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Opt 2 : STIGMATISME ET APLANETISME - CONDITIONS

D "APPROXIMATION DE GAUSS.

On appelle . . . . . . . . . . . . . . . l"ensemble d"un certain nombre de milieux transparents homogènes

et isotropes séparés par des surfaces réfractantes (dioptres) ou réfléchissantes (miroirs) de formes simples.

En général, les systèmes seront . . . . . . . . . . . . . . . . . . , c"est à dire qu"ils possèderont un axe de

symétrie de révolution noté (D) et appelé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. VOCABULAIRE DE L"OPTIQUE GEOMETRIQUE.

1. Nature des faisceaux lumineux.

Un pinceau lumineux est un ensemble peu étendu de rayons lumineux. S"il est plus étendu, on parle de

Un faisceau est . . . . . . . . . . . . . . . si tous les rayons se dirigent vers un seul point. Un faisceau est . . . . . . . . . . . . . . . si tous les rayons proviennent d"un seul point.

Un faisceau est . . . . . . . . . . . . . . . si tous les rayons lumineux sont parallèles entre eux.

2. Nature des objets et images.

Un point A est un point . . . . . . . . . . pour le système optique s"il se trouve à l"intersection de rayons

lumineux incidents sur le système, ou à l"intersection de leurs prolongements.

Un point A" est un point . . . . . . . . . . . pour le système optique s"il se trouve à l"intersection de

rayons émergents du système ou à l"intersection de leurs prolongements.

Un objet est un ensemble de points objets.

Une image est un ensemble de points images.

Les objets de la vie courante sont réels. Du point de vue de l"optique, tout point d"un objet réel envoie des rayons lumineux vers la face d"entrée des instruments. Un point . . . . . . . . . . . . . . . . , pour un système optique, est situé avant la face d"entrée de celui-ci, dans le sens de propagation de la lumière. Figure 1 : Objet réel et image réelle pour S

De même, les rayons émergents de la face de sortie du système optique forment une . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . s"ils passent par " un point » situé après cette face toujours dans le sens de

propagation de la lumière. Expérimentalement une image réelle peut être recueillie sur un écran.

Dans le cas où ce ne sont pas les rayons émergents eux-mêmes mais leurs supports qui passent par " un point » en sortant de l"instrument, on dit que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elle ne peut pas être recueillie sur un écran. Figure 2 : Objet réel et image virtuelle pour S"

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Il est important de bien comprendre que l"image réelle Ai donnée par le système S, comme l"image virtuelle

A

i donnée par le système S" peuvent jouer le rôle d"objet réel pour un système S"" comme le montrent les

figures 3.

Figures 3 : Dans les deux cas A

i joue le rôle d"objet réel pour S""

Enfin dans le cas où la face d"entrée d"un système comme S"" intercepte les rayons provenant d"un système

donnant une image réelle, le point de convergence des supports des rayons incidents constitue un point

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . pour le système S"".

Figure 4 : A

i joue le rôle d"objet virtuel pour S""

3. Stigmatisme et aplanétisme.

a. Stigmatisme.

Le rôle des instruments d"optique est de permettre d"observer des reproductions appelées images, des objets,

aussi fidèles que possible.

Si un système optique, c"est-à-dire, un instrument ou une partie de celui-ci fait passer les rayons issus d"un

point objet A

0 en un point Ai , on dit que Ai est l"image de A0. D"après le principe de retour inverse de la

lumière, A

i et A0 peuvent échanger leurs rôles c"est pourquoi on dit également que . . . . . . . . . . .

Lorsque les rayons issus d"un point A

0 qui entrent dans l"instrument . . . . . . . . . . . . . . . .

On dit aussi qu"il y a stigmatisme rigoureux si . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cette propriété est difficile à réaliser même pour des systèmes optiques très simples.

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Mis à part le cas du miroir plan, les surfaces correspondantes ne sont rigoureusement stigmatiques que

pour un seul couple de points ce qui limite beaucoup leur intérêt pour la formation des images d"objets

étendus.

Par ailleurs le stigmatisme rigoureux est un idéal qui ne tient pas compte : - des phénomènes de diffraction qui tendent toujours à élargir l"image d"un point

- des caractéristiques du détecteur. La rétine de l"oeil, par exemple est formée de cellules de

quelques microns de diamètre et deux points lumineux qui sont sur la même cellule ne sont pas distingués par l"observateur.

