[PDF] Cours ECRITURES FRACTIONNAIRES ; FRACTIONS

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Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 1 sur 19

NOM et Prénom 5ème

ECRITURES FRACTIONNAIRES ; FRACTIONS

" La Mathématique du Chat » par Daniel Justens et Phillipe Geluck, mai 2008.1 I. Au temps béni de la Sixième. __________________________________________________________ 2

II. Quotients égaux ; Simplification (6ème). _________________________________________________ 5

III. ____________________________________________ 8 IV. _____________________________________________ 13 V. ? _______________________________________________________________ 14 VI. Révisions sur les fractions. ________________________________________________________ 15

VII. Pour préparer le test et le contrôle. __________________________________________________ 19

Pré requis pour prendre un bon départ :

Décomposer un nombre en produit de facteurs ! Ex

Quotient ; Ecritures fractionnaires.

Fractions : définition, simplification.

Quel est le comble du mathématicien ?

C'est de se faire piquer sa moitié par un tiers dans un car.

1 Daniel Justens : Mathématicien bruxellois et grand amateur de Bande Dessinée.

Philippe Geluck : Célèbre dessinateur de la série en bande dessinée du Chat. Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 2 sur 19

I. AU TEMPS BENI DE LA SIXIEME.

A. Quotient :

Définition : On appelle " quotient » non nul (

Remarque : !

Exemples : Un quotient peut être un nombre entier :

33 144 9 = 11 2,5

4 = 8 64 = 8

Un quotient peut être un nombre décimal :

10 2,7 25,8

4 = 2,5 100

Hélas, certains quotients ne sont pas des nombres décimaux !

Je pense par exemple à 2 7 ou à 1,1 : quand on pose ces divisions, elles ne se " terminent » jamais.

Autre " problème » : ces écritures en ligne sont de la part des élèves !

Par exemple 5 5, on calcul 5 5 !

5

5 , impossible de faire cette erreur de calcul !

B. Vocabulaire des écritures fractionnaires :

du quotient n d est de la forme n d et se lit " n sur d ».

Le nombre " d » sous la barre de fraction, (d

Donc ce nombre d " dénomine

Ce nombre " d

Le nombre " n » au dessus de la barre de fraction indique combien de fois on prend ces morceaux.

Ce nombre " n

Ex : Dans 2

5 e en 5 morceaux (en " cinquièmes »).

. On obtient bien au final " 2 cinquièmes ».

Dans 7

3 e ...................... »).

final " ........................................... » n ÷ d = n d

Dividende

Diviseur

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 3 sur 19 Application 1 : Ecrire sous forme fractionnaire sans rien calculer :

Ex : 2 3 = 2

3 LA BARRE DE FRACTION EN PREMIER !

Cette barre de fraction doit être mise à hauteur du milieu du signe = . deux demis = un tiers = neuf quarts = la moitié de k = une demi-pomme =

2,3 = (r 1) (t 1) =

vitesse moyenne = distance durée = Application 2 : Ecrire sous forme fractionnaire sans rien calculer : ATTENTION AUX PRIORITES ! (3 5) 7 = 3 5 7 = a + b c = (a + b) (c 1) = a + b c 1 =

4 cas particuliers importants à retenir : Quelles que soient les valeurs de n et de d (d 0), on a :

0 d ex : 0 2,257 n

1 ex : -8,8

1 d d Tt nb non ex : c-à-d k % = k 100 .
7 % = 0,10

100 100 % =

100 0,05

100 2 500 % =

100

C. Fractions :

1. Définition des fractions :

Définition : Lorsque le numérateur n et le dénominateur d (d sont des NOMBRES ENTIERS, alors n d Ex : 2

7 est une fraction mais pas

, ou - Contre-exemples : Donner 2 écritures fractionnaires qui ne sont pas des fractions

A retenir : :

18 695 = 18 695

5 = 11 =

9 4 =

5 = 40

1,5 = 15

0,7 =

10 5,78 =

100 000

Dorénavant, on remplacera TOUJOURS les nombres décimaux par des fractions dans les calculs ! Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 4 sur 19

2. Comparaisons de 2 fractions :

à la même famille !

au même

Compléter par < ou > : 5

4 4

4 1587

35 1587,1

35 1

33 5
66
Cette méthode est celle qui est la plus largement utilisée, parce que .

3. Fractions et abscisses de points :

Définition :

abscisest le nombre qui donne la position de ce point sur cette droite. Méthode pour placer un point ou bien trouver son abscisse fractionnaire :

Marquer les graduations principales (entières). Celles-ci délimitent les segments unités (de longueur 1).

