[PDF] tous les nombres peuvent-ils sécrire sous forme de fractions

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tous les nombres peuvent-ils s'écrire sous forme de fractions ?

Par Mlle Agathe Lahousse (1°S), Mlle Anne-

Laure Cadon (1°S), Mlle Aurélie Guihard

(1°ES), élèves du lycée Fragonard de l'Isle

Adam (95)et Mlle Sabrina Potier (TES),

Mlle Leila Bendakhlia (2nde), élèves du lycée

Georges Braque d'Argenteuil (95)

enseignantes :

Mmes Annick Boisseau, Jo‘lle Richard

chercheur :

M. Stéphane Labbé

coordination article : Potier Sabrina compte-rendu de parrainage :

Il s'agit de chercher quels sont les nombres qui

peuvent s'écrire sous forme fractionnaire. • il a été tout d'abord démontré que, comme

1/9 = 0,1111É et que 9/9 = 1 = 9 ´1/9 = 0,99999É

on peut considérer que 0,999999É = 1 peut donc s'écrire sous forme fractionnaire. appartiennent à Qéquivaut à x = y2. •Enfin, il est montré que parmi les réels, seuls les nombres décimaux et les nombres à décimales infinies périodiques sont fractionnaires.

N - Tout nombre a-t-il une écriture

fractionnaire ? 34 Pour calculer, les Egyptiens utilisaient les nombres entiers et la division de l'unité en parties égales (frac- tions de la forme 1/n). Peut-on tout calculer avec de telles fractions ? avec des fractions plus générales ?

Résumé.

Nous nous sommes intéressées au pro b l è m e de savoir si tous les nombres pouvaient s ' é c r i re sous une forme fractionnaire : nous aimons manier les nombres, et l'étude de leur n a t u re ne se fait malheureusement pas dans l'enseignement secondaire. Ce sujet nous interroge sur la façon d'écrire avec de simples chiffres certains nombre s comme p(le rapport de la circonférence d'un cercle sur son diamètre) et (la diagonale d'un carré de côté 1), que l'on re n c o n t re dans la nature.

Existe-t-il d'autres nombres entre ceux que

l'on sait écrire plus ou moins facilement ?

Introduction.

Dès notre plus jeune âge, nous manipulons

des nombres, "des tout simples» pour apprendre à compter, des moins simples comme les fractions pour partager des gâteaux, et des mystérieux comme ce fameux "3 , 1 4 É» que l'on utilise sans état d'âme dans les calculs de circonférences, est-ce vraiment p?

Ces nombres, même s'ils nous sont familiers,

ne cachent-ils pas quelque secret derrière l'apparente facilité de leur utilisation ? Ils ont peut-être diverses écritures possibles : tous les nombres peuvent-ils s'écrire sous forme de fractions ? 2 page 103

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1996

Les ensembles de nombres.

Les nombres sont regroupés en ensembles : le

plus petit ensemble est celui des entiers natu- rels N, il contient [zéro et] tous les entiers positifs ( 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; É 15 ; É 1578 ; É).

Cet ensemble est inclus wdans celui des

entiers relatifs Zdans lequel se trouvent tous les nombres entiers, qu'ils soient positifs ou négatifs

Zest inclus dans l'ensemble des décimaux D

qui contient également les nombres décimaux ayant une suite limitée de chiffres non tous nuls après la virgule (É ; Ð3,2 ; É Ð2 ; É Ð1,572 ; É 0; É 1 ;

É 2,3293 ; É).

Dest inclus dans Q, l'ensemble des ration-

nels, c'est-à-dire les nombres pouvant s'écri- re sous forme de fraction de nombres entiers

Qest inclus dans l'ensemble des réels Rqui,

aux rationnels, ajoute des nombres ayant une

écriture décimale infinie :

p; ;É. 23
1 3 4 10 9 0 15 17 3 4 20 18 25
15 79
2 12015
2 48
1862
N 12015
2 48
1862

ZÐ18

Ð1 Ð5

Ð58

Q 12015
2 48
1862

Ð18

Ð1 Ð5

Ð58

3/2 18/45

Ð5/26/1

Ð9/5

R 12015
2 48
1862

Ð18

Ð1 Ð5

Ð58

3/2 18/45

Ð5/26/1

Ð9/5p10

2 5- page 104

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1996

Etude des racines carrées.

Racines de nombres entiers.

vL'exemplede . peut-il s'écrire sous forme de fraction de nombres entiers ? réponse : non ; démonstration par l'absurdeÉ

Pet Qappartiennent à Z, Q¹ 0.

Si = P/Qalors 2 = P2/Q2

P2= 2Q2

P´P= 2Q2

Donc Pcomporte au moins un 2 dans sa

décomposition en facteurs premiers w:

P= 2a´É

P2= 22a´É

(aappartient àNÐ {0}).

L'égalité P2= 2Q2devient :

22a´É = 2Q2

22aÐ1´É = Q2

Qcomporte au moins un 2 dans sa décompo-

sition en facteurs premiers :

Q= 2b´É

Q2= 22b´É

(bappartient à NÐ {0}).