Pratiquement on peut se contenter de systèmes optiques qui réalisent un stigmatisme approché, c"est-à-dire

qui sont tels que les rayons issus d"un point A

0 qui entrent dans l"instrument en ressortent en passant tous

assez près d"un point A i à l"échelle du pouvoir séparateur du dispositif d"observation (film photographique, oeil ...). b. Aplanétisme.

Soit un système centré S.

A et A" sont deux points stigmatiques (deux points conjugués) par S.

Soit B (resp. B") un point proche de A (resp. de A") situé dans le plan perpendiculaire à (D) passant par A

(resp. dans le plan perpendiculaire à (D) passant par A").

Le système S est aplanétique si il est stigmatique pour le couple (A, A") et pour le couple (B, B").

On dit aussi qu"il y a aplanétisme si le système optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. Obtention d"images de bonne qualité.

Pour que l"image d"un objet par un système optique soit de bonne qualité, il faut que ce système

optique soit stigmatique (rigoureux ou approché) pour le couple objet-image. II. CAS DES MIROIRS PLANS : STIGMATISME RIGOUREUX.

1. Définition et réalisations.

Un miroir est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le miroir est plan si cette surface est plane.

Le pouvoir réflecteur de la surface de séparation de deux milieux transparents, c"est-à-dire le rapport de "la quantité" de lumière réfléchie sur celle de lumière incidente varie avec l"angle d"incidence.

Remarques :

C"est le cas de la surface air/eau d"un lac par exemple où on sait qu"on peut être ébloui par la lumière réfléchie du soleil couchant (incidence rasante proche de p/2) mais pas par la lumière réfléchie du soleil au zénith (angle d"incidence faible). C"est aussi le cas de la surface air/verre représenté par la courbe figure5.

Figure 5.

En revanche, pour les surfaces polies de certains métaux ou alliages, le pouvoir réflecteur R est élevé, de l"ordre de 0,9,

même pour un angle d"incidence nul (courbe noire).

On obtient des miroirs de bonne qualité en taillant une surface de verre à la forme souhaitée (plan, sphère,

parabole) et en y déposant une pellicule métallique soit par voie chimique (cas des miroirs anciens à

l"argent), soit par évaporation sous vide (cas des miroirs à l"aluminium ou au chrome).

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Pour éviter l"altération de la couche métallique celle-ci est : soit derrière le verre et protégée par une peinture

opaque dans le cas des miroirs à usage domestique (salles d"eau, magasins ... ), soit sur le verre et protégée

par une couche de quelques dixièmes de micron de silice, déposée par pulvérisation cathodique, dans le cas

plus coûteux des miroirs de qualité " optique ».

2. Stigmatisme du miroir plan.

Le miroir plan réalise . . . . . . . . . . . . . . . . . L"image A" d"un point A est . . . . . . . . . . . . . .

Figure 6

En conséquence, l"image d"un objet AB situé dans un plan perpendiculaire à (D), notée A"B", est le

symétrique de AB par rapport au plan du miroir, c"est à dire que A"B" est située dans un plan et

perpendiculaire à (D) et de même taille que AB. Le miroir plan est un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Le miroir plan est un instrument parfait puisqu"il assure un grandissement " "A B

ABγ== 1.

3. Nature des objets et images par un miroir plan.

Les figures ci-après montrent que l"objet et l"image sont toujours de natures opposées.

Figures 7

4. Image d"un objet étendu.

La propriété étant vraie pour chaque point de l"espace, l"image d"un objet étendu est le symétrique de cet objet par rapport au plan du miroir. Figure 8 : L"image est égale à l"objet dans toutes ses dimensions mais ne lui est, en général, pas superposable A" A

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5. Utilisations.

a. Miroirs tournants.

Le sextant : mesure de la latitude

par image d"un astre. b. Catadioptre. c. Interféromètres. (ex : Interféromètre de Michelson)

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III. AUTRES CAS, STIGMATISME APPROCHE. CONDITIONS DE GAUSS.

Comme indiqué précédemment, à part le cas du miroir plan, il n"existe pas de système optique

rigoureusement stigmatique. Au mieux le sont-ils pour quelques couples de points.

