[PDF] [PDF] Le Millenium Bridge – Mines-Ponts MP I 2016 - Corrigé

002=++wxwrr.

Son discriminant réduit s"écrit

02wwx-=D"

01wxxw-±-=ir. On peut poser pour des

021wxw-=. La réponse du système est en effet ici pseudo-

Il s"agit d"une solution oscillante amortie plus réaliste avec un amortissement pas trop élevé.

α est remplacé par α - β. L"action globale est donc de diminuer l"amortissement et donc x. Ce paramètre peut alors devenir

négatif ce qui engendre une instabilité : solution avec exponentielle divergente au lieu de sinusoïdale

amortie. Cela pose évidemment un grand problème pratique : le vent peut conduire à des oscillations

amplifiée et à la destruction de la structure. C"est ce qui s"est produit en 1940 pour le pont de Tacoma

les oscillations sont moins rapidement amorties et peuvent conduire à un grand inconfort rendant le pont

3 - Le principe fondamental de la dynamique projeté sur Ox devient

0/mω02,

FYYYpwxw2212

00-=++&&&

FYYiY-=-=++-wwwxww12

0022 .

On peut alors exprimer la fonction de transfert du système telle qu"elle est définie dans l"énoncé :

00221wwxwww++--==iEYH.

4 - On a affaire à un passe-bas qui pourra présenter un phénomène de résonance si la norme de H

présente un maximum. C"est le cas si la norme du dénominateur (ou son carré) est minimale : dérivons

221x-=W. L"existence de cette solution est conditionnée par 21 trop fort. Si cette solution existe, c"est bien un maximum pour la norme de

H car elle est continue et tend

vers 0 à l"infini. Le maximum est alors obtenu pour 2

021xww-=r.

Dans le cas où

ξ2<<1, on constate que 0ww=r au deuxième ordre près en ξ. On obtient alors un maximum pour la norme de

H valant environ ( )xww2112

00=H.

5 - Sur la courbe de la figure 3, on lit un maximum aux alentours de 9 dB (environ 2,8 = 109/20 pour la

norme de

H.ωo2) pour une pulsation légèrement supérieure à 12 rad.s-1. Avec l"hypothèse précédente, on

en déduit ω0 ≈ 12 rad.s-1 (soit une fréquence voisine de 1,9 Hz) et ( )xww2112

00=H qui donne

( )02

0211wwxH= soit numériquement ξ = 0,17 qui correspond bien à un faible amortissement et ξ < 2-1/2.

6 - On a vu dans la question 4 que le déplacement de la structure devenait important au niveau de la

fréquence de résonance (voir l"introduction). Il faut éviter ce phénomène d"autant plus que cela peut aller

jusqu"à la destruction (voir commentaires en 2) et au minimum un inconfort rendant le pont inutilisable.

7 - On peut envisager un accéléromètre fixé au niveau de la hanche pour éviter les rotations et utiliser

ensuite

amFrr=. Un capteur de force par extensométrie fixé au tablier pose le problème de la mesure en

un point que l"on peut résoudre à l"aide d"un tapis roulant (en laboratoire).

8 - La fréquence maximale de tous les spectres est la moitié de la fréquence d"échantillonnage. En

utilisant ( )e minmaxfttN=-, on obtient en effet successivement : 1,68 Hz, 11,5 Hz, 3,37Hz et 33,3 Hz. Or,

le signal proposé est de période 0,5 s environ et donc de fréquence voisine de 2 Hz. Le critère de Nyquist-

Shanon n"est donc pas respecté pour les trois premiers graphes : le premier et le troisième ne restituent

aucune fréquence correctement, le deuxième ne donne que les deux premières harmoniques. Sur ces trois

graphes, on assiste à un repliement de spectre. Par exemple pour le deuxième par exemple, en plus des

fréquences à 2 et 4 Hz, on trouve des pics à environ 1,3 Hz, 3,3 et 5,3 Hz : il s"agit des fréquences 6, 8 et

10 Hz repliées. En effet

fe - 10 donne 1,5, fe - 8, 3,5 et fe - 6, 5,5 Hz ce qui coïncide grossièrement avec les fréquences des pics observés (problème de précision sur les t donnés ?)

