

Liste des figures ................................................................................................. 6

Introduction ........................................................................................................... 8

CHAPITRE 1: PRESENTATION ET FORMULATION DU

PROBLEME ..................................................................................................................... 10

1- Généralité ........................................................................................................................................................10

2- Description du problème...........................................................................................................................11

3- Les équations générales régissant les phénomènes physiques ...................................................12

4- Les hypothèses et les approximations ..................................................................................................13

a- Hypothèse de Boussinesq ................................................................................................................... 13

b- Approximations dans la couche limite [Annexe2] .................................................................... 13

c- Hypothèses simplificatrices ............................................................................................................... 14

5- Les équations de transfert dans la couche limite .............................................................................14

6- Les conditions aux limites .........................................................................................................................15

CHAPITRE 2: Résolution semi-analytique des

équations ................................................................................................................... 16

1- Introduction ...................................................................................................................................................16

2- La prépondérance de la convection naturelle....................................................................................16

a- Passage des EDP aux EDO ................................................................................................................... 16

b- Résolution semi-analytique par la méthode de développement en séries de puissance

entière ................................................................................................................................................................. 23

3- La prépondérance de la convection forcée .........................................................................................27

a- Passage des EDP aux EDO ................................................................................................................... 27

b- Résolution semi-analytique par la méthode de développement en séries de puissance

entière ................................................................................................................................................................. 31

4- ‡• ...‘‡ˆˆ‹...‹‡-• †ǯ±...Šƒ‰‡• .......................................................................................................................34

CHAPITRE 3: Résultats et discussion pour la méthode

semi-analytique ................................................................................................. 36

1- Introduction ...................................................................................................................................................36

2- Résultats pour la convection naturelle prépondérante ..................................................................36

d- ‡• ...‘‡ˆˆ‹...‹‡-• †ǯ±...Šƒ‰‡• : Nu, Sh et Cfx.................................................................................... 43

Page 4

3- Résultats sur la convection forcée prépondérante ..........................................................................46

a- Résultats pour le champ des vitesses ............................................................................................. 46

b- Résultats pour le gradient de température.................................................................................. 48

c- Variation de la fraction massique .................................................................................................... 50

d- ‡• ...‘‡ˆˆ‹...‹‡-• †ǯ±...Šƒ‰‡ .................................................................................................................. 52

4- Constatations .................................................................................................................................................55

CHAPITRE 4: Résolution purement numérique des

équations ................................................................................................................... 56

a- Introduction ............................................................................................................................................. 56

b- Formulation adimensionnelle du problème ................................................................................ 56

c- Adimensionnalisation des conditions aux limites ..................................................................... 58

2- Méthode implicite aux différences finies .............................................................................................59

a- Définition ................................................................................................................................................... 59

b- Discrétisation des équations de transfert .................................................................................... 61

3- Résultats et discussion ...............................................................................................................................64

Conclusion ............................................................................................................... 70

References ............................................................................................................... 71

ANNEXES ........................................................................................................................ 74

Annexe 1 : Adimensionnalisation ...................................................................................................................74

Annexe 2 : Couche limite ....................................................................................................................................74

Annexe 3 : Equation de Blasius ........................................................................................................................75

Annexe 4 : Les nombres sans dimensions....................................................................................................76

Annexe 5 : Propriétés physiques des fluides ..............................................................................................77

Annexe 6 : Runge Kutta Method ......................................................................................................................78

Annexe 7 : Illustration de la méthode de Newton Raphson ..................................................................79

Annexe 8 : Schéma implicite et schéma explicite ......................................................................................82

Annexe 9 : Convergence de la méthode aux différences finies .............................................................82

Page 5

NOMENCLATURE

Symbole Désignation

a Diffusivité thermique [m²/s]

C Concentration dans la couche limite [moles/m3]

D Coefficient de diffusion [m/s2]

F Fonction de courant adimensionnelle relative à ܷ௫et ܷ

QTP Nombre de Grashof modifié

g accélération de la pesanteur [m/s2] i,j Indices

L Longueur caractéristique [m]

Pr Nombre de Prandlt ܲ

Sc Nombre de Schimdt ܿܵ

Re Nombre de Reynolds ܴ

Ri Paramètre de convection naturelle, Nombre de Richardson Ri* Nombre de Richardson modifié ܴ݅כൌீ௥כ q densité de flux de chaleur [W/m²]

ܷ௫et ܷ

ʖ Concentration adimensionnelle

ʔ Fonction de courant relative à ߦǡߟ

Page 6

Liste des figures

Figure 1: Schéma caractéristique de l'écoulement ..................................................................................... 11

..................................................................................................................................................................... 36

..................................................................................................................................................................... 37

..................................................................................................................................................................... 37

alpha=90° ............................................................................................................................................... 38

alpha=60° ............................................................................................................................................... 38

alpha=30° ............................................................................................................................................... 39

Figure 9:Variation de la température téta0 pour alpha=45° et différentes valeurs de Ri ......... 40

Figure 10:Variation de la température téta0 pour Ri=5 et différentes valeurs de alpha ........... 41

Figure 12:Variation de khi0 en fonction de éta pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri .... 42

Figure 13:Variation de khi0 en fonction de éta pour Ri=2 et différentes valeurs de alpha....... 42

