[PDF] Corrigé succinct de lépreuve écrite de Mathématiques (les énoncés

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Université de Nice Sophia AntipolisL1 Sciences économiques - GestionAnnée 2008/2009

1ère SESSION - 2ème Semestre

Filière Eco-Gestion

Première Année de Licence (L1)

Mathématiques 2 - Unité U5

Enseignant: YAMEOGO J.

Corrigé succinct de l"épreuve écrite de Mathématiques (les énoncés sont en bleu)

Exercice 1.

(6 points) Soitfla fonction réelle définie sur l"intervalle[-1,2]parf(x)=? 1+3x 5?16

1. Calculerf?(x),f??(x)et étudier le signe def??(x)sur[-1,2].

Solution: On peut commencer par remarquer que l"expression? 1+3x 5 ?16 est bien définie si et seulement si1 +3x 5 ?0, c"est-à-direx?-53. Comme-53<-1,fest bien définie et dérivable sur [-1,2]. On trouve en appliquant les formules de dérivations usuelles,f?(x) =1 10 1 +3x 5?-56 etf??(x) =-1 20 1 +3x 5?-11 6 . Nous avons 1 + 3x 5 >0sur l"intervalle[-1,2], ce qui donne? 1 +3x 5 ?-11 6 >0. On en déduit que f ??(x)est strictement négatif sur[-1,2].

2. L"approximation affine defenx0=0est une fonctionhdéfinie parh(x)=ax+b

oùaetbsont des nombres réels. a) Calculer les nombres réelsaetbdans l"expressionh(x)=ax+b.

Solution: On aa=f?(0)=1

10etb=f(0)=1. Ainsi,h(x)=1

10x+1.

b) On décide d"utiliserh(1)comme approximation def(1). i. Que vauth(1)?

Solution: De l"expressionh(x)=1

10x+1on déduith(1)=1110=1,10.

ii. Sachant que la formule de Mac-Laurin dit qu"il exitec?]0,1[tel quef(1) =h(1) +f??(c) 2 , l"approximation def(1)parh(1)est-elle par défaut ou par excès? Justifiez votre réponse.

Solution: Comme on af??(c)

2<0, on en déduit quef(1)< h(1), donc

l"approximation def(1)parh(1)est par excès. 1 Exercice 2.(6 points) Soientf,gethles fonctions réelles données par les formules f(x)=8

1+x⎷

,g(x)=ln(2-x),h(x)=f(x)×g(x).

1. Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctionsf,geth.

Solution:fa pour domaineD(f)=]-1,+∞[.ga pour domaineD(g)=]-∞,2[. Le domaine de définition dehest l"intersectionD(f)∩D(g)=]-1,2[.

2. Calculer le développement limité defà l"ordre 2 enx0=0.

(indication: on pourra remarquer quef(x)=8×(1+x)-12

Solution: En utilisant les formules de développements limités des fonctions usuelles on trouve:

(1+x)-12 =1-12x+38x2+o(x2).

On en déduitf(x)=8-4x+3x2+o(x2).

3. Des calculs supposés justes donnentg(0)=ln(2),g?(0)=-12etg??(0)=-14.

En déduire le développement limité à l"ordre 2 enx0=0degpuis deh. Solution: en utilisant les données on obtientg(x)=ln(2)-12x-18x2+o(x2). Commeh est la fonction produit defetg, en utilisant les développements limités à l"ordre2de fetgon calcule facilement le développement limité à l"ordre2deh. On obtient

4. Donner une équation de la tangente au graphe dehen(0,h(0))et étudier la posi-

tion de cette tangente par rapport au graphe au voisinage de(0,h(0)).

Solution: En utilisant le développement limité trouvé dansla question 3. ci-dessus, on trouve

que la tangente au graphe dehen(0,h(0))admet pour équation y=8ln(2)-4(ln(2)+1)x. Comme on a(1+3ln(2))>0, on peut dire que cette tangente est en dessous du graphe deh au voisinage de(0,h(0)).

Exercice 3.

(3 points)

1. Calculer le domaine de définition et une primitive de la fonctionx

?1 x⎷.

Solution: La fontionx?1

x⎷est défini sur]0,+∞[et admet pour primitive la fonction x ?2x⎷.

2. Calculer l"intégrale définieI=?

101000

1000
x dx.

Solution: On a1000

x =1000⎷×1 x⎷, doncx?1000 x? admet pour primitive x ?21000x⎷. On en déduitI=2?

1000x⎷

101000=2(1000-100)=1800.

2

Exercice 4.(5 points)

Soitf:[0,+∞[

?Rla fonction réelle définie parf(x)=(10x+5)e-12x.

1. Calculer

010 f(x)dx. Solution: On fait une intégration par parties en posantu(x)=10x+5etv?(x)=e-12x, de sorte queu?(x)=10etv(x)=-2e-12 x(par exemple).

On en déduit?

010 f(x)dx=? -2(10x+5)e-12 x? 010 +20? 010 e-12xdx.

D"où finalement

010 f(x)dx=? -2(10x+25)e-12 x? 010 =50-250e-5.

2. Pourb?[0,+∞[on poseI(b)=?

0b f(x)dx.

Calculer lim

b→+∞I(b). Que peut-on dire de l"intégrale impropre?

0+∞

f(x)dx? (indication: on pourra utiliser le fait que pour tout réelαstrictement négatif et pour tout polynômeP, on alimt→+∞eαt×P(t)=0). Solution: En utilisant les calculs de la question 1. ci-dessus, on trouve quef(x)admet pour primitive la fonctionx ?-2(10x+25)e-12x.

On en déduit queI(b)=50-2(10b+25)e-12

b. On alimb→+∞I(b)=50, ce qui signifie que l"intégrale impropre?

0+∞

f(x)dxconverge vers50. 3quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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