A l"aide du logiciel de simulation Cabri-Géomètre et des travaux de Yves Cortial, on étudie le stigmatisme

de différents systèmes optiques.

1. Exemples de systèmes partiellement stigmatiques.

a. Miroir parabolique.

Les seuls couples de points rigoureusement stigmatiques sont les couples . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour un point A situé à une distance finie du miroir, sur l"axe (D), les rayons issus de l"objet A convergent

après traversée du système optique dans un volume de petites dimensions autour d"un point A".

Ainsi, l"image du point A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si ce volume est légèrement inférieur à la taille du photorécepteur (grain, cône,...de l"ordre du μm), la tâche

apparaît comme un point.

Dans ce dernier cas, le stigmatisme n"est pas rigoureux, (l"image du point A n"est pas un point A") mais on

dit qu"il y a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

La notion de stigmatisme approché est donc toute relative à la nature du photorécepteur. b. Miroir sphérique.

Le miroir sphérique est rigoureusement

stigmatique pour les couples de points conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En dehors de ces points, le miroir sphérique peut être un système optique . . . . . . . . . Dès que le stigmatisme est approché pour un système optique donné, ce système . . . . . . Miroir parabolique, source ponctuelle placée au foyer

Miroir sphérique, stigmatisme approché

A A"

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2. Cas d"une lentille biconvexe.

On constate que les rayons éloignés de l"axe, qui font avec l"axe des angles importants, convergent les premiers près de la lentille, en des points différents selon les rayons. Ce système optique . . . . . . . . . . . . . . car l"image d"un point est une tâche circulaire dont l"aspect sur l"écran perpendiculaire à l"axe (D) dépend de la distance qui sépare ce dernier du système optique.

En revanche, les rayons peu éloignés de l"axe (D) et peu inclinés sur l"axe appelés rayons paraxiaux

convergent après traversée du système optique dans une tâche circulaire de petite taille autour d"un point A" :

Cette lentille est donc un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On pourra donc réaliser une image de qualité (image nette) avec cette lentille à condition que les objets

soient de petite taille et perpendiculaires à l"axe (D).

Aberration sphérique

Aberration sphérique

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3. Conditions d"approximation de Gauss.

Pour les systèmes centrés, sur un axe (D), nous généraliserons les résultats précédents sous forme de

conditions d"obtention d"images de bonne qualité :

Les conditions d"approximation de Gauss :

Pour un système centré, il y a stigmatisme approché si on considère : - des points objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; - des rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ce qu"on résume couramment en disant que les rayons concernés par la formation de l"image à travers le

système sont des rayons . . . . . . . . . . .

En pratique, pour se placer dans ce cadre et former des images de qualité, on utilise des . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . à placer devant les systèmes optiques, limitant l"entrée aux rayons paraxiaux.

Dans les conditions de Gauss, un point voisin de l"axe (D) dans un plan transverse vérifie aussi les

conditions de stigmatisme approché, ce qui fait que le système est aussi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Les principaux défauts des images formées.

a. Aberrations géométriques. Voici quelques exemples d"aberrations géométriques :

Aberration de sphéricité :

Il y a accumulation de lumière sur une surface

de révolution appelée caustique qui s"explique par la présence de rayons très éloignés de l"axe (D).

Aberration de coma :

Déformation de l"image en queue de comète due à la trop forte inclinaison des rayons sur l"axe.

Aberration sphérique

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Astigmatisme :

L"astigmatisme persiste malgré le diaphragme.

b. Aberrations chromatiques. Ces altérations des images par les systèmes optiques viennent du caractère dispersif du milieu matériel que constitue l"ensemble du système optique. A chaque radiation lumineuse correspond une image de position et de taille qui lui est propre. L"image résultante est la superposition de ces dernières, c"est pourquoi elle semble irisée. Pour remédier à ce type d"aberrations, on utilise des lentilles achromats (association d"une lentille convergente peu dispersive et d"une autre divergente très dispersive). c. Diffraction.

On risque d"accentuer les phénomènes de diffraction, de quitter le domaine de l"approximation de l"optique

géométrique si on diaphragme trop les ouvertures des systèmes optiques.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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