Correction du baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 10 juin 2011
Jun 10 2011 Correction du baccalauréat S (obligatoire). Polynésie. 10 juin 2011. Exercice 1. 5 points. Commun à tous les candidats.
Corrigé du baccalauréat S Polynésie 10 juin 2011
Jun 10 2011 Son écriture complexe est : z? ? zA = i(z ?zA) ?? z? ?2+5i = i(z ?2+5i). L'image B? du point B dans cette rotation a donc pour.
Baccalauréat S Polynésie 10 juin 2011
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Baccalauréat S Polynésie 10 juin 2011
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Correction du baccalauréat S (obligatoire). Polynésie. 10 juin 2011. Exercice .. 9×10k +3 = 99.93 et donc un = k=n. ? k=1
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L"intégrale d"avril 2010 à mars 2011
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bleusPondichéry - 21 avril 2010
Amérique du Nord - 3 juin 2010
Liban - 3 juin 2010
Antilles-Guyane- 18 juin 2010
Asie - 21 juin 2010
Centres étrangers - juin 2010
La Réunion - 22 juin 2010
Métropole - 23 juin 2010
Polynésie - 10 juin 2010
Antilles-Guyane- septembre 2010
....................................44La Réunion - septembre2010
Métropole - septembre 2010
Polynésie obligatoire - septembre 2010
...............................57Amérique du Sud - novembre 2010
...................................61Nouvelle-Calédonie - novembre 2010
................................65Nouvelle-Calédonie - mars 2011
......................................69 Baccalauréat S : l"intégrale 2010A. P. M. E. P. 2A. P. M. E. P.
Durée : 4 heures
?Baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010?EXERCICE16 points
Commun à tous lescandidats
PartieA - Restitution organiséede connaissances: Soitaetbdeux réels tels queaPartieB
Soitnun entier naturel non nul. On appellefnla fonction définie sur [0 ;+∞[ par f n(x)=ln?1+xn? et on poseIn=? 1 0 ln?1+xn?dx. On noteCnla courbe représentative defndans un repère orthonormal?O ;-→ı,-→??
1. a.Déterminer la limite def1en+∞.
b.Étudier les variations def1sur [0 ;+∞[.c.À l"aide d"une intégration par parties, calculerI1et interpréter graphiquement le résultat.
(Pour le calcul deI1on pourra utiliser le résultat suivant : pour toutx?[0 ; 1],x x+1=1-1x+1?2. a.Montrer que pour tout entier naturel non nuln, on a : 0?In?ln2.
b.Étudier les variations de la suite(In) c.En déduire que la suite(In)est convergente.3.Soitgla fonction définie sur [0 ;+∞[ par
g(x)=ln(1+x)-x. a.Étudier le sens de variation degsur [0 ;+∞[. b.En déduire le signe degsur [0 ;+∞[. Montrer alors que pour tout entier naturelnnon nul, et pour toutxréel positif, on a ln?1+xn??xn. c.En déduire la limite de la suite(In).EXERCICE25 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialitéL"espace est muni d"un repère orthonormal?
O ;-→ı,-→?,-→k?
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration
de la réponse choisie. Dans le cas d"une proposition fausse,la démonstration pourra consister à fournir
un contre-exemple. Baccalauréat S : l"intégrale 2010A. P. M. E. P.1.La droite de représentation paramétrique???x=t+2
y= -2t z=3t-1,t?Rest parallèle au plan dont uneéquation cartésienne est :x+2y+z-3=0.
2.Les plansP,P?,P??d"équations respectivesx-2y+3z=3, 2x+3y-2z=6 et 4x-y+4z=12 n"ont
pas de point commun.3.Les droites de représentations paramétriques respectives???x=2-3t
y=1+t z= -3+2t,t?Ret???x=7+2u y=2+2u z= -6-u,u?Rsont sécantes.4.On considère les points :A, de coordonnées (-1 ; 0 ; 2), B, de coordonnées (1 ; 4 ; 0) et C, de coordonnées (3 ;-4 ;-2).
Le plan (ABC) a pour équationx+z=1.
