[PDF] Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016

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A. P. M. E. P.

?Corrigé dubaccalauréat S Amériquedu Sud 22 novembre 2016?

EXERCICE1 Communà tousles candidats 5 points

Les courbesCfetCgdonnées en annexe 1 sont les représentations graphiques, dans un repère or-

thonormé?

O ;-→ı,-→??

, de deux fonctionsfetgdéfinies sur[0 ;+∞[. On considère les points A(0,5; 1) et B(0 ;-1) dans le repère?

O ;-→ı,-→??

On sait que O appartient àCfet que la droite (OA) est tangente àCfau point O.

1.On suppose que la fonctionfs"écrit sous la formef(x)=(ax+b)e-x2oùaetbsont des réels.

On sait que le point O appartient àCfdoncf(0)=0 ce qui équivaut à (0+b)e0=0 ou encore b=0.

Doncf(x) s"écritf(x)=axe-x2.

La droite (OA) est tangente à la courbeCfen O, et elle a pour coefficient directeur 2, donc f ?(0)=2. f ?(0)=2??(a-0)e0=2??a=2; doncf(x)=2xe-x2. Désormais,on considèrequef(x)=2xe-x2pour toutxappartenantàcd0 ;+∞[

2. a.On admettra que, pour tout réelxstrictement positif,f(x)=2

x×x2ex2. lim x→+∞x2=+∞ on poseX=x2 lim

X→+∞X

eX=0??????? =?limx→+∞x 2 ex2=0 lim x→+∞2 =?limx→+∞2 x×x2ex2=0??limx→+∞f(x)=0 b.La fonctionfest dérivable sur[0 ;+∞[et on a déjà vu quef(x)=(a-2ax2)e-x2= (2-4x2)e-x2puisquea=2. Pourtoutx, e-x2>0doncf?(x)estdusignede2-4x2c"est-à-direde4? 2 2+x?? 2 2-x? Sur[0 ;+∞[, la dérivée s"annule et change de signe pourx=? 2 2;f? 2 2? =?2e-12≈ 0,86. On dresse le tableau de variations de la fonctionfsur[0 ;+∞[:

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

x0?2

2+∞

4? ?2

2+x?+++0+++

?2

2-x+++0---

f?(x)+++0--- ?2e-12 f(x) 00

3.La fonctiongdont la courbe représentativeCgpasse par le point B(0 ;-1) est une primitive de

la fonctionfsur[0 ;+∞[.

a.On sait que la dérivée dex?-→eu(x)estx?-→u?(x)eu(x), donc une primitive dex?-→

u ?(x)eu(x)estx?-→eu(x). Donc la fonctionx?-→ -2xe-x2a pour primitive la fonctionx?-→e-x2donc une primi- tive de la fonctionfestgdéfinie parg(x)=-e-x2+koùk?R. C gcontient le point B(0 ;-1), doncg(0)=-1, ce qui équivaut à-e0+k=-1 donck=0. La primitive defdont la courbe représentative passe par le point B est donc lafonctiong définie sur[0 ;+∞[parg(x)=-e-x2. b.Soitmun réel strictement positif. I m=? m 0 f(t)dt=g(m)-g(0)=-e-m2-(-1)=1-e-m2 c.On cherche limm→+∞Im: lim m→+∞-m2=-∞ on poseM=-m2 lim

M→-∞X

eM=0???????

4. a.La fonctionfest • continue surI

• positive surI • telle que lim m→+∞? m 0 f(t)dt=1 donc la fonctionfest une fonction de densité de probabilité sur[0 ;+∞[. b.SoitXune variable aléatoire continue qui admet la fonctionfcomme densité de proba- bilité.

Pour toutxdeI,P(X?x)=?

x 0 f(t)dt=g(x)-g(0).

Org(0)=-e0=-1, doncP(X?x)=g(x)+1.

c.Soitαle réel tel queP(X?α)=0,5. ?? -e-α2=-0,5?? -α2=ln0,5 ?? -α2=-ln2??α2=ln2 ln2 carα>0 d.On construit le point de coordonnées (α; 0) et on hachure la région du plan correspon- dant à

P(X?α) :

Amérique du Sud222 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

O?ı?

Cf Cg -0,5(α,g(α))(α,0)? ?A B

EXERCICE2 Communà tousles candidats 3 points

On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct

O ;-→u,-→v?

Proposition1

L"ensemble des points du plan d"affixeztels que|z-4| =|z+2i|est une droite qui passe par le point

A d"affixe 3i.

