Décomposition dun nombre en fractions égyptiennes conjecture de
16 déc. 2002 On ne sait pas très bien comment les Égyptiens procédaient pour cette obtenir cette décomposition. Par contre on sait que pour une fraction ...
N3 – FRACTIONS EGYPTIENNES
Nous ne connaissons pas la méthode utilisée par les Égyptiens pour décomposer toute fraction en une somme de fractions unitaires. En 1201 Fibonacci trouve
LES FRACTIONS EGYPTIENNES
Une fraction égyptienne est une fraction dont le numérateur est égal à 1. N'importe quelle fraction peut se décomposer en une somme de fractions égyptiennes
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Si donc une fraction admet une décomposition égyptienne (on verra au § 4 que c'est toujours le Mais auparavant montrons comment fonctionne l'algorithme.
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Si donc une fraction admet une décomposition égyptienne (on verra au § 4 que c'est toujours le Mais auparavant montrons comment fonctionne l'algorithme.
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Donner une décomposition de la fraction en somme de. 2. 2n + 1 deux fractions égyptiennes différentes. Partie C : Algorithme "glouton" de Fibonacci. En 1201
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Donner une décomposition de la fraction en somme de. 2. 2n + 1 deux fractions égyptiennes différentes. Partie C : Algorithme "glouton" de Fibonacci. En 1201
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Appliquer cet algorithme à et donner sa décomposition en fractions égyptiennes. 13. 81. Frédéric Vallery - Francis Wlazinski. Page 6. 2.
session 2010 OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES
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Algorithmes gloutons fractions égyptiennes et algorithme de Fibonacci
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Comment obtenir l'écriture égyptienne d'une fraction quelconque a b strictement inférieure à 1 ? Étape 3 : Écrire la décomposition de
Comment Decomposer une fraction égyptienne ?
Elle répertorie les fractions dont le numérateur est deux et dont le dénominateur n varie de trois à cent-un, n impairs et donne leur équivalent en somme de fractions unitaires. ? 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Ces différents résultats furent obtenus par les anciens Égyptiens en appliquant la technique de la division.Quelle est la particularité des fractions égyptiennes ?
Une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, c'est-à-dire de fractions qui ont des numérateurs égaux à 1 et des dénominateurs entiers positifs, avec ces dénominateurs tous différents les uns des autres.- Environ 3000 ans avant Jésus-Christ, dans la région de Sumer, en Mésopotamie, on voit apparaître les premières fractions. La numération Babylonienne était une numération à base 60, les symboles utilisés étaient le clou et le chevron.
Calculer comme les Égyptiens
Pierre Legrand
Le thème mineur étudié ici a l'intérêt de fournir un lot d'exercices indépendants et
deux exemples simples d'algorithmes. Il peut être abordé à différents niveaux, de la quatrième à la terminale S.Les points les plus théoriques peuvent être sautés ; ils sont signalés par une étoile.
