[PDF] Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud 16 novembre 2011

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Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud?

16 novembre 2011

Exercice 14 points

Commun à tous lescandidats

1. a.Voir à la fin.

b.Il semble que la suite est décroissante et qu"elle converge vers 1.

2. a.Initialisation : u0=4>1. L"inégalité est vraie au rang 0;

Hérédité :Supposons qu"il existe un naturelk?0 tel queuk>1.

Alorsuk+1>2?1

uk+1<12?4uk+1<2?-4uk+1>-2?3-4uk+1>1.

Or 3-4

uk+1=uk+1.

On a donc démontré que siuk>1, alorsuk+1>1.

Conclusion : on a démontré par récurrence que quel que soit lenatureln,un>1.

b.La fonctionfsomme de fonctions dérivables sur ]-1 ;+∞[ est dérivable sur cet intervalle et

f ?(x)=4 (x+1)2>0 car quotient de deux nombres supérieurs à zéro. La fonctionfest donc croissante sur ]-1 ;+∞[. Montrons par récurrence la décroissance de la suite :

Initialisation : u

1=2,2

Hérédité :Supposons qu"il existe un naturelk?0 tel queuk (tous les termes étant supérieurs à 1), on af(uk)c.On a démontré que la suite(un)est décroissante et minorée par 1 : elle est donc convergentevers

un nombre?supérieur ou égal à 1. La fonctionfest continue car dérivable sur ]-1 ;+∞[; la relation de récurrence u n+1=f(un)donne à la limite?=f(?)???=3-4 ?+1???(?+1)=3(?+1)-4

La suite

(un)converge vers 1.

Exercice 24 points

Commun à tous lescandidats

1. a.Recopier et compléter l"arbre de probabilités ci-dessous.

V 2 3S 1 1 6 S15 6 R 1 3S 1 4 6 S12 6

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.D"après la loi des probabilités totales on a :P(S1)=P(V∩S1)+P(R∩S1)=2

3×16+13×46=218+418=618=13.

2. a.Le tirage d"un dé vert a une probabilité de2

3et celui du dé rouge de13.

Dans chaque cas le lancernfois de suite est un schéma de Bernouilli de paramètresnet1 6pour le dé vert et denet4

6pour le dé rouge. La probabilité de tirern6 est donc :

P (Sn)=dé vert 2

3×?16?

n +dé rouge 1

3×?46?

n =23×?16? n +13×?23? n

b.D"après la question précédente la probabilité d"avoir tiréle dé vert puis obtenunfois 6 est égale

2

3×?16?

n et la probabilité d"avoir tirénfois de suite le 6 est égale àP(Sn). On a doncpn=ptirern6(tirer le dé rouge)=tirern6et tirer le dé rouge tirern6= 1

3×?23?

n 2

3×?16?

n +13×?23? n=en multipliant par 3×3n,pn=2n

2×12n+2n=

2 n n+1. c.On apn?0,999??1

2×?14?

n+1?0,999??1?0,999?

2×?1

4? n+1?

1?1,998?1

4? n?ln1998 ln4≈5,4

Conclusion :n0=6.

Exercice 34 points

Commun à tous lescandidats

1.Ob a limx→+∞x2=+∞et limx→+∞1-lnx=-∞, donc par produit de limites : limx→+∞g(x)=-∞.

2.On ag(x)=x2-x2lnx.

On a lim

x→0x2=0 et on sait que limx→0x2lnx=0, donc par somme de limites : limx→0x2=0.

3.gest dérivable sur ]0 ;+∞[ car produit de sommes de fonctions dérivables sur ]0 ;+∞[ et sur cet

intervalle : g ?(x)=2x(1-lnx)+x2×? -1 x? =2x-2xlnx-x=x-2xlnx=x(1-2lnx) qui est du signe de 1-2lnx puisquexest positif.

Or 1-2lnx>0??1>2lnx??1

2>lnx??e1

2>xet de même 1-2lnx<0??x>e12(ou

x>? e).

Lafonctionestdonccroissantesur?

0 ; e1

2? etdécroissantesur? e12;+∞? ,avecunmaximumf? e12? e1 2?2?

1-lne12?

=e×?1-12?=e×12=e2.

Amérique du Sud216 novembre2011

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

4.Sur?

0 ; e12?

,gcroît de 0 àe2, puis de décroît dee2à-∞. La fonctiongétant continue car dérivable s"annule donc en point unique de? e1

2;+∞?

tel que : Conclusion : la fonctiongest positive sur ]0 ; e[ et négative sur ]e ;+∞[. PartieB Représentationgraphiqueet aire sous la courbe

1.Voir l"annexe 2.

2.On ag(1)=12(1-ln1)=1.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbeCau point d"abscisse 1 est le nombre dérivé

f ?(1)=1(1-2ln1)=1. Une équation de la tangenteTà la courbeCau point d"abscisse 1 est donc :

3.On a vu que la fonctiongest positive sur ]0 ; e[, donc sur ]1 ; e[.

tions respectivesx=1 etx=e est donc égale à l"intégrale : A=? e 1 x2(1-lnx)dx.

En posant :

u ?=x2v=1-lnx u=x3

3v?=-1x

Toutes ces fonctions étant continues, on peut intégrer par parties : A=?x3

3(1-lnx)?

e 1-? e 1x

33×?

-1x? dx=?x33(1-lnx)? e 1+? e 1x 23dx=
?x3

3(1-lnx)+x39?

e

1=e33(1-1)-13+e39-19=e39-49=e3-49(u. a.).

Exercice 43 points

Commun à tous lescandidats

(z-1+2i)(z-1-2i)=0 L"équation a donc deux solutions complexes conjuguées : 1+2i et 1-2i.

2. a.Voir la figure ci-dessous.

b. zB-zC zA-zC=1-2i-1-? 3-i

1+2i-1-?3-i-3i-?

3 i-?3= ?-3i-?

3??i+?3??i-?3??i+?3?=3-3i?

3-3-i?3

i2-3=-4i? 3 -4=i?3. c. zB-zC

zA-zC=i?3 (imaginaire pur) : cette égalité montre qu"un argument du quotient est égal àπ2,

soit ?--→CA,--→CB? 2. Conclusion le triangle ABC est rectangle en C. (non isocèle car CB=? 3CA)

Amérique du Sud316 novembre2011

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

de [AB] soit le point d"affixe 1 et de rayon 1

2AB = 2.

Dans la symétrie autour de l"axe

O,-→u?

les points A et B sont symétriques de même que les points C et D puisque leurs affixes sont conjuguées.

Le symétrique du triangle ABC est donc le triangle BAD. La symétrie étant une isométrie, le triangle

BAD est lui aussi rectangle en D donc inscrit dans le même cercleΓcentré au milieu de [AB] et de

rayon 2.

4.C est le point partie réelle positive, intersection du cercle précédentΓet de la droite d"équationy=

1.idem pour D avec la droite d"équationy=-1.

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