[PDF] épreuve de spécialité - session 2021

EXERCICEA exercice au choix 5 points

Principauxdomaines abordés

Logarithme

Dérivation, convexité, limites

La droiteTAest parallèle à l"axe des abscisses. La droiteTBcoupe l"axe des abscisses au point de coor-

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,00

1,01,52,02,53,0

On notef?la fonction dérivée def.

PARTIEI

1.• La droiteTAest tangente à la courbeCfau point A de coordonnées?1

On peut donc déduire quef??1

0-3=-1.

On a doncf?(1)=-1.

2.La droiteTBa pour coefficient directeur-1 et 3 pour ordonnée àl"origine, donc elle apour équa-

PARTIEII

Corrigédu sujet 0 -6session 2021

1.•f?1e?

1=2 donc B?Cf.

• La courbeCfcoupe l"axe des abscisses en un point dont l"abscisse est solution de l"équation

2.Calculs des limites.

2+ln(x))=-∞

2+ln(x))×1x=-∞donc limx→0

3.Pourx?]0 ;∞[,f?(x)=1

4.f?(x) est du signe de-1-ln(x);-1-ln(x)>0?? -1>ln(x)??x On dresse le tableau de variations defsur ]0 ;+∞[ : x01e+∞ f?(x)+++0--- e f(x) -∞0

5.On admet que, pour toutx?]0 ;+∞[,f??(x)=1+2ln(x)x3.

La fonctionfest convexe sur les intervalles sur lesquelsf??est positive.

Sur ]0 ;+∞,x3>0 donc

f ??(x)?0??1+2ln(x) x3?0??1+2ln(x)?0??ln(x)?-12??x?e-1 2 Donc le plus grand intervalle sur lequel la fonctionfest convexe est? e-1

2;+∞?

Corrigédu sujet 0 -7session 2021

Baccalauréat Général Épreuved"enseignement de spécialitéA. P. M. E. P.

EXERCICEB exercice au choix 5 points

Principauxdomaines abordés

Équations différentielles

Fonction exponentielle; suites

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de 225 °C.

On s"intéresse à l"évolution de la température d"une baguette après sa sortie du four.

On admet qu"on peut modéliser cette évolution à l"aide d"unefonctionfdéfinie et dérivable sur l"inter-

valle [0 ;+∞[.

Dans cette modélisation,f(t) représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la

duréet, exprimée en heure, après la sortie du four.

Ainsi,f(0,5) représente la température d"une baguette une demi-heure après la sortie du four.

Dans tout l"exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25 °C. On admet alors que la fonctionfest solution de l"équation différentielley?+6y=150.

1. a.f(0) représente la température d"une baguette lors de sa sortie du four, c"est-à-dire 225◦C.

b.Pour résoudrel"équation, on la met sous la formey?=ay+bavecaetbdes réels. On obtient : y ?=-6y+150??y?=ay+bavec?a=-6 b=150 On sait alors que les solutions de cette équation sont toutesles fonctions de la forme : f(t)=-b a+Ceat,C?R Les solutions de l"équation différentielle sont donc toutes les fonctions de la forme : f(t)=-150 -6+Ce-6t f(t)=25+Ce-6t tion initialef(t=0)=f(0)=225 d"après la valeur trouvée à la questiona.La fonction qui satisfait donc le modèle de l"exercice est la solution de l"équation : f(0)=225??Ce0+25=225 ??C+25=225 ??C=200

Donc on a bien, pour tout réelt?0 :

f(t)=200e-6t+25

2.Par expérience, on observe que la température d"une baguette sortant du four décroît et tend à se

stabiliser à la température ambiante.

— Vérifions d"abord que la fonctionfdécroît.fest d"abord bien dérivable pour tout réelt?0

comme composée de fonctions dérivables et : pour tout réelt?0,f?(t)=-1200e-6t

Or, pour tout réelt?0 :

?e-6t>0 -1200<0=?f?(t)<0=?fest bien décroissante (strictement).

— Pour vérifier que la température tend à se stabiliser à la température ambiante (25◦C), nous

allons calculer la limite de la fonctionfen+∞: lim

t→+∞e-6t=0=?par produitlimt→+∞200e-6t=0=?par sommelimt→+∞200e-6t+25=25=limt→+∞f(t).

La fonctionf, qui représente la température de la baguette (en◦C) au bout du temps, a pour

limite 25 en+∞. Cela signifie donc bien que la température tend à se stabiliser à la tempéra-

ture ambiante de 25 ◦C.

Corrigédu sujet 0 -8session 2021

Baccalauréat Général Épreuved"enseignement de spécialitéA. P. M. E. P. Donc la fonctionffournit un modèle en accord avec ces observations.

3.La fonctionfest continue et décroissante strictement donc monotone sur[0 :+∞[. Par ailleurs,

f(0)=225 et limt→+∞f(t)=25 donc, d"après le théorème des valeurs intermédiaires, ilexiste un

unique élémentc?[0;+∞[ tel quef(c)=40.

Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou

égale à 40 °C. On noteT0le temps d"attente minimal entre la sortie du four d"une baguette et sa

mise en rayon. On donne la représentation graphique de la fonctionfdans un repère orthogonal.

0 0,5 1,0 1,5 2,00

-2020

406080100120140160180200220240

Durée en heureTempérature en degré Celsius Cf 0,43

4.La courbeCfsemble atteindre 40 vers 0,43 heure soit 0,43×60=25,8 minutes. On trouve donc

une valeur approchée de 26 minutes.

5.On s"intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d"une baguette à sa

sortie du four.

Ainsi, pour un entier natureln,Dndésigne la diminution de température en degré Celsius d"une

baguette entre lan-ième et la (n+1)-ième minute après sa sortie du four.

On admet que, pour tout entier natureln:Dn=f?n

60?
-f?n+160? a.On cherche une valeur approchée deD0. D 0=f?0 60?
-f?160? =f(0)-f?1 60?
=200e0+??25-?

200e-6

60+??25?

=200-200e-6 60
≈19,03 Donc 19 est bien une valeur approchée deD0à 0,1 près. Cela signifie que la diminution de

température qui se fait lors de la première minute après la sortie du four est d"environ 19◦C.

Au bout d"une minute, la baguette est donc à 225-19=206◦C. b. D n=f?n 60?
-f?n+160? =200e-6×nquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34