Propositionvraie

• Soit B le point d"affixeb=4 et C le point d"affixec= -2i; on appelle M le point d"affixez. |z-4| =|z+2i| ?? |z-b|=|z-c| ??MB=MC

Donc l"ensemble des points M d"affixeztels que|z-

4|=|z+2i|est la médiatriceΔdu segment[BC].

• On appelleal"affixe du point A.

AB=|b-a|=|4-3i|=?

16+9=5

AC=|c-a|=|-2i-3i|=|-5i|=5

Donc le point A est à égale distance de B et de C; il appartient donc à la droiteΔ, médiatrice de[BC]. L"ensemble des points M du plan d"affixeztels que|z-4| = droite passe par le point A d"affixe 3i.

O-→u-→

v BB CC? AA A

Proposition2

Soit (E) l"équation (z-1)?z2-8z+25?=0 oùzappartient à l"ensembleCdes nombres complexes.

Les points du plan dont les affixes sont les solutions dansCde l"équation (E) sont les sommets d"un

triangle rectangle.

Propositionvraie

Amérique du Sud322 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

• L"équationz-1=0 a pour solution le nombrea=1 affixe d"un point appelé A. • On résout dansCl"équationz2-8z+25=0;Δ=64-

100= -36 donc cette équation admet deux solutions

complexes conjuguéesb=8+6i

2=4+3i etc=4-3i.

Ces deux nombres complexesbetcsont les affixes de

deux points qu"on appelle B et C. • L"équation (E)adonctroissolutions quisontlesaffixes des trois points A, B et C. • AB

2=|b-a|2=|4+3i-1|2=|3+3i|2=9+9=18

AC

2=|c-a|2=|4-3i-1|2=|3-3i|2=9+9=18

BC

2=|c-b|2=|4-3i-4-3i|2=|-6i|2=36

• 18+18=36 doncAB2+AC2=BC2donc,d"aprèslaréci- proque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

O-→u-→

v ?AA? BB CC

Donc les points du plan dont les affixes sont les solutions dansCde l"équation (E) sont les sommets

d"un triangle rectangle.

Proposition3

3est un argument du nombre complexe?-?3+i?8.

Propositionfausse

Soitzle nombre complexe-?

3+i; on chercheθun argument dez.

|z|=?? 3?

2+1=?4=2

On cherche doncθtel que cosθ=-?

3

2et sinθ=12; un argument dezest doncθ=5π6.

D"après le cours, un argument dez8est 8θ=40π

6≡2π3(mod 2π).

Les nombres

3et2π3ne sont pas congrus modulo 2πdonc la proposition est fausse.

EXERCICE3 Communà tousles candidats 3 points

La suite

(un)est définie paru0=0 et, pour tout entier natureln,un+1=1 2-un.

1. a.On calcule les premiers termes de la suite (un) :

n012345 un01 2 2 3 3 4 4 5 5 6

On peut conjecturer que, pour toutn,un=nn+1.

SoitPnla propriétéun=n

n+1. •InitialisationPour n=0,un=u0=0 etn n+1=01=0.

Donc la propriété est vraie au rang 0.

Amérique du Sud422 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

•HéréditéSoitnun entier naturel quelconque. On suppose que la propriété est vraie au rangn, c"est-à-dire queun=n n+1(hypo- thèse de récurrence). On va démontrer que la propriété est vraie au rangn+1, c"est à direun+1=n+1 n+2. u n+1=1

2-un=12-nn+1=

1

2(n+1)-n

n+1= 1

2n+2-n

n+1= 1 n+2 n+1= n+1 n+2

La propriété est donc vraie au rangn+1.

On a donc démontré que, pour tout entier natureln,Pn=?Pn+1.

•ConclusionOn a vérifié que la propriété était vraie au rang 0.On a démontré que la propriété était héréditaire pour toutn.

Donc, d"après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour toutn. On a donc démontré que, pour tout entier natureln,un=n n+1. b.Pour toutn,un=n n+1=n+1-1n+1=1-1n+1.

D"après le cours : lim

n→+∞1 n+1=0 donc : limn→+∞1-1n+1=1. On peut donc en déduire que la limite?de la suite (un) est égale à 1.

2.On complète l"algorithme pour qu"il affiche le plus petit entierntel que|un+1-un|?10-3:

Variables:n,aetbsont des nombres.

Initialisation:nprend la valeur 0

aprend la valeur 0 bprend la valeur 0,5

Traitement:Tant que|b-a|>10-3

nprend la valeurn+1 aprend la valeurb bprend la valeur1

2-bFin Tant que

Sortie:Affichern

Explications

Pourndonné,ajoue le rôle deunetbcelui deun+1. Si l"objectif|un+1-un|?10-3n"est pas atteint, on passe au rangn+1 : on remplaceunpar u n+1, c"est-à-direaparb, et on remplaceun+1parun+2, c"est-à-direbpar1 2-b.

