[PDF] Nouvelle Calédonie. Novembre 2013. Enseignement spécifique

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NouvelleCalédonie.Novemb re2013.Enseignementspécifiq ue

EXERCICE1(5points)(com mun àtousl escandidats)

Soitflafo nctiondérivable,définiesu rl'intervalle]0;+∞[par f(x)=e x 1 x

1.Étu ded'unefoncti onauxiliaire

a)Soitlafonct iongdérivable,définiesur[0;+∞[par g(x)=x 2 e x -1.

Étudierlesensdevari ationd elafonction g.

b)Démontrerqu'ilexisteununi queréelaappartenantà[0;+∞[telqueg(a)=0.

2.Étu dedelafoncti onf

a)Déterminerleslimitesdelafon ctionfen0eten+∞. b)Onno tef lafo nctiondérivéedefsurl'in tervalle]0;+∞[. Démontrerquepourtoutréels tricteme ntpositifx,f (x)= g(x) x 2

c)Endé duirelesensdevariatio ndela fonctionfetdr essersontableaudev ariation surl'intervalle]0;+∞[.

d)Démontrerquelafonctionfadmetpourmini mumlenombre réelm= 1 a 2 1 a e)Justifierque3,43EXERCICE1:corrigé

1.Étu ded'unefoncti onauxiliaire

a)Lafo nctiongestdéri vablesur[0,+∞[etpo urtoutréelposi tifx g (x)=2xe x +x 2 e x +0=x(x+2)e x

Lafo nctiong

eststri ctementpositivesur]0,+∞[ets' annuleen0.Donc,lafonctiongeststri ctementcroissantesur [0,+∞[. b)lim x→+∞ e x =+∞etl im x→+∞ x 2 =+∞.Enmultipliant,onobtientlim x→+∞ x 2 e x =+∞puislim x→+∞ g(x)=+∞. Lafo nctiongestconti nueetstrictementcroissant esu r[0,+∞[.Onsaitalorsquepourtoutréelkde g(0),lim x→+∞ g(x)

-1,+∞[,l'équationg(x)=kadmetunesoluti onetuneseu ledans[0,+∞[.Enparticulier,puisque0∈[-1,+∞[,il

existeunréelpositi faetun seultelq ueg(a)=0. Lacal culatricefournitg(0,703)=-0,001...<0etg(0,704)=0,002...>0.Doncg(0,703)0,703

c)Soitxunré elpositif.Pui squelafonctiongeststri ctementcroissantesur[0,+∞[,six encoreg(x)<0etsi x>a,alorsg(x)>g(a)ouen coreg(x)>0.

Ainsi,lafonction geststri ctementnégativesur[0,a[,strictementpositivesur]a,+∞[ets' annuleena.

2.Étu dedelafonction f

a)Lim iteen0.lim x→0,x> 0 1 x =+∞etli m x→0,x> 0 e x =1.Enadditionnant,onobtient lim x→0,x> 0 f(x)=+∞.

Limiteen+∞.lim

x→+∞ 1 x =0etli m x→+∞ e x =+∞.Enadditionnant,onobtient lim x→+∞ f(x)=+∞.

b)Lafo nctionfestdériv ablesur]0,+∞[enta ntquesommed efonctions dérivablessur]0,+∞[etpo urtoutréel

strictementpositifx, f (x)=e x 1 x 2 x 2 e x -1 x 2 g(x) x 2

c)Les ignedelafonction gaétéétudiéen1).Onendéduitletableaudevariationdelafonctionfsur]0,+∞[.

x0a+∞ f (x)-0+ f f(a) d)Puisqueg(a)=0,onaa 2 e a -1=0puisa 2 e a =1eten fin,puisquea̸=0,e a 1 a 2

Laf onctionfadmetunminimu mena.Ceminimumest

m=f(a)=e a 1 a 1 a 2 1 a e)Ona0,703Parstri ctedécroissancedelaf onctionx#→ 1 x sur]0,+∞[,ona 1 0,704 2 1 a 2 1 0,703 2 et 1 0,704 1 a 1 0,703

Enad ditionnantmembreàmembre,onobtient

1 0,704 2 1 0,704 1 a 2 1 a 1 0,703 2 1 0,703

Lacal culatricefournit

1 0,704 2 1 0,704 =3,438...etenp art iculier, 1 0,704 2 1 0,704 >3,43.

Onaa uss i

1 0,703 2 1 0,703 =3,445...etenp ar ticulier 1 0,703 2 1 0,703 <3,45.Onamontréque

3,43 http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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