P2= 2Q2devient :

22a´É = 2 ´22b´É

22a´É = 22b+1´É

2exposant pair´É = 2exposant impair´É

É impossible.

ne peut donc pas s'écrire sous forme de fraction. vG é n é r a l i s a t i o n: racine d'un nombre n qui appartient à Net n'est pas un carré parfait dans N. [NDLR : les élèves proposent ici une démonstration calquée sur la précédente, qui convient bien si nest un nombre premier, mais plus pour n= 12 par exemple.]

Si = P/Qalors n= P2/Q2

P2= nQ2.

Pdoit avoir au moins un ndans sa décompo-

sition. [NDLR : c'est ici que n= 12 pose pro- blème. Que P2= 12Q2ne prouve pas que 12 figure dans la décomposition en facteurs pre- miers de P; par contre, 2 et 3 figurant dans la décomposition en facteurs premiers de P2, figurent aussi dans celle de P. C'est un théo- rème d'arithmétique : si un nombre premier, par exemple ici 2 ou 3 mais pas 12, divise un produit de nombres, ici P´P, alors ce nombre premier divise l'un des nombres du produit, donc ici forcément P. Si on suppose npremier, ce qui suit est correct.]

P= na´É

P2= n2a´É

(aappartient àNÐ {0}).

L'égalité P2= nQ2devient :

n2a´É = nQ2 n2aÐ1´É = Q2

Qcomporte au moins un ndans sa décompo-

sition.

Q= nb´É

Q2= n2b´É

(bappartient à NÐ {0}).

P2= nQ2devient :

n2a´É = n´n2b´É n2a´É = n2b+1´É nexposant pair´É = nexposant impair´É

É impossible.n'appartient pas à Q

lorsque nn'est pas un carré parfait. [NDLR : le résultat est juste ; mais la démonstration est à adapter au cas où nn'est pas un nombre pre- mier.] 2 2 2 2 n n page 105

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1996

Racines de rationnels.

vExemple : peut-il s'écrire sous forme de fraction de nombres entiers ? réponse : non ; démonstration par l'absurdeÉ si = P/Qalors 3/2 = P2/Q2

P2= (3/2) Q2

2P2= 3Q2

Qcomporte au moins un 2 dans sa décompo-

sition en facteurs premiers :

Q= 2a´É

Q2= 22a´É

(aappartient à NÐ {0}).

2P2= 3Q2devient : 2P2= 3 ´22a´É

Pcomporte au moins un 2 dans sa décompo-

sition en facteurs premiers :

P= 2b´É

P2= 22b´É

(bappartient à NÐ {0}).

L'égalité 2P2= 3Q2devient :

2 ´22b´É = 3 ´22a´É

22b+1´É = 3 ´22a´É

2exposant impair´É = 3 ´2exposant pair´É

É impossible.

ne peut donc pas s'écrire sous forme de fraction de nombres entiers. v[NDLR : la généralisation au cas de la racine d'une fraction qui n'est pas un carré parfait dans Qpose les mêmes problèmes que dans Nlorsqu'on écrit les décomposi- tions en facteurs premiers É même si les élèves traitent le cas de a/boù aet bsont des nombres premiers entre eux w, c'est-à- dire que a/bn'est pas réductible. Car le cas a= 3 et b= 2 se généralise facile- ment à apremier et bpremier ; mais le fait que aet bsoient des nombres premiers entre euxn'empêche pas que l'un ou l'autre (ou les deux) aient des facteurs avec exposant supé- rieur à 1 dans leur décomposition (exemple :

27/8). Laissons ouvert le problème de cette

généralisation.]

Racine d'un carré parfait.

[NDLR : un énoncé assez obscur dans le manuscrit nous paraît pouvoir être restitué comme suit :]

Théorème :

Quelque soit x, réel positif, les nombres

et Ðsont des rationnels si et seulement si xest un rationnel de la forme y2, où yest un rationnel.

Démonstration :

• Si x= y2alors x= P2/Q2donc =P/Qet Ð= Ð P/Q

Donc et Ðappartiennent à Q.

• Réciproque : appartient à Qssi =P/Q x= P2/Q2

Ðappartient à Qssi Ð=P/Q

x= (Ð)(Ð) = P2/Q2. donc x= y2. 3 2 3 2 3 2 xx xx xx xx xx xx page 106

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1996

Les décimaux illimités.

Un cas particulier.

Au fil de nos recherches nous avons remar-

qué un cas particulier qui concerne tous les entiers. On sait que : = 0,1111111É et que :

9 ´= 0,9999999É

Or : = 1 donc 0,9999999É = 1. Donc :

1 = 1,00000É = 0,99999É

De plus, pour tout entier n, on a : n=n´1.

On peut donc dire que chaque nombre entier

a deux écritures décimales illimitées. Un entier s'écrit toujours sous la forme d'une fraction, exemple :

Une écriture décimale pour ce nombre est

n,0000000É ou bien (nÐ1),99999É

Les écritures décimales.

