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Acción 1 y acción 2

Acción 3

Acción 4

Թ2 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4

Katherine Machuca

Pérez

Katherine Machuca

Pérez

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2

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No coloreada:

Coloreada:

Nous nous proposons de regarder " en amont

rner les processus de leurs lectures avec des exemples de problèmes et de situations a-didactiques c service et des étudiants en sciences humaines de première année universitaire.

Palabras clave :étaphorisation, Bayes, Arbres.

Métaphoriser, -

Bien sûr, notre description est elle-même métaphorique et essaie de laisser la porte ouverte aux métaphores non verbales. À présent, la métaphorisation, regardée auparavant comme un simple recours rhétorique, est reconnue et appréciée comme un outil cognitif puissant (English, 1997 ; Gibbs, 2008 ; Ortony, 1993 ; Ricoeur, 1975). Notre cognition est de fait fondée sur la métaphorisation (Johnson & Lakoff, 2003). Celle-ci, basée sur notre système sensori-moteur, nous permet de comprendre et même de construire des concepts mathématiques nouveaux et de résoudre des problèmes de manière amicale et efficace (Lakoff & Núñez, 2000 ; Manin, 2007 ; Sfard, 2009 ; Soto-Andrade, 2006, 2014, 2015, 2018 ; Thurston, 1994 ; Thom, 1974,

1994).

préalable de probabilité, et qui ont été invités à voir cela autrement de façon à rendre

la question plus accessible, voient éventuellement la grenouille se scinder en deux parties égales, au lieu de sauter à droite ou à gauche (Soto- encore (parmi des professeurs en formation) voient apparaître un sosie à chaque fois, émergent au moment où la grenouille saute. Ces métaphores leur permettent de calculer alors sans peine les états successifs de la grenouille, et prédire correctement son destin ultime. Ils métaphorisent ainsi une marche aléatoire comme un processus déterministe ent calculable pas à pas, et construisent en passant, la notion de probabilité ! Nous reviendrons sur ce tour de passe-passe métaphorique lors de la discussion des exemples didactiques ci-dessous. plan épistémologique et le plan cognitif, le second vu au-dessus du premier, avec trois re. Un prisme droit de base triangulaire émerge alors, dont les sommets, arêtes et faces, métaphorisent (certains diraient " représentent ») des aspects clés du travail mathématique. Nous trouvons ainsi comme sommets representamen, les artefacts et le référentiel au niveau épistémologique, et la visualisation, la construction et la preuve au niveau cognitif. À sens large) et le plan cognitif plutôt comme un réservoir de processus. Le premier est essentiellement statique et le second plus dynamique. Les genèses sémiotiques, instrumentales et discursives apparaissent alors comme les arêtes verticales dudit prisme, munies de flèches montantes et descendantes. le décodage-interprétation (des signes) et le codage-instanciation, instrumentation iinstrumentalisation outil par ledit sujet) dans le cas de la genèse instrumentale, et le raisonnement déductif porté par le référentiel ainsi que à ce raisonnement dans le référentiel, dans le cas de la genèse discursive. circulations, qui ont lieu dans les trois plans verticaux du prisme. On a ainsi, par exemple, une circulation possible dans le plan sémiotique-discursif, correspondant à un raisonnement mathématique qui tire parti aussi de métaphores ou analogies, ou est même déclenché par celles-ci (Kuzniak et al., 2016b ; Thom, 1974, 1994 ; Thurston, 1994). de vue métaphorique, on peut remarquer de deux plans parallèles horizontaux (avec le plan épistémologique au-dessous du plan cognitif, peut-être pour indiquer son rôle fondationnel), qui porte fortement -cai et tren-tren de la mythologie mapuche. Bien sûr, ce sont là des visions du monde étrangères, transversales même pour utiliser une métaphore empruntant aux théories géométrico-topologiques de Thom (1994) oserions-nous dire, à la pensée des géomètres que dynamique, pour le moment. On aurait aussi pu évoquer les dimensions cognitive et épistémologique comme des processus, la -cognitives comme les arêtes formant une corde, fenêtre (cf. les exemples ci-dessous). Au lieu de circulations ou cheminements, on pourrait peut-être mieux métaphoriser ces processus cognitifs et épistémologiques par des flots, ou des flux, qui se propagent dans le prisme, inondant éventuellement deux plans verticaux à la fois, ou même tous les trois en même temps.

