[PDF] Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement de spécialité

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Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement de spécialité. Corrigé

EXERCICE 1

Partie A

1)La calculatrice fournitP(410?X?450) =0,954à10-3près.

P(410?X?450) =0,954à10-3près.

2)PosonsZ=Y-69

σ. On sait queZsuit la loi normale centrée réduite c"est-à-dire la loi normale de moyenne0et

d"écart-type1.

Un ballon est conforme à la législation si et seulement siYappartient à l"intervalle[68,70]. Or,

68?Y?70?-1?Y-69?1?-1

σ?Y-69σ?1σ.

L"énoncé dit que97% des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation ou encore

p(68?Y?70) =0,97. p(68?Y?70) =0,97?p? -1

σ?Z?1σ?

=0,97?1σ≈2,17?σ=0,46au centième près.

σ=0,46au centième près.

Partie B

NotonsFla variable aléatoire égale à la fréquence de ballons conformes à la réglementation.

Ici,n=250et on suppose quep=0,98. On note tout d"abord quen?30. Ensuite,np=245et doncnp?5et

n(1-p) =5et doncn(1-p)?5. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de95% de la variable aléatoire

Fest p-1,96? p(1-p)⎷n,p+1,96? p(1-p)⎷n?

0,98-1,96⎷

0,98×0,02⎷250;0,98+1,96⎷

0,98×0,02⎷250?

En arrondissant de manière à élargir un peu, on obtient l"intervalle[0,962;0,998].

La fréquence observée estf=233

250=0,932...Cette fréquence n"appartient pas à l"intervalle de fluctuation. Donc, le

résultat du contrôle remet en question l"affirmation de l"entreprise au risque de se tromper de5%.

Partie C

1)Représentons la situation par un arbre de probabilités.

A B C C C C 0,4 0,6 0,98 0,02 0,95 0,05

2)La probabilité demandée estp(A∩C).

p(A∩C) =p(A)×pA(C) =p(A)×?1-pA?

C??=0,4×(1-0,02) =0,392.

p(A∩C) =0,392. http ://www.maths-france.fr 1c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

3)La probabilité demandée estp(C). D"après la formule des probabilités totales,

p(C) =p(A∩C) +p?

A∩C?=p(A)×pA(C) +p?A?×pA(C)

=0,4×0,98+0,6×0,95=0,962. p(C) =0,962.

4)La probabilité demandée estpC(A).

p

C(A) =p?

C∩A?

p?C?=p(A)×pA? C?

1-p(C)=0,4×0,021-0,962=0,211arrondi à10-3.

p

C(A) =0,211arrondi à10-3.

http ://www.maths-france.fr 2c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

EXERCICE 2

1) réponse b)

2) réponse c)

3) réponse c)

4) réponse c)

Explication 1 :Les coordonnées du vecteur-→ABsont(1,-3,2)et les coordonnées du vecteur-→ACsont(-1,-2,-1).

-→AB.-→AC=1×(-1) + (-3)×(-2) +2×(-1) =3?=0.

Donc, les réponses a) et c) sont fausses.

•AB=?

12+ (-3)2+22=⎷14.

•AC=?

(-1)2+ (-2)2+ (-1)2=⎷6?=⎷14.

Donc la réponse d) est fausse. La bonne réponse est la réponseb). Vérifions-le explicitement.

BC=? (1-3)2+ (3-2)2+ (-2-1)2=⎷4+1+9=⎷14=AB. Donc le triangleABCest isocèle enB.

Explication 2 :Un vecteur normal au planPest le vecteur-→nde coordonnées(2,-1,3). Les droites des propositions

a) et b) sont dirgées respectivement par le vecteur de coordonnées(2,1,3)et par le vecteur de coordonnées(2,5,-1).

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires au vecteur-→n. Donc les réponses a) et b) sont fausses.

Quandt=2dans la représentation paramétrique c), on obtient(2,5,-1)qui sont les coordonnées du pointA. La

bonne réponse est la réponse c). Vérifions explicitement quela réponse d) est fausse. Si le pointAappartient à la droite d), il existe un réelttel que1+2t=2et4-t=5ou encoret=1

2ett= -1ce

qui est impossible. Donc la réponse d) est effectivement fausse.

Explication 3 :On sait que l"ensemble des pointsMdu plan tels que--→MA.--→MB=0est le cercle de diamètre[AB].

La bonne réponse est la réponse c).