Les paragraphes faisant appel au programme d'arithmétique de terminale S ont été rejetés en annexe.1. Introduction
L'Égypte antique connaissait les fractions dès l'an 2000 avant notre ère, mais sous une forme limitée aux inverses d'entier. Les scribes ne manipulaient pas , mais ; de même ils ignoraient et travaillaient sur . Ce qui était pour eux pain quotidien est devenu au fil des siècles un thème d'étude assez marginal, mais qui connaît encore des avancées ... et des problèmes non résolus. Nous nous limiterons aux rationnels de]0,1]. Écrire la fraction (0 < pq;TA:5@-5>1?U
distinctes, de dénominateur au moins égal à 2, que par tradition l'on range dans l'ordre des dénominateurs croissants. Si cette somme comporte ntermes, on parle de décomposition de longueur n.2. Une infinité de décompositions
Une remarque élémentaire fait mesurer la complexité de la situation. En divisant par6 (2 3) l'égalité 3 2 1, on obtient ; de même en divisant 4 3 1
par 12 (3 4), on trouve . On peut continuer : en divisant q1 par q (q1) de deux façons, en bloc à gauche, en deux morceaux à droite, il vient : (1) Théorème. Toute fraction unitaire admet, quel que soit n, au moins une décomposition égyptienne de longueur n. On vient de montrer que le résultat est vrai pour n2. Supposons-le vrai à l'ordre n. En appliquant la formule (1) à la dernière fraction de la décomposition, on obtient 3 4 1 2 1 4 2 3 1 2 1 6 p q 1 2 1 3 1 6 1 3 1 4 1 12 1 q 1 q+1 1 qq+1()Dans nos classes
(*) p.m.legrand@sfr.fr (1) c'est-à-dire de numérateur 1. Legrand-Texte_Mise en page 1 25/02/13 05:21 Page143 une décomposition de longueur n1.Ainsi, de on tire , puis et ainsi
de suite. Commentaire. Si donc une fraction admet une décomposition égyptienne (on verra au § 4 que c'est toujours le cas), elle en admet une infinité. Les décompositions les plus intéressantes sont les plus courtes et, à longueur égale, celles dont le dernier dénominateur est le plus petit.3. Recherche de décompositions de longueur 2
3.1. Exercice : cas des rationnels de
Les seuls rationnels de ayant une décomposition de longueur2 sont , , et les nombres de la forme où n3. Dans une telle décomposition figure obligatoirement ou (sinon le nombre serait au plus égal à , donc inférieur à ). Reste donc à examiner les écritures (k3) et (k4)...3.2. Un algorithme de recherche empirique
Le paragraphe précédent ne doit pas faire illusion. Une fraction étant donnée, il n'est en général pas si simple de savoir si elle a des décompositions de longueur 2 et de les trouver. Nous donnons ci-après une méthode grossière, mais efficace ... tant que n'est pas trop élevé. Présentons-la d'abord sur un exemple. Exercice : chercher toutes les décompositions de longueur 2de On cherche deux entiers xet ytels que et 0 xy. Pour toute solution, on aura forcément et donc x8 ; en outre, de on tire , d'où x15. Reste à essayer les valeurs de 8 à 14, ce qui donne quatre solutions, comme on le voit ci-après. 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 7 1 421 2 1 3 1 7 1 43
1 42!43
p q 1 2 ,1 1 2 ,1 1 2 7 12 8 15 n+2 2n 1 2 1 3 1 2 1 4 1 5 1 2 1 k 1 3 1 k p q p q 2 15 2 15 1 x 1 y 1 x 1 15 1 x 1 y 1 x 2 15
144sssss
Legrand-Texte_Mise en page 1 25/02/13 05:21 Page144 , , conviennent. Mais ne convient pas, puisque 7 ne divise pas 165. On vérifie aisément que la seule autre solution est .Systématisons la procédure
Obtenir la décomposition de sous la forme avec x0 , y0 , x y, c'est trouver un entier xtel que soit positif et puisse se simplifier en une fraction de numérateur 1, autrement dit tel que pxqsoit positif et divise qx. Pour éviter de trouver deux fois chaque solution, on impose xy. On a alors pour toute solution , c'est-à-dire ; les valeurs xà essayer sont donc, en notant [a] la partie entière de a, celles vérifiant , ce qui en donne grosso modo . On aboutit au tableau de calcul suivant (aisément transformable en programme) : Essayons maintenant d'obtenir quelques résultats théoriques.3.3. Lemme