5.On considère les points :A, de coordonnées (-1 ; 1 ; 3), B, de coordonnées (2 ; 1 ; 0) et C, de coordonnées (4 ;-1 ; 5).
On peut écrire C comme barycentre des points A et B.EXERCICE25 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialitéLes partiesAetBpeuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépendante.
PartieA
Dans cette partie, on se propose d"étudier des couples (a,b) d"entiers strictement positifs, tels que :
a 2=b3. Soit (a,b) un tel couple etd=PGCD(a,b). On noteuetvles entiers tels quea=duetb=dv.1.Montrer queu2=dv3.
2.En déduire quevdiviseu, puis quev=1.
3.Soit (a,b) un couple d"entiers strictement positifs.
Démontrer que l"on aa2=b3si etseulement siaetbsont respectivement le cubeet le carréd"un même entier.4.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative même non fruc-
tueuse. sera prise en compte dans l"évaluation. Montrer que sinest le carré d"un nombre entier naturel et le cube d"un autre entier, alors n≡0 [7] oun≡1 [7].PartieB
Dans l"espace muni d"un repère orthonormal
O ;-→ı,-→?,-→k?
, on considère la surfaceSd"équation x2×y2=z3.
Pour tout réelλ, on noteCλla section deSpar le plan d"équationz=λ.1.Les graphiques suivants donnent l"allure deCλtracée dans le plan d"équationz=λ, selon le
signe deλ.Attribuer à chaque graphique l"un des trois cas suivants :λ<0,λ=0,λ>0, et justifier l"allure
de chaque courbe.Pondichéry421 avril 2010
Baccalauréat S : l"intégrale 2010A. P. M. E. P. graphique 1 (pas de courbe visible) graphique 2 graphique 3 Cλ2. a.Déterminer le nombre de points deC25dont les coordonnées sont des nombres entiers stric-
tement positifs. b.Pour cette question, on pourra éventuellement s"aider de laquestion3de la partieA. Déterminer le nombre de points deC2010dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifsEXERCICE35 points
Commun à tous lescandidats
Une urnecontient 10 boules blanches etnboules rouges,nétantun entier naturel supérieur ouégalà2.
On fait tirer à un joueur des boules de l"urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité
d"être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd
3 euros.
On désigne parXla variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Les trois questions de l"exercice sont indépendantes.1.Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l"urne.
a.Démontrer que :P(X=-1)=20n (n+10)(n+9). b.Calculer, en fonction denla probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variableX. c.Vérifier que l"espérance mathématique de la variable aléatoireXvaut :E(X)=-6n2-14n+360
(n+10)(n+9). d.Déterminer les valeurs denpour lesquelles l"espérance mathématique est strictementposi- tive.2.Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l"urne. Les tirages sont indé-
pendants. Déterminer la valeur minimale de l"entiernafin que la probabilité d"obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieure à 0,999.3.On suppose quen=1000. L"urne contient donc 10 boules blanches et 1000 boulesrouges.
Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide d"effectuer plusieurs
tirages sans remise jusqu"à obtenir une boule blanche. Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l"on peut modéliser lenombredetiragesnécessairespour obtenir unebouleblancheparunevariable aléatoireZsuivant la loi : pour toutk?N,p(Z?k)=? k 00,01e-0,01xdx.
On répondra donc aux questions suivantes à l"aide de ce modèle. a.Calculer la probabilité que le joueur ait besoin detirer au plus 50 boules pour avoir une boule blanche, soitP(Z?50).pour tirer une boule blanche» sachant l"évènement "le joueur a tiré plus de 50 boules pour
tirer une boule blanche».Pondichéry521 avril 2010
Baccalauréat S : l"intégrale 2010A. P. M. E. P.EXERCICE44 points
Commun à tous lescandidats
On considère la suite
(un)n?Ndéfinie par : u0=1 et pour toutn?N,un+1=1
3un+n-2.
1.Calculeru1,u2etu3.
