1 S Chapitre30 Equations et inéquations trigonométriques avec des
1ère étape : On résout l'équation dans R. Astuce de départ : 1 cos. 3 2 ?.
Équations trigonométriques exercices avec corrigés
2s - Équations trigonométriques. Matières. Équations trigonométriques simples. Exercice 1. Résolvez les équations suivantes. Donnez les solutions exactes et
Première STI 2D - Equations trigonométriques
L'ensemble des solutions de l'équation cos = cos a est : ;. ; ? ; ? ?. • Si a =0 alors : cos = 1 a pour ensemble de solutions : S =.
Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des
Résolution d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) S l'ensemble des solutions de 1 . ... 1ère famille (points rouges).
Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des
Résolution d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) S l'ensemble des solutions de 1 . ... 1ère famille (points rouges).
TRIGONOMÉTRIE
La droite orientée peut en effet s'enrouler plusieurs fois autour du cercle. Exemples : - Ci-contre les points N et P d'abscisses. 3?. 4 et ?.
Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des
Résolution d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) S l'ensemble des solutions de 1 . ... 1ère famille (points rouges).
Synthèse de trigonométrie
Une équation homogène en sinx et cosx est une équation pouvant s'écrire sous la forme. P(cosxsinx)=0 où P est un polynôme dont les termes sont des produits de
Synthèse de trigonométrie
Une équation homogène en sinx et cosx est une équation pouvant s'écrire sous la forme. P(cosxsinx)=0 où P est un polynôme dont les termes sont des produits de
1 S Exercices sur les équations et inéquations trigonométriques (1)
Faire un cercle trigonométrique pour chaque équation ou inéquation. Classification des exercices. ? Équations. Équations du type cos x a. = : exercices 1 à 3
1ère S
Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des sinus (2)Objectifs du chapitre :
- étudier la résolution d"équations trigonométriques dans R (et non plus dans un intervalle borné comme on l"a
déjà vu)- étudier la résolution d"inéquations trigonométriques nécessitant un changement d"inconnue
Plan du chapitre :
I. Règles fondamentales
II. Exemples de résolutions d"équations trigonométriques III. Équations trigonométriques particulières IV. Résolution d"une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple)V. Inéquations trigonométriques
VI. Utilisation de la calculatrice
VII. Point méthode pour la résolution d"une équation trigonométrique dans R 2 3I. Règles fondamentales
1°) Égalité de deux cosinus
a et b sont deux réels. A B A" B"O b cos cos a b= si et seulement si 2 a b k= + p k¬ ou 2 " a b k= - + p "kJustification :
On note M et N les points images respectifs de a et b sur le cercle trigonométrique. cos cos a b= si et seulement si M et N ont la même abscisse cos cos a b= si et seulement si M et N sont confondus ou symétriques par rapport à l"axe des abscisses b 42°) Égalité de deux sinus
a et b sont deux réels. A B A" B"O b sin sin a b= si et seulement si 2 a b k= + p k¬? ou 2 " a b k= p- + p "kJustification :
On note M et N les points images respectifs de a et b sur le cercle trigonométrique. sin sin a b= si et seulement si M et N ont la même ordonnée sin sin a b= si et seulement si M et N sont confondus ou symétriques par rapport à l"axe des ordonnées -b p 5 II. Exemples de résolutions d"équations trigonométriques1°) Exemple 1
Résoudre dans R l"équation
1 cos 2 x= ()1.Astuce de départ :
12 est le cosinus de
3p (12 est une valeur remarquable du cosinus).
1 cos 2 3 pRéécriture de l"équation :
()1 s"écrit cos cos 3 x p ()1 ? cos cos 3 x p = (" on équilibre l"équation ») ()1 ? 2 3 x k p= + p k¬ ou (on " enlève » les cos avec la règle 1) 2 " 3 x k p = - + p "k¬On écrit une seule équivalence devant un trait ondulé (pas une équivalence devant chaque égalité).
Il y a deux " familles » de solutions.
Soit1S l"ensemble des solutions de
()1. 12 , 2 " , "3 3S k k k k
Remarque :
On peut aussi écrire :
2 " , " 2 , 3 3S k k k k
p pIl n"y a pas d"ordre dans une union.
