[PDF] FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE

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FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE

Les nombres complexes ont été introduits vers 1535 par les italiens Cardano et Ferrari comme racines des équations du 2

ème

degré dont le discriminant est négatif. Descartes (1596 - 1650) utilisa le terme 'nombre imaginaire'. Les résultats ont été

obtenus successivement par : Euler (1707 - 1783), Lagrange (1736 - 1813), Gauss (1777 - 1855), Cauchy (1789 - 1857),

Weierstrass (1815 - 1897), Riemann (1826 - 1866), Poincaré (1854 - 1912).

I Définitions et notations

C : ensemble des nombres complexes.

Une fonction f de la variable complexe z = x + iy associe à un élément du domaine de définition D une image :

f(z) = Z = X(x, y) + iY(x, y). X et Y sont deux fonctions réelles de deux variables réelles. exemple : Z = z 2 , D = C, X = (x 2 - y 2 ), Y = 2xy, .

II Principales fonctions

II 1 Fonctions uniformes

Une fonction est uniforme si tout élément du domaine de définition a une seule image. * fonctions polynômes : nn10 za....zaaZ!!" D = C * fonctions rationnelles : )z(Q)z(PZ" où P et Q sont des polynômes D = C - {zéros de Q(z)}. * fonctions exponentielles : ixiyxz e)ysiniy(cose eeZ. D = C. x eZ" %&'"#"2y)Z(Arg )z(Z)i2z(Z"'!. Z est périodique de période 2i'.

De même : (a

( R,a >0) alnzz ea". Exemple : ...0158.0i..009157.0)23i21...(0183.0)3sini3(cosee 43i4
* fonctions trigonométriques : i2eezsin iziz)

2eezcos

iziz) . D = C.

Exemple : i..175.1i2ee)isin(

11 * fonctions hyperboliques :

2eeshz

zz) 2ee chzzz) . D = C. zsini)iz(sh" zcos)iz(ch" ishz)izsin(" chz)izcos(".

II 2 'Fonctions multiformes'

Une fonction est 'multiforme' (cette vieille terminologie est très impropre) si au moins un élément du domaine de définition a

au moins deux images. * fonction racine carrée : 2121
)e(zZ i* 2i 0 e)z(Zz )2(i 1 e)z(Zz Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Variable complexe Soit 25i2i
eeiz 4i2i 0 e)e(Z

4i45i25i

0 ee)e(Z 45i2i
1 e)e(Z

4i49i25i

1 ee)e(Z Z 0 et Z 1 sont deux déterminations de la fonction multiforme 21
z. Z 0 et Z 1 sont aussi à priori des fonctions multiformes. Pour rendre Z 0 et Z 1

uniformes il suffit de réduire leurs domaines de définition de manière à empêcher de faire le tour de l'origine

sans sortir du domaine de définition.

On effectue une coupure 'd'origine O'. O est un

point critique (ou point de branchement, ou de ramification)

Par exemple si

',*-20 alors ',*-20 et ','!*-'22.D'où : 2i eiz 4i2i 0 e)e(Z 45i2i
1 e)e(Z Z 0 et Z 1 sont alors uniformes et )z(Z)z(Z 10 )". D'autres coupures sont possibles. 0x 0 0'x * fonction logarithme : Soit )2.k(i ez $" alors )2k(ilnLogzZ'!*!$""

La fonction Log possède une infinité de déterminations (correspondant chacune à une valeur de k) qui sont elles mêmes des

fonctions multiformes avant coupure. Une coupure intéressante est :

Alors les différentes déterminations sont uniformes et, pour les nombres réels positifs z, on a

$"lnLogz sur la détermination 'principale' (correspondant à k = 0).

Exemples :

)2k2(ii Log'!'" , )2k(i)1(Log'!'") , )2k4(i2ln21)i1(Log'!'!"!. * fonctions trigonométriques inverses :

Sur la détermination principale :

)z1iz(Logi1zsinArc 2 )!" )1zz(Logi1zcosArc 2 * fonctions hyperboliques inverses :

Sur la détermination principale :

)1zz(LogArgshz 2 !!" )1zz(LogArgchz 2 * fonctions puissances : Logz ez ))2k(i(ln ez . entier : fonction uniforme. . non entier : fonction multiforme, O est le point de branchement.