Regardons maintenant de plus près les

Le sommet visualisation

pu être nommé plus généralement métaphorisation, quelconque. La notion de representamen devient dans ce cadre un peu floue, couvrant toute sorte de signes, aussi bien des images géométriques que des symboles algébriques, des graphes, etc. (Kuzniak et al., 2016b) posture épistémologique représentationaliste lourde de sens (cf. Proulx et Maheux, aussi affaire à des processus, comme dans le cas de la marche aléatoire de la grenouille, évoquée plus haut. Le representamen serait alors le processus de fission correspondant, engendré par une " métaphore salomonique » (Soto-Andrade, Diaz- Rojas & Reyes-Santander, 2018). On voit alors mal ce processus de fission comme un codage ou une instanciation de la marche aléatoire ou réciproquement : à comparer avec le diagramme de la figure 0, qui métaphorise spatialement la relation entre métaphores, représentations et analogies (Soto-Andrade, 2014). Dans ce schéma, la métaphore " une marche aléatoire est un processus de fission » flèche se verrait comme un décodage, ou interprétation, du processus de fission,

décodage qui a perdu le pouvoir poïétique de notre métaphore. En effet, celle-ci

permet de construire, en passant, la notion de probabilité : la probabilité de trouver la grenouille à une certaine pierre, après n y trouve après n sauts ! Un autre exemple de métaphorisation, récurrent dans nos cours de théorie des nombres aux étudiants futurs professeurs de mathématiques au secondaire, est celui où la relation de congruence modulo un entier m se voit comme un enroulement hélicoïdal de la droite des entiers au-m cotés. destinée aux mêmes étudiants classique. À savoir euclidiens) entre polynômes et entiers relatifs, on regarde le problème de trouver un entier x qui satisfasse un système de n congruences par rapport à des modules m1, mn x qui " passe » par les n classes de congruence données modulo m1, n. Ici, associer à un entier x sa classe modulo m se voit métaphoriquement comme " x au point m ». Cette métaphorisation fait alors voir la recherche de x comme la mutatis mutandis la formule explicite du théorème chinois des restes, en regardant le yeux linéaires des polynômes. instrumentationr lui, qui devient un outil, en fait un instrument, pour le sujet connaissant. La flèche descendante (nommée instrumentalisation, plus signifiante pour la pensée mathématique que la première dans le plan épistémologique. Métaphoriquement, nous verrions ici plutôt un Ouroboros1-à-dire un processus donc de créer ou construire des instruments au lieu de les choisir dans une boite à compréhension du problème. La question se pose alors : dans quelle mesure une métaphore peut devenir un outil, et puis un instrume ? Peut-on voir la fission de la grenouille, ou son dédoublement, comme une instrumentalisation ? La métaphorisation apparaitrait ainsi comme une instrumentalisation, dans la genèse instrumentale. Réciproquement, un instrument peut-il devenir une métaphore ? précédent, le processus de fission devient de fait un outil efficace pour résoudre la marche aléatoire. La question se pose souvent -ce une bonne métaphore, ou une métaphore idoine ? Notre discussion suggère une réponse instrument fiable ! On entrevoit donc la métaphorisation apparaître comme étant liée aussi bien à la te genèse apparaît aussi comme un processus bidirectionnel, bien que non proprement circulaire, comportant un discours déductif, métaphorisé comme une flèche montant du sommet désigné comme référentiel, et aussi une identification des

définitions et propriétés nécessaires dans le référentiel, suggérées éventuellement par

les autres genèses, métaphorisée comme une flèche descendant depuis le sommet identifié comme " preuve aspects analogiques ou métaphoriques de certains raisonnements discursifs. Nous retrouvons donc aussi de la métaphorisation dans cette genèse (cf. plus bas). et al., 2016b). Nos exemples concernant les métaphorisations montrent néanmoins des cas où souvent plutôt -à-dire un parcours ou un cheminement, nous trouvons une nt quantique ; une situation peut être analogue à la dualité onde-particule en physique quantique. e

étoile irrégulière, à sept pointes, qui peut être tracée de manière analogue à

-on dire des angles intérieurs aigus Après quelque expérimentation, les étudiants conjecturent que la somme de tous les angles intérieurs aux pointes est constante. Dans Hosomizu (2008), ce problème est yoga angulaire » astucieux, qui marche aussi bien dans le cas non régulier. Nous nous sommes intéressés par contre à faciliter chez les étudiants une approche qui tire parti maintes manières. Par exemple : " un polygone est un parcours clos, formé de segments droits » (cf. Varela, 1987). Ils ont alors vu sans calculer que la somme des angles extérieurs ur du polygone (Soto- sans calculer, la valeur de la somme des angles intérieurs du polygone, en le parcourant en avançant et en reculant alternativement, tel un colibri qui par sommet donné, volerait au- correspondant, cette fois- métaphorisation fournit une preuve métaphorique énactive (Gallagher & Lindgren,