Si la fraction a une décomposition de longueur2, il en est de même pour toute fraction du type . Le résultat est immédiat. De on tire pour tout r: .3.4. Théorème
Si une fraction unitaire a pour dénominateur un nombre composé, elle a au moins 2 15 1 8 1 1202 15 1 9 3 15"9 1 45
2 15 1 10 5 150
1 30
2 15 1 11 7 165
2 15 1 12 9 180
1 20 p q 1 x 1 y p q 1 x p 2q 1 x p q q p
3.5. Théorème
Toute fraction de la forme admet la décomposition (2). Plutôt que de vérifier brutalement la formule, observons que, pk1 étant légèrement inférieur à pk, admet une bonne approximation par défaut qui est , autrement dit . Il est donc naturel de calculer la différence, ce qui donne immédiatement le résultat. Corollaire 1. Toute fraction irréductible de numérateur2 admet au moins une décomposition de longueur2. Le dénominateur est impair ; nous avons donc une fraction de la forme . Le théorème ci-dessus donne aussitôt : (3). Corollaire 2. Si une fraction de numérateur2 a un dénominateur impair et non premier, elle a au moins deux décompositions de longueur2. Soit une fraction du type où pet qsont impairs. Il suffit d'appliquer la formule (3) successivement à , à en divisant ensuite par q, à en divisant ensuite par p. Reste à vérifier, ce qui est immédiat, qu'on obtient trois solutions distinctes (deux si pq). 1 pq 1 pq 1 pq+1 1 pq pq+1() 1 p 1 p 1 p+1 1 pp+1() 1 pq 1 p+1()q 1 pq p+1() 1 q 1 pq 1 pq+1() 1 pq q+1() p pk!1 p pk!1 1 k 1 kpk!1() p pk!1 p pk 1 k 2 2k!1 1 k 1 k2k!1() 2 2k!1 2 pq 2 q 2 p 2 pq146sssss
Legrand-Texte_Mise en page 1 25/02/13 05:21 Page146 Corollaire 3. Toute fraction de la forme admet une décomposition de longueur2. Il suffit de diviser la formule (2) par rpour obtenir (2bis).3.6. Fractions irréductibles de numérateur 3
Nous avons vu que toute fraction irréductible de numérateur 1 ou 2 admet au moins une décomposition de longueur 2. La situation pour les fractions irréductibles du type est moins simple. • Si qest pair(q2k), on a aussitôt , ce qui règle la question. • Si qest impair, le reste de sa division par 6 est impair et non multiple de 3 ; c'est donc 1 ou 5, ce qui signifie que qest de la forme 6k1 ou 6k1. • Si qest de la forme 6k1, de , on tire par la formule (2 bis) • Si qest de la forme 6k1, il peut ou non exister une décomposition de longueur2, comme le montre l'exercice ci-après.
Exercice: Montrer que a une décomposition de longueur2 et que n'en a aucune. En divisant par 5 la décomposition , il vient , de longueur 2. Supposons maintenant que l'on ait avec xy. De on tire , donc , d'où x4. De on tire , donc x3 . Il n'y a donc que deux valeurs à essayer, 3 et 4 ; on vérifie qu'aucune ne convient.Retour sur le cas où q est de la forme 6k1
Supposons que le dénominateur qsoit de la forme 6k1 et non premier, qrs, l'un au moins des deux facteurs, par exemple r, n'étant pas de la forme 6k1. Le nombre rne peut être ni 2 ni 3, puisque qn'est divisible ni par 2 ni par 3, donc on a r3. Alors, d'après la discussion précédente, a au moins une décomposition p rpk!1() p rpk!1() 1 rk 1 rk pk!1() 3 q 3 2k 1 k 1 2k 3 6k!1 1 2 6 6k!1 3 6k!1 1 2k 12k6k!1()
3 253 7 3 5 1 2 1 10 3 25
1 10 1 50
3 7 1 x 1 y 2 x 3 7 x< 14 3 1 x 3 7 x> 7 3 1 x 1 y 3 r
Calculer comme les Égyptiens
Legrand-Texte_Mise en page 1 25/02/13 05:21 Page147 de longueur 2 : . Il en résulte . D'où le résultat ci-après. Théorème. Toute fraction irréductible de numérateur 3a au moins une décomposition de longueur 2, sauf peut-être (2) si les facteurs premiers du dénominateur sont tous de la forme6k1.3.7. Fractions irréductibles de numérateur 4
Étant donné une fraction irréductible , son dénominateur qest de la forme 4k1 ou 4k1. Dans le premier cas, il suffit d'appliquer la formule (2) : Dans le second cas, si qa un diviseur de la forme 4k1 (k1), le lemme du § 3.3. permet de se ramener au cas précédent. Ainsi La seule situation restante est celle où qet tous ses diviseurs sont de la forme 4quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] fraction égyptienne 5eme
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