Explication 4 :Dans le repère?

A,-→AB,--→AD,-→AE?

, les coordonnées respectives des pointsI,J,MetNsont?1

2,1,1?

1,1 2,1? ,?12,0,12? et?

1,12,12?

Les pointsIetJsont dans le plan d"équationz=1et les pointsMetNsont dans le plan d"équationz=1

2. Ces plans

n"ont pas de point commun et donc les droites(IJ)et(MN)n"ont pas de point commun. Les réponses a) et b) sont

fausses.

Les coordonnées du vecteur-→IJsont?1

2,-12,0?

et les coordonnées du vecteur--→MNsont?12,12,0?

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les droites(IJ)et(MN)ne sont pas parallèles. La réponse d) est fausse.

Donc la bonne réponse est la réponse c). Vérifions-le explicitement. -→IJ.--→MN=1

2×12+?

-12?

×12+0×0=0.

Donc les droites(IJ)et(MN)sont effectivement orthogonales. http ://www.maths-france.fr 3 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

EXERCICE 3Partie A1)Soitnun entier naturel. A l"heuren+1, à la station A, il n"y a plus que20% des vélos présents à l"heuren, soit

0,2a

n, et d"autre part,10% des vélos présents à la station B sont maintenant à la station A, soit0,1bn. Au total,

a n+1=0,2an+0,1bn. De même,bn+1=0,6an+0,3bnet donc U n+1=?an+1 b n+1? =?0,2an+0,1bn 0,6a n+0,3bn? =?0,2 0,10,6 0,3?? an b n? =M×Un, avecM=?0,2 0,10,6 0,3?

2)U1=M×U0=?0,2 0,10,6 0,3??

50
60?
=?0,2×50+0,1×60

0,6×50+0,3×60?

=?1648? U

2=M×U1=?0,2 0,10,6 0,3??

16 48?
=?0,2×16+0,1×48

0,6×16+0,3×48?

=?8 24?

3)U3=M×U2=?0,2 0,10,6 0,3??

8 24?
=?0,2×8+0,1×24

0,6×8+0,3×24?

=?4 12? U

4=M×U3=?0,2 0,10,6 0,3??

4 12? =?0,2×4+0,1×12

0,6×4+0,3×12?

=?26? U

5=M×U4=?0,2 0,10,6 0,3??

2 6? =?0,2×2+0,1×6

0,6×2+0,3×6?

=?13? Au bout de cinq heures, il ne reste plus qu"un vélo dans la station A.

Partie B

1) a)SoitVune matrice colonne à deux lignes.

b)

NV=R?N-1NV=N-1R?V=?1,4 0,21,2 1,6??

30
10? ?V=?42+2

36+16?

?V=?4452?

2) a)Soitnun entier naturel.

W n+1=Vn+1-V= (M×Vn+R) - (M×V+R) =M×(Vn-V) =M×Wn. b)Soitnun entier naturel non nul.W0=V0-V=?5060? -?4452? =?68? puis V n=Wn+V=Mn×W0+V 1

2n-1?0,2 0,10,6 0,3??

6 8? +?4452? =12n-1?26? +?4452?

44+4×?1

2? n

52+12×?1

2? n)))) c)Puisque-1 <1

2< 1, on sait que limn→+∞?

12? n =0. Par suite, limn→+∞αn=44et limn→+∞βn=52.

Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a tendance à se stabiliser : autour de44vélos dans la

station A et52vélos dans la station B. http ://www.maths-france.fr 4 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

EXERCICE 4Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail1) a)La fonctionfest dérivable sur[0,2]et pour tout réelxde[0,2],

f ?(x) =1×e-4x+? x+1 4?

×(-4)×e-4x+0= (1-4x-1)e-4x= -4xe-4x.

Pour tout réelxde[0,2],f?(x) = -4xe-4x.

b)Pour tout réelxde[0,2],e-4x> 0et donc pour tout réelxde[0,2],f?(x)est du signe de-4x. On en déduit le :

Tableau de variations def.

x0 2 f?(x)0- b+14f b+94e-2

2)D"après la question précédente, la hauteur maximale du portail estb+14.

b+1

4=1,5?b=32-14?b=54.

Partie B : détermination d"une aire

1)La fonctionFest dérivable sur[0,2]et pour tout réelxde[0,2],

F ?(x) =? -1 4? e -4x+? -x4-18? (-4)e-4x+54=? -14+x+12?quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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