Exemples :

)2k2(iLogi eei )2k2(i ei "(valeur principale de 2.0ei 2i

III Dérivées

III 1 Limite et continuité d'une fonction

)L)z(fzz que tel 0)z,(,0(L)z(flim 00zz 0

0,)12,)30243056"

2,) 0 zz veut dire que z appartient à un disque ouvert de centre z 0 et de rayon 2; de même f(z) appartient à un disque ouvert de centre L et de rayon

0. Quel que soit le chemin pris par z pour aller vers z

0 l'image f(z) doit tendre vers le même nombre complexe L. Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Variable complexe

Une fonction est continue en z

0 si )z(f)z(flim 0zz 0 Lz0

III 2 Notions intuitives de topologie

* Un ouvert de C est soit l'ensemble vide soit une partie O de C telle que , ,Ox(5 il existe un disque D(x, R(70)) inclus dans O. * Un fermé est le complémentaire d'un ouvert. * Un ensemble compact est un ensemble fermé et borné. * Un ouvert O est connexe si deux points quelconques de O peuvent être joints par une ligne continue entièrement contenue dans O. Il est simplement connexe s'il est sans trou et multiplement connexe autrement. * Une courbe de Jordan est un circuit (chemin fermé) sans point double (où on passe plusieurs fois) parcouru une fois dans le sens direct. x0 x1 simplement connexe multiplement connexe

III 3 Dérivée d'une fonction uniforme

f est dérivable en z 0 si le quotient 00 zz)z(f)z(f admet une limite finie quand z tend vers z 0

L'existence d'une dérivée est une condition de régularité très forte imposée à la fonction.

Une fonction dérivable en tout point d'un ouvert connexe est dite analytique (ou holomorphe ou régulière). Une fonction dérivable dans tout domaine borné est dite fonction entière.

III 4 Conditions de Cauchy-Riemann

* Si f est dérivable alors les dérivées partielles de X et Y existent et satisfont aux relations de Cauchy :

yY xX 88"88
et xY yX

88)"88

* Si X et Y admettent des dérivées partielles continues satisfaisant les conditions de Cauchy alors la fonction f est

dérivable. dém : idydxdy yYdxxYidyyXdxxX idydxidYdX dzdZ !9 9

88!88!99

88!88
!!"idydxdy yYiyXdxxYixX 9 9

88!88!9:;<=>

88!88
dxdyi1dxdyiyY yXixYixX dz dZ !9 9

88!88)!9:;<=>

88!88
dxidy dz

.Pour que cette expression ne dépende pas de la manière dont dz tend vers 0, il faut et il suffit qu'elle ne dépende pas de

dxdy qui caractérise la direction de dz. Il faut et il suffit que dxdyi1! se mette en facteur au numérateur. D'où : yY yXixYixX

88!88)"88!88

et yX xY et yY xX

88)"88

88"88

Exemples :

* Z = z 3 = (x + iy) 3 , X = x 3 - 3xy 2 , Y =3x 2 y-y 3 Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Variable complexe yXxy6xY et yYy3x3xX 22

88)""88

88")"88

Les dérivées partielles de X et Y sont continues et vérifient les conditions de Cauchy donc z

3 est dérivable. zZ", xX", yY)". yX0xY et -1=yY 1xX

88)""88

88"88
Une des conditions de Cauchy n'est pas vérifiée donc la fonction n'est pas dérivable .

Géométriquement :

- pour un déplacement parallèle à l'axe des x .1xX zZ"??"?? - pour un déplacement parallèle à l'axe des y .1yY zZ)"??"?? zz0 z z0 z zz0?z z z0?@

III 5 Expression de la dérivée

yXiyY xYixX)z('f88)88"88!88"

Exemple :

* Z = z 3 xy6xY et y3x3xX 22
"88)"88 d'où .z3)ixy2yx(3)z('f 222

III 6 Propriété remarquable

Une fonction holomorphe est indéfiniment dérivable.

III 7 Expression d'une fonction dérivable

Si la fonction Z = X(x, y) + iY(x, y) est analytique dans un ouvert O, on peut l'y exprimer au moyen de la seule variable

z = x + iy . dém : Z peut être considéré comme une fonction R(y, z) puisque x = z - iy. 99
88!88

88!88!88

88"88
yY yx xYiyX yx xX yR iyx)"88 d'où 0xY yX xX yYiyR"99

88!88!99

88)88"88 d'après les conditions de Cauchy.

R est donc indépendant de y et ne dépend donc que de z.

Exemples :

.ysinishxycoschxZ!" ycosshxxX"88, ycosshxyY"88, ysinchxyX)"88, ysinchxxY"88.

Ces dérivées partielles sont continues et vérifient les conditions de Cauchy donc Z est dérivable et Z peut s'exprimer à l'aide

de z seul. )y,x(iY)y,x(X)iyx(f)z(f!"!" d'où )0,x(iY)0,x(X)x(f!".

En remplaçant x par z :

)0,z(iY)0,z(X)z(f!". d'où l'expression de Z en fonction de z : "!"0sinishz0coschzZchz. On peut aussi partir de la définition et essayer de regrouper : * zZ" ne peut s'exprimer en fonction de z seul et n'est donc pas dérivable. Université du Maine - Faculté des Sciences ! Retour Variable complexe

III 8 Règle de l'Hospital

Soit f et g deux fonctions analytiques dans un ouvert connexe contenant z 0 et telles que 0)z(g)z(f 00 "" avec gz'( ) . 0 07 alors : )z('g)z('f )z(g)z(flim 00 zz0

Exemples :

1z1z )z(g)z(f 610
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