2015 ; Soto-Andrade, 2018) dont la formalisation est un exercice intéressant du

fait que la somme -tour (le colibri aussi bien dans le cas de notre étoile à pointes irrégulière. On pourrait argumenter dans ce cas que le vol métaphorique du colibri appartient à la genèse sémiotique, avec le vol (plutôt que le colibri lui- representamen ; mais en même temps ce vol devient un instrument (Rabardel, 2008) qui permet de résoudre le problème (genèse instrumentale), tout en fournissant une preuve (métaphorique et énactive) de la valeur de la somme des angles intérieurs (genèse discursive). Autrement dit, notre colibri vole dans le plan sémiotique- instrumental mais aussi dans le plan sémiotique-discursif, puisque son vol constitue une preuve, formalisable au besoin. On peut y voir une construction métaphorique nstrument, le plan instrumental-discursif est aussi mis à profit. Plus concrètement, on pourrait voir le colibri comme un robot (qui peut être construit et programmé) ou une tortue logo, n aurait donc dans ce cas une circulation complète ; de notre point de vue, un flot qui inonde tout le prisme. Notre point de vue métaphorique énactif nous suggère donc en fait des mouvements ations faciliteraient un apprentissage réel mieux que les parcours didactiques habituels, qui sont 2D ou 1D la plupart du temps. Bien sûr, ce type de circulation totale est plutôt rare en salle de cours, surtout dans les écoles chiliennes obsédées par les épreuves nationales standardisées. Il est à remarquer que ce type de problèmes peut déclencher chez les apprenants des activités qui partent dans des directions fort divergentes. Nos (futurs) professeurs du secondaire notamment, partent très souvent vers le symbolique, en essayant de tout calculer algébriquement, et restent cloisonnés dans ce registre.

Cette métaphore, récemment introduite (

peut-être pas très heureuse, car le terme fibration a un sens très précis en mathématiques (cf. les fibrés vectoriels, ou la fameuse fibration de Hopf). Cette métaphore, qui est tout de même suggestive, semblerait inspirée de travaux de Lvy- " paisseur » : plutt que par un mince filament, il serait mieux dcrit par . Nous vivons dans plusieurs temporalits enchevtres, tant par leur nature (le temps de nos sensations, celui de nos ides, celui de nos rapports sociaux, etc.) que par leurs chelles (de la milliseconde au sicle) tout comme une corde est faite de multiples brins, eux-mmes composs de fines et courtes fibres. (Lévy-

Leblond, 2013, p. 279).

Peut-être tressage serait une meilleure métaphore, ou bien un éclatement, ou un " zoom-in », sous lequel les arêtes verticales du prisme deviennent des cordes Pour montrer encore les convergences et divergences opératio -dessous, de notre point de vue, de deux exemples illustratifs de

Kuzniak et al.

(2016a). Notre première remarque est que dans ce contexte, les arbres jouent juste le cependant de métaphoriser le problème de départ lui-même, donc le representamen ne seraient pas les arbres, mais plutôt les marches aléatoires sur les arbres, un point de vue dynamique au lieu de statique. (Kuzniak et al., 2016a, p. 865) On choisit en lançant un dé, entre les urnes U1 et U2, dont la première U1 contient 1/4 de boules blanches et la seconde U2 en contient 5/6. Si le dé montre

1 ou 2, on choisit U1. Autrement on choisit U2. On tire au hasard une boule de

Les figures 1 et 2 ci-dessous, empruntées à Kuzniak et al. (2016) et où B = Black et W = White, montrent les arbres préconisés par les pr aborder ce genre de problèmes Bayésiens. élémentaire, et les aurait métaphorisées de manière hydraulique ou pédestre (Soto- Andrade et al., 2018), dessinerait plutôt les réseaux des Figures 3 et 4 (où B = Blanc,

N = Noir), plus " amicaux

correspondent à la circulation cognitive : Problème original (à 2 choix successifs) = promenade aléatoire à deux étapes = (métaphore pédestre)

À noter que le graphe pondéré de la Figure 3 correspond à une métaphorisation

hydraulique (où un litre de fl une certaine pratique du " yoga fractionnaire », tandis que celui de la Figure 4 un réseau de chemins), plus " amicale

métaphorisation suggère des jeux et même des chorégraphies à être explorés et

le primaire : un investissement cognitif fort rentable à moyen et long termes. En allant plus loin, dans cet exemple, les élèves, pourraient aussi explorer des manières plus symétriques de visualiser ces problèmes Bayésiens ; voir Figures 5, 6, 7.

