[PDF] Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement de spécialité

View - Download Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement de spécialité

Previous PDF

Next PDF

Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement de spécialité. Corrigé

EXERCICE 1

Partie A

1)La calculatrice fournitP(410?X?450) =0,954à10-3près.

P(410?X?450) =0,954à10-3près.

2)PosonsZ=Y-69

σ. On sait queZsuit la loi normale centrée réduite c"est-à-dire la loi normale de moyenne0et

d"écart-type1.

Un ballon est conforme à la législation si et seulement siYappartient à l"intervalle[68,70]. Or,

68?Y?70?-1?Y-69?1?-1

σ?Y-69σ?1σ.

L"énoncé dit que97% des ballons de taille standard ont une circonférence conforme à la réglementation ou encore

p(68?Y?70) =0,97. p(68?Y?70) =0,97?p? -1

σ?Z?1σ?

=0,97?1σ≈2,17?σ=0,46au centième près.

σ=0,46au centième près.

Partie B

NotonsFla variable aléatoire égale à la fréquence de ballons conformes à la réglementation.

Ici,n=250et on suppose quep=0,98. On note tout d"abord quen?30. Ensuite,np=245et doncnp?5et

n(1-p) =5et doncn(1-p)?5. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de95% de la variable aléatoire

Fest p-1,96? p(1-p)⎷n,p+1,96? p(1-p)⎷n?

0,98-1,96⎷

0,98×0,02⎷250;0,98+1,96⎷

0,98×0,02⎷250?

En arrondissant de manière à élargir un peu, on obtient l"intervalle[0,962;0,998].

La fréquence observée estf=233

250=0,932...Cette fréquence n"appartient pas à l"intervalle de fluctuation. Donc, le

résultat du contrôle remet en question l"affirmation de l"entreprise au risque de se tromper de5%.

Partie C

1)Représentons la situation par un arbre de probabilités.

A B C C C C 0,4 0,6 0,98 0,02 0,95 0,05

2)La probabilité demandée estp(A∩C).

p(A∩C) =p(A)×pA(C) =p(A)×?1-pA?

C??=0,4×(1-0,02) =0,392.

p(A∩C) =0,392. http ://www.maths-france.fr 1c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

3)La probabilité demandée estp(C). D"après la formule des probabilités totales,

p(C) =p(A∩C) +p?

A∩C?=p(A)×pA(C) +p?A?×pA(C)

=0,4×0,98+0,6×0,95=0,962. p(C) =0,962.

4)La probabilité demandée estpC(A).

p

C(A) =p?

C∩A?

p?C?=p(A)×pA? C?

1-p(C)=0,4×0,021-0,962=0,211arrondi à10-3.

p

C(A) =0,211arrondi à10-3.

http ://www.maths-france.fr 2c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

EXERCICE 2

1) réponse b)

2) réponse c)

3) réponse c)

4) réponse c)

Explication 1 :Les coordonnées du vecteur-→ABsont(1,-3,2)et les coordonnées du vecteur-→ACsont(-1,-2,-1).

-→AB.-→AC=1×(-1) + (-3)×(-2) +2×(-1) =3?=0.

Donc, les réponses a) et c) sont fausses.

•AB=?

12+ (-3)2+22=⎷14.

•AC=?

(-1)2+ (-2)2+ (-1)2=⎷6?=⎷14.

Donc la réponse d) est fausse. La bonne réponse est la réponseb). Vérifions-le explicitement.

BC=? (1-3)2+ (3-2)2+ (-2-1)2=⎷4+1+9=⎷14=AB. Donc le triangleABCest isocèle enB.

Explication 2 :Un vecteur normal au planPest le vecteur-→nde coordonnées(2,-1,3). Les droites des propositions

a) et b) sont dirgées respectivement par le vecteur de coordonnées(2,1,3)et par le vecteur de coordonnées(2,5,-1).

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires au vecteur-→n. Donc les réponses a) et b) sont fausses.

Quandt=2dans la représentation paramétrique c), on obtient(2,5,-1)qui sont les coordonnées du pointA. La

bonne réponse est la réponse c). Vérifions explicitement quela réponse d) est fausse. Si le pointAappartient à la droite d), il existe un réelttel que1+2t=2et4-t=5ou encoret=1

2ett= -1ce

qui est impossible. Donc la réponse d) est effectivement fausse.

Explication 3 :On sait que l"ensemble des pointsMdu plan tels que--→MA.--→MB=0est le cercle de diamètre[AB].

La bonne réponse est la réponse c).

Explication 4 :Dans le repère?

A,-→AB,--→AD,-→AE?

, les coordonnées respectives des pointsI,J,MetNsont?1

2,1,1?

1,1 2,1? ,?12,0,12? et?

1,12,12?

Les pointsIetJsont dans le plan d"équationz=1et les pointsMetNsont dans le plan d"équationz=1

2. Ces plans

n"ont pas de point commun et donc les droites(IJ)et(MN)n"ont pas de point commun. Les réponses a) et b) sont

fausses.

Les coordonnées du vecteur-→IJsont?1

2,-12,0?

et les coordonnées du vecteur--→MNsont?12,12,0?

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les droites(IJ)et(MN)ne sont pas parallèles. La réponse d) est fausse.

Donc la bonne réponse est la réponse c). Vérifions-le explicitement. -→IJ.--→MN=1

2×12+?

-12?

×12+0×0=0.