Ce qu'on appelle couramment un décimal,

par exemple 5,27, est un nombre dont la par- tie décimale est formée d'un nombre limité de chiffres non tous nuls. Ce nombre s'écrit aussi sous la forme fractionnaire

Son écriture décimale est aussi 5,27000É

Mais nous savons que certains nombres ont

des écritures décimales illimitées dans les- quelles n'apparaissent pas que des zéros.

Exemples :2,345454545É

70,145327034568É

Dans le premier cas on voit apparaître une

séquence " 45 » qui se répète. Nous l'appel- lerons période. Dans le second cas, les c h i ffres semblent se succéder de manière totalement aléatoire, on ne voit pas apparaître de période.

Nombres à suite décimale illimitée.

Intéressons-nous aux nombres représentés par une suite décimale illimitée. Nous distingue- rons ceux qui ont une suite décimale illimitée périodique (la période n'étant pas constituée uniquement de 0) et ceux qui ont une suite de c h i ffres illimitée non périodique. Nous dési- gnerons les premiers par : nombres de type

SDIP et les seconds par : nombres de type

SDINP.

Pour chacun d'eux, posons-nous la question :

" Est-il ou non rationnel ?»

Commençons par les nombres de type SDIP.

1 9 1 9 9 9 n n 1 527
527
100
page 107

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1996

Tout nombre de type SDIP est-il

rationnel ?

Soit donc un décimal avec une séquence qui

se répète. Exemple : Y= 43,525252É On multiplie par 102.

102Y= 4352,52525252É

YÐ 102Y= 43,52525252É Ð 4352,525252É

YÐ102Y= Ð4309

Y= Ð4309/(1 Ð 102)

Y= 4309/99

Donc c'est bien un rationnel.

Cas général(ou presque car nous n'avons

pris que 3 chiffres dans la période).

Y= x, abcabcabcabcÉ

103.(Y) = xabc, abcabcabcÉ

YÐ 103.Y = (xÐ xabc),000É

YÐ 103Y= xÐ xabc

Y(1 Ð 103) = xÐ xabc

Y= (xÐ xabc)/(1Ð103)

xÐxabcet 1Ð103sont des entiers donc Yest un rationnel. Si on désigne par

Q: ensemble des rationnels

P: ensemble de nombres de type SDIP

PÌQ

Tout nombre de type SDIP est un

rationnel.

Inversement, tout rationnel est-il de type

SDIP ? C'est-à-dire tout élément de Q

appartient-il àP?

Exemple : le nombre 38/7 a-t-il une suite

décimale illimitée périodique ?

Si on divise 38 par 7, on a : 38 = 7 ´5 + 3

On peut écrire successivement :

3 ´10 = 7 ´4 + 2

2 ´10 = 7 ´2 + 6

6 ´10 = 7 ´8 + 4

4 ´10 = 7 ´5 + 5

5 ´10 = 7 ´7 + 1

1 ´10 = 7 ´1 + 3

puis on retrouve :

3 ´10 = 7 ´4 + 2

38/7 = 5,428571 428571

Cas général: On divise ppar q(pet qsont

des entiers relatifs, q¹ 0). Sans restreindre la généralité, on peut choisir : p< q.

On sait que p= q´n+ r1avec r1< q.

10 ´r1= q´a + r210 ´r2= q´b + r310 ´r3= q´c + r4

Nous avons tout au plus qÐ 1 restes : r1,r2,

r3,r4, É Après qÐ 1 opérations au plus, on retrouve un des restes précédents, donc aussi la même séquence de chiffres de la partie décimale du quotient. Nous avons ainsi démontré que tout rationnel a bien une écriture décimale illimitée pério- dique. On peut donc écrire QÌP; comme nous avions déjà PÌQ, nous pouvons conclure :+P= Q.

38 7

30 5,4285714

20 60
40
50
10 30
2 page 108

ÒMATh.en.JEANSÓ en 1996

Nous allons poursuivre avec les nombres de

type SDINP, c'est-à-dire ceux dont la partie décimale est une suite illimitée non pério- dique. Essayons d'abord de répondre à la question : entre deux rationnels même très proches, y a-t-il toujours un rationnel ?

Prenons un exemple. Ecrivons un rationnel :

a= 4,372468 372468 372468 372468 372468 É • ajoutons-lui 10Ð25, c'est-à-dire :

0,000000 000000 000000 000000 1

• on obtient le rationnel : b= 4,372468 372468 372468 472468 372468 É

C'est bien un rationnel car la séquence

Ò372468Ó se reproduit dès le 31èmerang. bÐ a= 10Ð 2 5; a et b sont deux rationnels ÒassezÓ proches. Si on ajoute à ÒaÓ une puis- sance de dix très petite, 10Ðm, on obtient un autre rationnel encore plus proche de a.

Entre aet bqui sont des rationnels déjà

proches, on peut insérer tous les rationnels de la forme a+ 10Ðm(mentier naturel).

Cela signifie que des rationnels, il y en a

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