Ici, on a indiqué en bleu les probabilités " directes » et en vert les probabilités " à

rebours » (les " probabilités des causes », à la Bayes). Notons que la question

Bayésienne 1 devient fort simple avec la

métaphore pédestre (Figures 4 ou 7) : parmi les 23 piétons sur 36 qui arrivent à bon port, en B, combien sont passés par la porte U1 ? Autrement dit, la question

Bayésienne célèbre et délicate se ramène à demander : parmi tous les pèlerins arrivés

à Rome, combien sont passés par cette porte ? Pour répondre, il suffit de regarder, pas besoin de " formule de Bayes » probabiliste dans un réseau ainsi que son contre-flux Bayésien, qui sont en équilibre, comme dans la Figure 7, ce qui apporte un nouveau point de vue sur ces problèmes et Tâche probabiliste basée sur les arbres (Kuzniak et al., 2016a, p. 867) On a deux portefeuilles, le premier contenant 3 coupures des 10 euros et 5 de 20 euros, le second, 2 coupures de 10 euros et 4 de 20 euros. On choisit un portefeuille au hasard et on en tire une coupure au hasard. Quelle est la nt observé dessine un arbre de possibilités détaillé à trois niveaux (il choisit !), avec 14 bouts en tout, il décompte tout simplement 5 bouts correspondant aux 3+2 coupures à 10 euros et répond " 5/14 Dans notre perspective, " un outil sans support métaphorique est un outil aveugle ». Nous prétendons que la métaphorisation (ne serait- -dessous (Figures 8 et 9), les graphes (qui ne sont plus des arbres) que nos étudiants dessinent en suivant un parcours du type : choix successifs = processus = marche aléatoire = métaphorisation hydraulique ou pédestre.

métaphore, qui telle une hydre cognitive, aurait une tête sémiotique, une tête

instrumentale, une tête discursive, et peut- droit à base triangulaire. mécanique à outil sans support métaphorique est un outil aveugle ». Les arbres sont fort importants en mathématiques, même en recherche de pointe : en physique par exemple, les théoriciens jonglent avec des séries qui ont des arbres pour coefficients. Nous voyons cependant les arbres plutôt comme des scènes de métaphorisations dynamiques (comme les promenades aléatoires), pas comme un simple outil à manier découlent naturellement des métaphores sous-jacentes. Aussi, il ne faudrait pas rester cantonné aux arbre visualisation, ni la plus " amicale » pour les apprenants, comme dans le cas des probabilités conditionnelles. Dans ce cas, les promenades aléatoires sur les réseaux fournissent une alternative métaphorique bien plus commode et efficace pour

résoudre, même de tête, des problèmes Bayésiens, grâce à une métaphorisation

faux positifs » (Soto- Andrade, 2015). À noter que souvent, la métaphorisation h " yoga fractionnaire »,

plutôt rébarbatif pour la plupart des élèves. Néanmoins, ce fait pourrait servir, à

rebours, à motiver s dans des contextes de la vie réelle qui peuvent avoir un sens pour les élèves, contrairement aux calculs gratuits et décontextualisés trop fréquents dans nos salles de cours. " fibration : on représente et on communique par des signes, au sens large ; on évacue cependant interprétation signes, comme des representamen de situations probabilistes. On risque de perdre de vue les processus peut-être par un certain manque de vision systémique dont le développement pourrait suggérer maints jeux coopératifs, et même des chorégraphies possibles que peut suivre une grenouille symétrique », qui sauterait 3 fois à droite ou à gauche sur une rangée de pierres dans une lagune. À noter que la mise en scène la plus efficace est a-

Les exemples que nous avo

nteractions avec son milieu -être jamais les manques de circulation didactique, les circulations didactiquement incomplètes, et il en fournit des exemples

intéressants et quelques pistes de " complétion » ; mais il peut être moins suggestif à

son tour de devenir trop prescriptive (" !

énactiviste (Soto-Andrade, 2018).

%&SHUSHQGLFXODUWR&' $%SDUDOOHOWR&' ,IWZROLQHVDUHSHUSHQGLFXODUWRDWKLUGWKH\

DUHSDUDOOHO

X equidistant from A and BY equidistant from A and B

A point equidistant from two points is

on the perpendicular bissector of the segment between these two pointsA point equidistant from two points is on the perpendicular bissector of the segment between these two points

X is on the perpendicular

bissector of segment [AB]Y is on the perpendicular bissector of segment [AB]X distinct from Y

There is one and only one line that

goes through two points (XY) is a line

If two points are both on a particular line, this

line is the same line as the one passing through both points (XY) is the perpendicular bissector of [AB] X equidistant from A and BY equidistant from A and B

A point equidistant from two points is

on the perpendicular bissector of the segment between these two points (XY) is the perpendicular bissector of [AB] 'DQLHO4XHVLHVWHORGDPRV

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