[PDF] Cours LP203 – 2012-2013 – Chapitre 4 – Le dipôle électrostatique

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 4 Ð Le dip™le Žlectrostatique 4/15 PM " r2 Ð r a cos, = r 1 Ð ar cos, On effectue un dŽveloppement limitŽ au 1er ordre : (1 Ð x)-# = 1 + x2 dÕo 1PM = 1r 1 1 Ð ar cos, = 1r -../0112 1 + a cos,2r De mme pour NM : NM = NM"θ = OM"θ Ð ON"θ = OM2 Ð 2OM"θθON"θ + ON2 = r2 + r a cos, + a24 NM = r 1 + ar cos, dÕo 1NM = 1r 1 1 + ar cos, = 1r -../0112 1 Ð a cos,2r Finalement : &''()**+1PM Ð 1NM = a cos,r2 dÕo : V(M) = q a cos,4$%0 r2

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 4 Ð Le dip™le Žlectrostatique 6/15 On peut encore rŽŽcrire lÕexpression du champ Žlectrique en fonction de pθ. Dans la base (eθr,eθθ), pθ sÕexprime : pθ = p cos, eθr Ð p sin, eθθ 4 p sin, eθθ = p cos, eθr Ð pθ En introduisant cette ŽgalitŽ dans lÕexpression de Eθ, il vient : Eθ(r,,) = 14$%0 r3 &'()*+ 3 p cos, eθr Ð pθ N P eθr eθθ eθr eθθ eθr eθθ eθr eθθ , = $/2 , , = $/2 , = $ , = 0 pθ Eθ Eθ Eθ Eθ N P , eθr eθθ pθ

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 4 Ð Le dip™le Žlectrostatique 7/15 Eθ(r,,) = 14$%0 r3 &'()*+ 3 (pθθeθr) eθr Ð pθ Il est recommandŽ dÕaller voir les simulations accessibles aux adresses suivantes : http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/dipole1.html http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/dipole.html http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/tripole.html et plus gŽnŽralement toutes les simulations accessibles depuis : http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/menuelec.html

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 4 Ð Le dip™le Žlectrostatique 8/15 Equipotentielles : Elles sont dŽfinies par lՎquation V(M) = q a cos,4$%0 r2 = Cte Soit r 2 = Kθcosθ Lignes de champ : Elles sont dŽfinies par lՎquation d$θ 5 Eθ = 0θ Soit r = Kθsin2θ

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 4 Ð Le dip™le Žlectrostatique 9/15 Les Žquati ons dŽfinissant les lignes de ch amp et les Žquipotentielles ne sont valables que pour r >> a. La partie centrale de chaque figure est grisŽe car dans cette rŽgion, les Žquations prŽcŽdentes ne sont plus valables. Pour une description plus prŽcise des lignes de champ et des Žquipo tentielles, il faut calculer numŽriquement les valeurs en chaque point :

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 4 Ð Le dip™le Žlectrostatique 12/15 Donc lՎnergie potentielle du dip™le est : Ep = Ð q E (xP Ð xN) Avec xP Ð xN = NP cos, DÕo Ep = Ð q NP E cos, Soit, sous forme vectorielle : Ep = Ð pθ θ Eθ Ep Minimum de potentiel θ Žquilibre stable Maximum de potentiel θ Žquilibre instable Ð + Eθ Ð + ,

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 4 Ð Le dip™le Žlectrostatique 15/15 LՎnergie potentielle de ce dip™le placŽ dans un champ non uniforme est : Ep = q [ V(P) Ð V(N) ] avec V(P) = V(N) + 9V"θθNP"θ dÕo : Ep = q NP"θθ9V"θ Ep = Ð pθθEθ(O) Encore une fois, on suppose que les variations du potentiel sont faibles sur les distances caractŽristiques du dip™le et que 9V"θ est correctement approximŽ par Eθ(O), le champ rŽgnant au point O. LÕaction dÕun champ non uniforme Eθ(O) N P +qEθ Q ¥ Ð qEθ + O ¥ Ð