Figure 14:Variation de Nu en fonction de psi pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ....... 43

Figure 15:Variation de Nu en fonction de psi pour Ri=10 et différentes valeurs de alpha ....... 43

Figure 16:Variation de Sh en fonction de psi pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ........ 44

Figure 17:Variation de Sh en fonction de psi pour Ri=10 et différentes valeurs de alpha ........ 44

Figure 18:Variation de Cfx en fonction de psi pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ....... 45

Figure 19:Variation de Cfx en fonction de psi pour Ri=5 et différentes valeurs de alpha ......... 45

alpha=90° ............................................................................................................................................ 46

Figure 21:Variation de fprim0 pour Ri=0.1 et différentes valeurs de alpha ................................... 47

Figure 22:Variation de fprim0 pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri .................................... 47

alpha=45 .............................................................................................................................................. 48

alpha=90 .............................................................................................................................................. 48

Figure 25:Variation de téta1 pour Ri=0.1 et différentes valeurs de alpha ....................................... 49

Figure 26:Variation de téta1 pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ........................................ 49

alpha=45 .............................................................................................................................................. 50

Figure 29:Variation de khi1 pour Ri=0.1 et différentes valeurs de alpha ........................................ 51

Figure 30:Variation de khi1 pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ......................................... 51

Figure 32:Variation de Nu en fonction de psi pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ....... 52

Figure 33:Variation de Nu en fonction de psi pour Ri=0.6 et différentes valeurs de alpha ...... 53

Page 7

Figure 34:Variation de Sh en fonction de psi pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ........ 53

Figure 35:Variation de Sh en fonction de psi pour Ri=0.6 et différentes valeurs de alpha ....... 54

Figure 36:Variation de Cfx en fonction de psi pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ....... 54

Figure 37:Variation de Cfx en fonction de psi pour Ri=0.6 et différentes valeurs de alpha ...... 55

Figure 38:Maillage................................................................................................................................................... 59

Figure 39:Variation de la vitesse pour Ri=0.1 et différentes valeurs de alpha .............................. 64

Figure 40:Variation de la vitesse pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ............................... 64

Figure 41:Variation de la vitesse pour Ri=5 et différentes valeurs de alpha .................................. 65

Figure 42:Variation de la température pour Ri=0.5 et différentes valeurs de alpha ................... 65

Figure 43:Variation de la température pour Ri=5 et différentes valeurs de alpha ...................... 66

Figure 44:Variation de la température pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri .................... 66

Figure 45:Variation de la concentration pour alpha=45 et différentes valeurs de Ri ................. 67

Figure 46:Variation de la concentration pour Ri=0,1 et différentes valeurs de alpha ................ 67

Figure 47:Variation de fprim0 pour Ri=0.1 et différentes valeurs de alpha ................................... 68

Figure 48:Variation de la vitesse pour Ri=0.1 et différentes valeurs de alpha .............................. 68

Figure 49 : Courbes de la variation de la température obtenues par les travaux de Ranveig et

Céline [5] .............................................................................................................................................. 69

Page 8

Introduction

Les écoulements avec transfert de chaleur et de masse se rencontrent dans de nombreux

pratiques telles que le refroidissement des systèmes électroniques, les échangeurs de chaleur,

les équipements de traitements chimiques et industriels, les chambres de combustions, les

refroidissement, des solutions flexibles et moins chères ont été développées pour améliorer la

comme ceux de Patrulescu et Grosan [1] dans lequel ils ont choisi un nanofluide. De même,

tridimensionnel en régime turbulent de A. YASSINE en 2010[2]. Mais à chaque fois, les

hypothèses et les applications sont différentes. La convection mixte est phénomène complexe qui fait intervenir les deux types de

convection : naturelle et forcée. Dans ce travail, nous allons étudier †ǯ—‡ "ƒ"- la

prépondérance de la convection naturelle et †ǯƒ—-"‡ "ƒ"- celle de la convection forcée.

Nous allons effectuer la mise en équation des phénomènes physiques. Deux méthodes seront

utilisées pour la résolution des équations du système : une résolution semi-analytique avec le

développement en puissance de série entière et une résolution purement numérique avec la

méthode des différences finies. seulement sur le champ de la vitesse, de température et de la concentration, mais aussi sur les

...‘‡ˆˆ‹...‹‡-• †ǯ±...Šƒ‰‡• : le nombre de Nusselt, de Sherwood et le coefficient de frottement.

Page 9

Nous allons diviser le travail en quatre chapitres.

Dans le premier chapitre, nous allons présenter le problème, établir les équations, choisir le

référentiel et les hypothèses simplificatrices. Dans le second chapitre, nous nous consacrerons à la résolution semi-analytique des différentielles ordinaires et en employant la méthode de développement en puissance par série entière. Nous allons exposer les courbes obtenues par simulation informatique dans le troisième chapitre.

Nous utiliserons la méthode implicite des différences finies pour résoudre les équations aux

dérivées partielles dans le dernier chapitre et afficherons les résultats pour ensuite les

interpréter.

Page 10

CHAPITRE 1: PRESENTATION ET FORMULATION DU

PROBLEME

1- Généralité

La convection représente le transfert de chaleur par excellence entre un fluide et une surface quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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