Seul le graphe 4 permet d"obtenir un spectre convaincant : fondamentale vers 2 Hz et 6 harmoniques bien

observables.

La fréquence de la marche est de l"ordre de 1 Hz, Les deux pieds jouant un rôle symétrique, la fréquence

de la force est le double.

9 - La fréquence de résonance du pont correspond à la fréquence de la marche ! (quels sont les

ingénieurs qui l"ont conçu ???)

Le système d"amortisseur n"a pas amorti grand chose (-2 dB), mais a par contre dédoublé la résonance en

créant une anti résonance pour la fréquence de la marche (-8 dB cette fois). L"explication vient donc du

couplage des deux oscillateurs, hors programme.

Remarque : l"amortissement a bien été réalisé en majorité par des amortisseurs (viscous dampers) même

s"il y a quelques tuned mass dampers (des masses oscillantes créant un couplage décalant les fréquences

de résonance : voir un problème des mines précédant sur la limitation des oscillations des gratte-ciel).

II - Système élastique continu

10 - [E]=[F][L]/[S][ΔL] = [F]/[S], donc le module d"Young est homogène à une pression (force par

unité de surface). Son unité est donc le Pascal (Pa).

11 - Partie hors programme MP - voir correction sur les sujets PC ou PSI ou sur un cours de ces

sections. 22
22xXE
tX

12 - idem. 22

0 22xX
T ty

13 - idem. On identifie m

0Tc= l.

III - Modèle de la poutre élancée

14 - Il s"agit d"ondes stationnaires : les fonctions de l"espace et du temps sont décorrélées. Les solutions

de ce type correspondent à des systèmes finis avec des conditions aux limites de type grandeur constante

(nulle le plus souvent).

15 -En injectant la solution proposée dans l"équation de l"énoncé, on trouve :

( )( )( ) ( )044 fdIEt dt gdxSfr que l"on manipule pour obtenir : xfx xfd S IE tgt dtgd 44
r

Ces deux fonctions étant de variables

x et t indépendantes, elles doivent être constantes. Posons là égale à

C. En g(t), l"équation est donc :

( ) ( )022=+tg.Ctdt gd.

Si la constante est négative (

C positif), l"équation en g est celle d"un oscillateur harmonique. Les solutions sont alors harmoniques de période 2 π/C1/2. Mais à ce stade, on ne peut affirmer cela. Le fait que la

constante soit négative apparaît dans la question suivante ! De plus, les domaines dans lesquels ont va

trouver

C ne sont pas identifiés, ce sera fait en se référant aux conditions initiales qui sélectionnent les

possibilités de valeurs de C : l"affirmation g(t) est une fonction périodique ne peut pas être justifiée à ce stade... Une combinaison linéaire de solutions obtenue avec des C différents pourrait très bien ne pas être périodique.

L"équation en

f est d"ordre 4, il y a donc quatre constantes d"intégration à déterminer. L"équation en g est

d"ordre 2, il y a donc deux autres constantes d"intégration à déterminer. y s"obtenant comme un produit, on

peut regrouper deux constantes multiplicatives, il y a donc cinq constantes indépendantes à déterminer.

16 -L"équation en f(x) s"écrit ( )( )044=-xfIE

SCt dx fdr, son polynôme caractéristique s"écrit donc

04=-IE

SCrr. Si la constante C est négative, les racines sont 21 41i
IESCr r. Tous ces termes possèdent des parties exponentielles (

±xIESCexp

/41 4 r) ce qui, avec des valeurs aux limites nulles, conduit à la seule solution f = 0. La constante est bien positive !

On peut alors oser C =

ω2 positif. On a alors des racines pour le polynôme caractéristiques 41/

IESCr)

±=r et

41/

IESCir)

±=r. Ceci donne bien des solutions combinaisons linéaires de exp(βx), exp(-

βx), exp(iβx) et exp(-iβx) mais on peut exprimer les solutions dans une autre base, ce qui est fait

dans l"énoncé : cos(

βx) sin(βx), sh(βx) et ch(βx) avec 42

41
IES IESC /rwrb=) =. En effet, exp(βx) est, par exemple, la demi somme de sh(

βx) et ch(βx).