Amérique du Sud522 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE4 Communà tousles candidats 4 points

PartieA : Un calculde volume sansrepère

On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces la- tée ci-contre.

Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm.

On note O le centre du carré ABCD.

On admettra que OS = OA.

A BCODS

1.On sait que O est le centre du carré ABCD donc OA=OC.

On sait que la pyramide SABCD est équilatère à base carrée donc SA=SC.

On se place dans le triangle SAC.

SA=SC donc le triangle SAC est isocèle.

OA=OC donc O est le milieu de[AC]et donc (SO) est la médiane issue de S du triangle SAC. Comme le triangle SAC est isocèle de sommet principal S, la médiane issue de S est aussi une médiatrice; on en déduit que (SO) est perpendiculaire à (AC). En se plaçant dans le triangle (SBD), on démontre de même que (SO) est perpendiculaire à (BD). La droite (SO) est perpendiculaire à deux droites sécantes (AC) et (BD) du plan (ABC) donc la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).

2.Le volume d"une pyramide est donné par la formuleV=aire de la base×hauteur

3. • La base de la pyramide est le carré ABCD dont les diagonales mesurent 24 cm. Dans le triangle ABC isocèle rectangle en B on a, d"après le théorème de Pythagore, AB2+ BC

2=AC2ce qui équivaut à 2AB2=242ou AB2=288.

L"aire du carré ABCD est AB

2=288 cm2.

• D"après le texte, SO=OA donc SO=24 2=12.

Le volume de la pyramide est doncV=288×12

3=1152 cm3.

PartieB : Dans unrepère

On considère le repère orthonormé

O ;--→OA,--→OB,--→OS?

On peut donc dire que les points O, A, B et S ont pour coordonnées respectives (0 ; 0 ; 0), (1 ; 0 ; 0),

(0 ; 1 ; 0) et (0 ; 0 ; 1). Comme O est le milieu de[AC]et de[BD], on peut dire que les points C et D ont pour coordonnées respectives (-1 ; 0 ; 0) et (0 ;-1 ; 0).

1.On note P et Q les milieux respectifs des segments[AS]et[BS].

Donc P et Q ont pour coordonnées respectives?1

2; 0 ;12?

et?

0 ;12;12?

a.Soit-→nle vecteur de coordonnées (1 ; 1 ;-3).

Amérique du Sud622 novembre2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

• Le vecteur--→PC a pour coordonnées? -32; 0 ;-12? n.--→PC=1×? -3 2? +0+(-3)×? -12? =0 donc-→n?--→PC. • Le vecteur --→QC a pour coordonnées? -1 ;-1

2;-12?

n.--→QC=1×(-1)+1×? -1 2? +(-3)×? -12? =0 donc-→n?--→QC. • Les vecteurs --→PC et--→QC ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

Le vecteur

-→nest orthogonal àdeux vecteurs--→PC et--→QC non colinéaires, donc il est normal

au plan (QPC). b.Leplan(QPC)estl"ensembledespointsMdel"espacetelsquelesvecteurs-→net--→CM soient orthogonaux.

Si M a pour coordonnées (x;y;z), le vecteur--→CM a pour coordonnées (x+1 ;y;z).--→CM?-→n??--→CM?-→n=0??1×(x+1)+1×y-3×z=0??x+y-3z+1=0

Le plan (PQC) a pour équationx+y-3z+1=0.

2.Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).

a.La droite (SH) est orthogonale au plan (PQC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur-→nqui est normal au plan (PQC).

La droite (SH) contient le point S de coordonnées (0 ; 0 ; 1). La droite (SH) a donc pour représentation paramétrique :???x=k y=k z=1-3kaveck?R ?x=k y=k z=1-3k x+y-3z+1=0

On a donck+k-3(1-3k)+1=0??11k=2??k=2

11.

1-3k=1-3×2

11=1-611=511

Les coordonnées de H sont donc?2

11;211;511?

c.SH2=?2 11-0? 2 +?211-0? 2 +?511-1? 2 =4112+4112+36112=44112donc SH=? 44
11=2? 11 11.

3.On admettra que l"aire du quadrilatère PQCD, en unité d"aire, est égale à3?

11 8 La pyramide SPQCD a pour base le quadrilatère PQCD et pour hauteur SH; son volume est donc V ?=SH×aire(PQCD 3=2 11

11×3?

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