62°) Exemple 2
Résoudre dans R l"équation
ne pas développer 2 sin 3 2 xpÄ Ô+ =Å ÕAE Ö????? ()2Astuce de départ :
2 sin 2 4 pRéécriture de l"équation :
()2 s"écrit sin sin 3 4 x p pÄ Ô+ =Å ÕAE Ö
()2 sin sin 3 4 x p pÄ Ô+ =Å ÕAE Ö
()2 2 3 4 x k p p+ = + p k¬? ou 2 " 3 4 x k p p+ = p- + p "k¬? ()2 2 4 3 x k p p= - + p k¬? ou 2 " 4 3 x k p p = p- - + p "k¬? ()2 2 12 x k p = - + p k¬? ou 5 2 " 12 x k p = + p "k¬? Soit2S l"ensemble des solutions de
()2 252 , 2 " , "12 12S k k k k
p p 73°) Exemple 3
Résoudre dans R l"équation
cos3 sin x x= ()3Astuce de départ :
sin cos2 x x pÄ ÔÅ ÕAE Ö
(formule de trigonométrie)Réécriture de l"équation :
()3 s"écrit cos3 cos2 x x pÄ ÔÅ ÕAE Ö
()3 ? cos3 cos2 x x pÄ ÔÅ ÕAE Ö
()3 ? 3 2 2 x x k p= - + p k¬? ou 3 2 2 x x k" p = - + + p "k¬? ()3 ? 4 2 2 x k p= + p k¬? ou 2 2 " 2 x k p = - + p "k¬? ()3 ? 2 2 4k xp + p k¬? ou 2 " 2 2k x p- + p= "k¬? ()3 ? 8 2 k x p p= + k¬? ou 4 x k p = - + p "k¬? Soit3S l"ensemble des solutions de
()3. 3 , " , "8 2 4kS k k kp p p 8 A B A" B"O1ère famille (points rouges)
2e famille (points verts)
0 k= 8p 1 k= 58 2 8p p p+ =
2 k= 98 8p p+p =
3 k= 3 138 2 8p p p+ =
" 0k 4p- " 1k 34 4p p- +p =
III. Équations trigonométriques particulières1°) Règles
Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient dans chaque cas une seule famille de solutions. cos 1 x= 2 x k= p k¬? cos 1 x= - 2 x k= p+ p k¬? cos 0 x= 2 x k p= + p k¬? sin 1 x= 2 2 x k p= + p k¬? sin 1 x= - 2 2 x k p = - + p k¬? sin 0 x= x k= p k¬? 0M8pÄ ÔÅ ÕAE Ö
3 13 M 8pÄ ÔÅ ÕAE Ö
2 9 M 8pÄ ÔÅ ÕAE Ö
0 M" 4pÄ Ô-Å ÕAE Ö
1 3 M" 4pÄ ÔÅ ÕAE Ö
1 5 M 8pÄ ÔÅ ÕAE Ö
92°) Justification
Donner 6 cercles trigonométriques.
• Équation cos 1 x=Les solutions ont pour point image A.
O A A" BB"Les solutions sont les nombres 0, 2
p, 4 p, - 2 p, - 4 p ...Il s"agit des nombres de la forme 2
kp avec k¬?. Une autre méthode consiste à appliquer la propriété énoncée au début du cours. cos 1 x= 0 2 x k= + p k¬? ou 0 2 " x k= - + p "k¬? Les deux égalités correspondent en fait à une seule égalité 2 x k= p avec k 10 • Équation cos 1 x= -Les solutions ont pour point image
A" O A A" BB"Les solutions sont les nombres
p, 3 p, - p, - 3 p ...Il s"agit des nombres de la forme
2k p+ p avec k¬?. • Équation cos 0 x=Les solutions ont pour points images B et
B" O A A" BB"Les solutions sont les nombres
2p, 32p,
2p- 32pIl s"agit des réels de la forme
2 k p+ p avec k¬?. On peut aussi dire qu"il s"agit des réels de la forme 2 k p- + p avec k¬?. 11 Une autre méthode consiste à appliquer la propriété énoncée au début du cours. cos 0 x= 2 2 x k p= + p k¬? ou 2 " 2 x k p = - + p "k¬? Les deux égalités correspondent en fait à une seule égalité 2 k p- + p avec k¬?. • Équation sin 1 x=Les solutions ont pour point image B.
O A A" BB"Les solutions sont les nombres
2p, 2 2p+ p 4 2p+ p 2 2p- p 4 2p- pIl s"agit des nombres de la forme
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