[PDF] Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique

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Amérique du sud. Novembre 2014. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 : corrigé

Partie A : modélisation de la partie supérieure du portail

1) a)La fonctionfest dérivable sur[0,2]et pour tout réelxde[0,2],

f ?(x) =1×e-4x+? x+1 4?

×(-4)×e-4x+0= (1-4x-1)e-4x= -4xe-4x.

Pour tout réelxde[0,2],f?(x) = -4xe-4x.

b)Pour tout réelxde[0,2],e-4x> 0et donc pour tout réelxde[0,2],f?(x)est du signe de-4x. On en déduit le :

Tableau de variations def.

x0 2 f?(x)0- b+14f b+94e-2

2)D"après la question précédente, la hauteur maximale du portail estb+14.

b+1

4=1,5?b=32-14?b=54.

Partie B : détermination d"une aire

1)La fonctionFest dérivable sur[0,2]et pour tout réelxde[0,2],

F ?(x) =? -1 4? e -4x+? -x4-18? (-4)e-4x+54=? -14+x+12? e -4x+54=? x+14? e -4x+54=f(x). Donc la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur[0,2].

2)On fixe se place dans un repère orthonormé d"axe des ordonnéesl"axe du portail, d"axe des abscisses le sol et

d"unités1m. Une unité d"aire est égale à1m2et le haut d"un vantail est le graphe de la fonctionf. La fonctionfest

continue et positive sur[0,2]. L"aire d"un vantail est l"aire en unités d"aire du domaine sous la courbe defdiminuée

de l"aire du vide au bas du vantail à savoir0,05×2=1

10. L"aire demandée est donc

A=? 2 0 f(x)dx-1

10= [F(x)]20-110=??

-24-18? e -8+52? -18? e 0? -110 101

40-58e-8.

L"aire d"un vantail est

101

40-58e-8ou encore2,52m2à10-2près.

Partie C : utilisation d"un algorithme

1)Les débuts gauches de chaque planche sont espacés de0,12+0,05=0,17m. Le début gauche de la planche nok

est donc situé à0,17km du début gauche de la planche no0. On en déduit que la hauteur de la planche nokplanche

est f(0,17k)) -0,05=?

0,17k+1

4? e -4×0,7k+54-120=?

0,17k+14?

e -0,68k+65, puis que l"aire de la planche n okest

0,17k+1

4? e -0,68k+65?

×0,12.

http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

2)Xprend les valeurs0;0,17;2×0,17=0,34; ... ;11×0,17=1,87. Pour cette dernière valeur deX, on a

X+0,17=2,04et on peut donc faire arrêter l"algorithme quandX+0,17?2,05ou encore le laisser continuer tant

queX+0,17 < 2,05. L"aire de la planche dont l"abscisse du bord gauche estXest(f(X) -0,05)×0,12=?? X+1 4? e -4X+65?

×0,12.

Algorithme complété.

Variables :Les nombresXetSsont des nombres réels

Initialisation :On affecte àSla valeur0

On affecte àXla valeur0

Traitement : Tant queX+0,17 <2,05

Sprend la valeurS+

X+1 4? e -4X+65?

×0,12

Xprend la valeurX+0,17

Fin de Tant que

Sortie :AfficherS

http ://www.maths-france.fr 2c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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