[PDF] Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique

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Amériquedusud.Novembre 2014. Enseignements pécifique

EXERCICE1(6points)(com mun àtousl escandidats)

Uneentre priseestspécialiséedanslaf abricatio ndeballonsdef oot ball.Cetteentreprisepropos edeuxtaillesdeballons:

-unepetitetaille, -unetaillestandard.

Lestr oispartiessuiva ntessontindépendantes.

PartieA

Unba llondefootballestc onform eàlaréglementations'il respecte,suivants ataille,deuxconditionsà lafois (sursa

masseetsursac irconf érence).

Enpa rticulier,unballondetaillestandarde stcon formeàlaréglementationlorsquesamasse,expriméeengrammes,

appartientàl'intervalle[410;450]etsa circonfér ence,expriméeencentimètres,appart ientàl'intervalle[68;70].

1)Onn oteXlava riablealéatoirequi,àcha queballondetaillestandardchoisiauhasarddansl'entreprise,associe

sama sseengramme s. Onad metqueXsuitlaloi normal ed'espéran ce430etd' écarttype10.

Déterminerunevaleurapprochée à10

-3 prèsdelaproba bil itéP(410!X!450).

2)Onno teYlava riablealéatoirequi,àcha queballondetaillestandardchoisiauhasarddansl'entrepriseassocie

saci rconférenceencentimètres. Onad metqueYsuitlaloi normal ed'espéran ce69etd' écarttypeσ. conformeàlaréglementation .

Onpo urrautiliserlerésu ltatsuivant:lorsqueZestunev ariablea léatoirequisuitlaloinorma lecentréeréduite,

PartieB

L'entreprisea

ffi

alorsréali sésurunéchantill onde250ballonsdetaillesta ndard. Ilestconstatéque233d'entreeuxsontconform esà

laré glementation. Lerés ultatdececontrôleremet-il enquest ion l'a ffi rmationdel' entreprise?Justifierlaréponse. (Onpour rautiliserl'interval ledefluctuation)

PartieC

Ona dmetque2%desballonsdepetitetailleet5%desballonsdetaillestandardnesontpasconformesàla réglementation.Onchoisitunballonauhasarddans l'entre prise.

Onco nsidèrelesévènements:

1)Représentercetteexpériencealé atoireàl'aided'una rbredepro babilité.

2)Calculerlaprobabilitéq ueleb allondefootballsoitdepetitetaillee tsoitconf ormeàla règlementa tion.

3)Montrerquelaprobabilitédel'évè nementCestégale à0,962.

4)Leba llondefootballchoi sin'est pasconformeàlaréglementation.Quelleestl aprobabilitéqueceb allonsoit

depe titetaille?Onarrondi ralerésultatà10 -3 http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés. Amériquedusud.Novembre 2014. Enseignements pécifique

EXERCICE1:corrigé

PartieA

1)Laca lculatricefournitP(410!X!450)=0,954à10

-3 près.

P(410!X!450)=0,954à10

-3 près.

2)PosonsZ=

Y-69 .OnsaitqueZsuitlaloi normal ecentréer éduitec'est-à-direlal oinormaledemo yenne0et d'écart-type1. Unba llonestconformeàl alégislati onsietseulementsiYappartientàl'intervalle[68,70].Or,

68!Y!70⇔-1!Y-69!1⇔-

1 Y-69 1

L'énoncéditque97%desballonsdetaillestandardontunecirconférenceconformeàlaré glem entation ouencore

p(68!Y!70)=0,97. p(68!Y!70)=0,97⇔p 1 !Z! 1 =0,97⇔ 1 ≈2,17⇔σ=0,46auce ntièmeprès.

σ=0,46auce ntièmeprès.

PartieB

NotonsFlava riablealéatoireégaleàlaf réquencedeballonsconfo rmesàlar égl ementat ion.

Ici,n=250eton suppos equep=0,98.Onnotetoutd'abordquen"30.Ensuite,np=245etdo ncnp"5et n(1-p)=5etdo ncn(1-p)"5.Unintervalledefluctuationasymptotiqueauseuilde95%delavariablealéatoire Fest p-1,96 p(1-p) n ,p+1,96 p(1-p) n

0,98-1,96

0,98×0,02

250
;0,98+1,96

0,98×0,02

250
Enar rondissantdemanièreàélargirunpeu,on obtien tl'intervalle[0,962;0,998].

Lafr équenceobservéeestf=

233
250
=0,932...Cettefréquen cen'appartientpasàl'interv alledefluctuation.Donc,le résultatducontrôleremete nquest ionl'a ffi rmationdel'entrepriseaurisquedese tromp erde5%.

PartieC

1)Représentonslasituationparunarbre deprobabil ités.

A B C C C C 0,4 0,6 0,98 0,02 0,95 0,05

2)Lapr obabilitédemandéeestp(A∩C).

p(A∩C)=p(A)×p A (C)=p(A)× 1-p A C =0,4×(1-0,02)=0,392. p(A∩C)=0,392. http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

3)Lapr obabilitédemandéeestp(C).D'aprèslaformuledesprobabilitéstotales,

p(C)=p(A∩C)+p

A∩C

=p(A)×p A (C)+p A ×p A (C) =0,4×0,98+0,6×0,95=0,962. p(C)=0,962.

4)Lapr obabilitédemandéeestp

C (A). p C (A)= p

C∩A

p C p(A)×p A C

1-p(C)

0,4×0,02

1-0,962

=0,211arrondià10 -3 p C (A)=0,211arrondià10 -3 http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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