On a donc bien une solution générale de l"équation en f qui s"écrit comme proposé par l"énoncé.

17 - Les deux équations exprimant les conditions aux limites en 0 donnent : ()00=+=CAf

()0022=+-=¢¢bbCAf Comme

β est non nul, A = C = 0

La solution se limite alors à f(x) = B ;sin(

βx) + D.sh(βx)

Les conditions aux limites en L donnent ainsi :

()()()0=+=Lsh.DLsin.BLfbb ()()()022=+-=¢¢Lsh.DLsin.BLfbbbb On ne s"intéresse pas à la solution triviale B = D = 0. Si D doit être nul car sh(

βL) ne l"est pas, sin(βL)

peut être nul et donc B non nul (et indéterminé) : il faut alors que pbnL= avec n entier naturel non nul (les cas négatifs sont évacués dans la constante B en changeant son signe). On aboutie alors à prwbnIESLn n==42 soit SIE

Lnnrpw222=.

18 - On doit avoir aux extrémités une ligne horizontale ce qui est toujours le cas, et donc un noeud aux

extrémités. La dérivée seconde nulle aux extrémités est également vérifiée dans tous les cas.

Par contre, les modes étudiés donnent les solutions : +=Lx

IESsintcosB)t,x(y

n nnn42rwjw Elles ne donnent pas de différence de cote y à z variable (pas de torsion du pont mais une flexion

verticale) : on élimine donc les modes b, d, g et h qui sont plus complexes que ceux étudiés ici.

Les quatre cas restant sont identifiés grâce au nombre de ventres qu"ils développent, il y a

n ventres (i.e. n maxima d"amplitude entre 0 et L : nombre de maxima et minima sur la figure) dans le mode n et donc :

Mode a

Mode b Mode e Mode f

n 1 2 3 4

Notons que c"est seulement à ce moment qu"on peut donner une solution générale par combinaison

linéaire des yn : ( ) ( )∑ 142
n n nbLx

IESsintcosBt,xy

rwjw. Il s"agit d"une série de Fourier qui est bien périodique... On répond positivement à la question 15.

19 - On va discuter de la possibilité d"exciter les différentes parties de la passerelle près de la

résonance. Pour cela, on va calculer les fréquences des modes obtenus dans cette partie.

Rappelons que

SIE Lnfnrpp2222= et I = bh3/12 ainsi que S = bh : on obtient donc rp122 2 22Eh
Lnf n=. Les fréquences des modes sont donc en

8245222,L

nf n= avec L en m et fn en Hz. On dresse le tableau de résultats :

Longueur (m)/mode

n=1 n=2 n=3 n=4

70 0,50 2,0 4,5 8,0

144 0,12 0,47 1,1 1,9

108 0,21 0,84 1,9 3,4

Le mode 1 ne peut être excité par le signal des piétons, périodique de fréquence 2 Hz environ. Le mode 2

peut l"être sur la travée de longueur 70 m, le mode 3 pour la travée de 108 m, et le mode 4 sur les travées

de longueur 70 m si l"harmonique de rang 4 est suffisamment importante (au vu du spectre fourni, c"est

peu vraisemblable) et sur celle de longueur 144 m (fondamental). L"étude des fréquences propres est identique sauf qu"il faut inverser les rôles de h et b : rp122 2 22Eb
Lnf n= ceci revient numériquement à prendre maintenant

2916922,L

nf n=. On obtient alors :

Longueur (m)/modes

n=1 n=2 n=3

70 1,9 7,5 16,8

144 0,44 1,76 4,0

108 0,79 3,1 7,1

Au-delà les fréquences obtenues sont trop grandes.

L"oscillation du Millenium Bridge est due à l"action latérale des piétons (alternance droite gauche de la

marche), et donc à une fréquence de 1 Hz plutôt que 2 Hz comme le mode précédent.

La fondamentale d"un pas lent peut exciter le mode 1 et l"harmonique de rang 3 (pour un pas plus rapide)

pour la travée de 108m, celle de 70m peut être excitée par l"harmonique de rang 2 et celle de 144m par

l"harmonique de rang 4 (peu intense donc probablement peu efficace).quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34