Compter en combien de morceaux sont partagés chaque segment unité. Exemple : Sur la figure plus bas, les segments unité (de longueur 1) sont tous ppeut

être représentée par une fraction sur 6.

Compter " en fractions » (ici en fraction sur 6)

Simplifier la fraction si nécessaire.

Exemple : Sur la figure plus bas, le point A est à 3 graduations du point origine O donc xA = 3

6 = 1

2 .

Exercice :

1. Ecrire les abscisses des points A, B, C et D.

2. Placer les points E (xE = 2

3 ) et F (xF = -1

3 ).

Exercice :

1. Ecrire les abscisses (sous la forme la plus simple possible !) des points D et L.

2. Puis placer les points O( 23

4 ) et E( 14

2 ). C O 0 B A 1 D 5 6 D L R Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 5 sur 19

II. QUOTIENTS EGAUX ; SIMPLIFICATION (6EME).

On voit par exemple que 10 5 et 20 10

5 = 20

10 = 10 2

5 2 . Généralisons :

A. Règle des quotients égaux :

Soient k 0 et b 0, alors n

d et n k d k sont 2 écritures fractionnaires du même quotient c-à-d : n d = n k d k (avec k 0 et d 0)

Autrement dit et son dénominateur d par le

même nombre k non nul. B. Utilité : simplification des fractions et écritures fractionnaires : dans le sens n k d k = n d va permettre de simplifier les fractions en " réduisant » le numérateur

Exemple : 78

48 = 39

24 = 39

24 = 3

3 = 13

8 .

Dans 13/8.

C. Fractions irréductibles :

Ainsi donc, un quotient a plusieurs écritures fractionnaires. Une est meilleure que toutes les autres :

Définition : , c-à-Fraction

Irréductible2. Cette écriture vérifie les 2 conditions suivantes : le numérateur et le dénominateur sont

entiers et sans facteurs communs entre eux3 (autre que 1).

Méthode :

en faisant " disparaître les virgules » si il y en a, puis en simplifiant " au maximum ».

Exercice : Ces écritures fractionnaires sont-elles irréductibles (justifier) ? Si non, les simplifier.

12

15 4

9 0,4

0,9 - 20

30 - 13

17

D. 2 conseils importants :

Avant de commencer les calculs, toujours simplifier si possible les écritures fractionnaires.

Pour cela, bien connaître ses tables de !

2 Irréductible : " Dans un coin reculé de »

3 Le numérateur et le dénominateur ne sont pas dans une même table de multiplication commune. Ex : 2 et 7 ou bien 26 et 19.

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 6 sur 19

E. Exercices sur la simplification :

Remarques : Simplifier toujours par paire(s) de facteurs identiques, au numérateur et au dénominateur.

Simplifier par 1 ne sert strictement à rien.

Simplifier au maximum.

Simplifier au maximum en colonnes sous forme de Fractintier :

Ex : 45

27 = 9 5

9 3 = 5

3 F.I

42

48 = 26

39 = 56

16 = 8

64 = 21

49 =

Ex : 0,24

0,8 = 0,24 100

0,8 100

= 24 80
= 3 8 10 8 = 3

10 F.I.

1,5

4,5 = 0,8

2 = 9

0,01 =

A quelles Fractions Irréductibles (F.I.) sont égales les pourcentages suivants ?

Ex : 50 % = 50

100
= 50 1 50 2
= 1

2 F.I.

25 % = 20 % = 10 % =

Simplifier au maximum en colonnes sous forme de Fractintier :

Ex : 6a

9a = 2 3 a

3 3 a

= 2

3 F.I.

2z

4z = 18n

24d = 56ky

35kt =

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 7 sur 19 F. Critères de divisibilité ; application à la simplification :

Est-il facile de simplifier 126

342

Effectivement non. Toute la difficulté est de décomposer 126 et 342 en faisant apparaître des facteurs

communs. Comment trouver ces facteurs communs :

Un entier est

Un entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Un entier est divisible par 5 lorsqu

Un entier est divisible par 10 ou 100 ou 1 ..

Application : Compléter chaque case du tableau par Vrai ou Faux : Nombres div. par 2 div. par 3 div. par 5 div. par 6 div. par 10 div. par 15 div. par 30 -36 75
120
-90 132

Ces 4 critères de divisibilité seront amplement suffisants pour trouver des facteurs communs quand on

voudra simplifier des fractions du style 126/342.

Méthode : 126

342 = 63 2

171 2 = 63

171 = 21 3

57 3 = 21

57 = 3 7

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