2. a.Démontrer que pour tout entier natureln?4,un?0.
b.En déduire que pour tout entier natureln?5,un?n-3. c.En déduire la limite de la suite(un)n?N.3.On définit la suite(vn)n?Npar : pour toutn?N,vn=-2un+3n-21
2. a.Démontrer que la suite(vn)n?Nest une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. b.En déduire que : pour toutn?N,un=25 4? 13? n +32n-214.c.Soit la sommeSndéfinie pour tout entier naturelnpar :Sn=n? k=0u k.
Déterminer l"expression deSnen fonction den.
Pondichéry621 avril 2010
A. P. M. E. P.
Durée : 4 heures
?Baccalauréat S Amérique du Nord 3 juin 2010?EXERCICE14 points
Commun à tous lescandidats
L"espace est rapporté à un repère orthonormal?O ;-→ı,-→?,-→k?
Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :A(1 ;-2 ; 4) B(-2 ;-6 ; 5) C(-4 ; 0 ;-3).
1. a.Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b.Démontrer que le vecteur-→n(1 ;-1 ;-1) est un vecteur normal au plan (ABC). c.Déterminer une équation du plan (ABC).2. a.Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogo-
nale au plan (ABC). b.Déterminer les coordonnées du point O?projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).3.On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur La droite(BC).
Soittle réel tel que--→BH=t--→BC.
a.Démontrer quet=--→BO·--→BC ?--→BC???2. b.En déduire le réeltet les coordonnées du point H.EXERCICE23 points
Commun à tous lescandidats
Une urne contient des boules indiscernables au toucher.20% des boules portent le numéro 1 et sont rouges.
Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10% sont rougeset les autres sont vertes.1.On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu"elle soit rouge?
2.On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge.Montrer que la probabilité qu"elle porte le numéro 2 est égale à2
7.3.Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2.
On effectuentirages successifs d"une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l"urne). a.Exprimer en fonction denla probabilité d"obtenir au moins une boule rouge portant lenu- méro 1 au cours desntirages.b.Déterminer l"entiernà partir duquel la probabilité d"obtenir au moins une boule rouge por-
tant le numéro 1 au cours desntirages est supérieure ou égale à 0,99.EXERCICE35 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct?O ;-→u,-→v?
d"unité graphique 2 cm. On réalisera une figure que l"on complétera tout au long de l"exercice. On considère les points A d"affixe i, B d"affixe-2i et D d"affixe 1. On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéraldirect. Soitfl"application qui à tout pointMd"affixez(z?=i) associe le pointM?d"affixez?définie par : z ?=2z-i iz+1. Baccalauréat S : l"intégrale 2010A. P. M. E. P.1.Démontrer que le point E a pour affixe?
12+? 3 2? (1+i).2.Exprimer sous forme algébrique l"affixe du point D?associé au point D par l"applicationf.
3. a.Démontrer que, pour tout nombre complexezdifférent de i,?z?+2i?(z-i)=1.
b.En déduire que pour tout pointMd"affixez(z?=i) :BM?×AM=1
et?-→u,---→BM?? =-?-→u,--→AM? +k×2πoùkest un entier relatif.4. a.Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) decentre A et de rayon?
2.b.En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E?associé au point E par l"appli-
cationf. On laissera apparents les traits de construction.5.Quelle est la nature du triangle BD?E??
EXERCICE35 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialitéPartieA
On cherche l"ensemble des couples d"entiers relatifs (x,y) solutions de l"équation (E): 16x-3y=4.1.Vérifier que le couple (1, 4) est une solution particulière de(E).
2.Déterminer l"ensemble des couples d"entiers relatifs solutions de l"équation (E).
PartieB
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO ;-→u,-→v?
On considère la transformationfdu plan, qui à tout pointMd" affixez, associe le pointM?d"affixez?
définie par z2e3iπ8z.
On définit une suite de points
(Mn)de la manière suivante : le pointM0a pour affixez0=i et pour tout entier natureln,Mn+1=f(Mn).On noteznl"affixe du pointMn
Les pointsM0,M1,M2etM3sont placés sur la figure donnée en annexe page 6.1.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de latransformationf.
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