Donc les droites(IJ)et(MN)sont effectivement orthogonales. http ://www.maths-france.fr 3 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

EXERCICE 3Partie A1)Soitnun entier naturel. A l"heuren+1, à la station A, il n"y a plus que20% des vélos présents à l"heuren, soit

0,2a

n, et d"autre part,10% des vélos présents à la station B sont maintenant à la station A, soit0,1bn. Au total,

a n+1=0,2an+0,1bn. De même,bn+1=0,6an+0,3bnet donc U n+1=?an+1 b n+1? =?0,2an+0,1bn 0,6a n+0,3bn? =?0,2 0,10,6 0,3?? an b n? =M×Un, avecM=?0,2 0,10,6 0,3?

2)U1=M×U0=?0,2 0,10,6 0,3??

50
60?
=?0,2×50+0,1×60

0,6×50+0,3×60?

=?1648? U

2=M×U1=?0,2 0,10,6 0,3??

16 48?
=?0,2×16+0,1×48

0,6×16+0,3×48?

=?8 24?

3)U3=M×U2=?0,2 0,10,6 0,3??

8 24?
=?0,2×8+0,1×24

0,6×8+0,3×24?

=?4 12? U

4=M×U3=?0,2 0,10,6 0,3??

4 12? =?0,2×4+0,1×12

0,6×4+0,3×12?

=?26? U

5=M×U4=?0,2 0,10,6 0,3??

2 6? =?0,2×2+0,1×6

0,6×2+0,3×6?

=?13? Au bout de cinq heures, il ne reste plus qu"un vélo dans la station A.

Partie B

1) a)SoitVune matrice colonne à deux lignes.

b)

NV=R?N-1NV=N-1R?V=?1,4 0,21,2 1,6??

30
10? ?V=?42+2

36+16?

?V=?4452?

2) a)Soitnun entier naturel.

W n+1=Vn+1-V= (M×Vn+R) - (M×V+R) =M×(Vn-V) =M×Wn. b)Soitnun entier naturel non nul.W0=V0-V=?5060? -?4452? =?68? puis V n=Wn+V=Mn×W0+V 1

2n-1?0,2 0,10,6 0,3??

6 8? +?4452? =12n-1?26? +?4452?

44+4×?1

2? n

52+12×?1

2? n)))) c)Puisque-1 <1

2< 1, on sait que limn→+∞?

12? n =0. Par suite, limn→+∞αn=44et limn→+∞βn=52.

Le nombre moyen de vélos présents dans les stations A et B a tendance à se stabiliser : autour de44vélos dans la

station A et52vélos dans la station B. http ://www.maths-france.fr 4 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

EXERCICE 4Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail1) a)La fonctionfest dérivable sur[0,2]et pour tout réelxde[0,2],

f ?(x) =1×e-4x+? x+1 4?

×(-4)×e-4x+0= (1-4x-1)e-4x= -4xe-4x.

Pour tout réelxde[0,2],f?(x) = -4xe-4x.

b)Pour tout réelxde[0,2],e-4x> 0et donc pour tout réelxde[0,2],f?(x)est du signe de-4x. On en déduit le :

Tableau de variations def.

x0 2 f?(x)0- b+14f b+94e-2

2)D"après la question précédente, la hauteur maximale du portail estb+14.

b+1

4=1,5?b=32-14?b=54.

Partie B : détermination d"une aire

1)La fonctionFest dérivable sur[0,2]et pour tout réelxde[0,2],

F ?(x) =? -1 4? e -4x+? -x4-18? (-4)e-4x+54=? -14+x+12? e -4x+54=? x+14? e -4x+54=f(x). Donc la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur[0,2].

2)On fixe se place dans un repère orthonormé d"axe des ordonnéesl"axe du portail, d"axe des abscisses le sol et

d"unités1m. Une unité d"aire est égale à1m2et le haut d"un vantail est le graphe de la fonctionf. La fonctionfest

continue et positive sur[0,2]. L"aire d"un vantail est l"aire en unités d"aire du domaine sous la courbe defdiminuée

de l"aire du vide au bas du vantail à savoir0,05×2=1

10. L"aire demandée est donc

A=? 2 0 f(x)dx-1

10= [F(x)]20-110=??

-24-18? e -8+52? -18? e 0? -110 101

40-58e-8.

L"aire d"un vantail est

101

40-58e-8ou encore2,52m2à10-2près.

Partie C : utilisation d"un algorithme

1)Les débuts gauches de chaque planche sont espacés de0,12+0,05=0,17m. Le début gauche de la planche nok

est donc situé à0,17km du début gauche de la planche no0. On en déduit que la hauteur de la planche nokplanche

est f(0,17k)) -0,05=?

0,17k+1

4? e -4×0,7k+54-120=?

0,17k+14?

e -0,68k+65, puis que l"aire de la planche n okest

0,17k+1

4? e -0,68k+65?

×0,12.

http ://www.maths-france.fr 5 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

2)0;0,17;2×0,17=0,34; ... ;11×0,17=1,87. Pour cette dernière valeur deX, on aX+0,17=2,04et on peut

donc faire arrêter l"algorithme quandX+0,17?2,05ou encore le laisser continuer tant queX+0,17 < 2,05.

L"aire de la planche dont l"abscisse du bord gauche estXest(f(X) -0,05)×0,12=?? X+1 4? e -4X+65?

×0,12.

Algorithme complété.

Variables :Les nombresXetSsont des nombres réelsquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] anatomia umana pdf

[PDF] amerique du sud novembre 2015 es

[PDF] amerique du sud novembre 2015 maths es

[PDF] amf

[PDF] ami montessori

[PDF] amideast tunis inscription 2017

[PDF] amideast tunis prix

[PDF] amideast tunis session 2017

[PDF] amideast tunisie cours anglais

[PDF] aminoacyl arnt

[PDF] ammoniac danger

[PDF] ammoniac et ammoniaque

[PDF] ammoniac sport

[PDF] ammoniac wiki

[PDF] ammoniaque