[PDF] n xn x 1 n xn 2. 1 nov. 2018 Exercices — Corrigé

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Analyse I (G. Favi)Sciences et Technologies du VivantEPFL

Exercices - Corrig´e 7

Exercice 1.[Suites r´ecurrentes et Suites de Cauchy]

D´eterminer si les suites suivantes sont de Cauchy ou non. Calculerleur limite dans l"affirmative.

i)xn ?1 ?4 5xn ?1

5pour toutn

?0 etx0?0. ii)xn ?1 ?x2npour toutn?0 etx0?a?R. iii)xn ?1 ?2xnpour toutn?0 etx0?1. iv)xn ?1 ?x2n?1 pour toutn?0 etx0?0.

Solution:Pour certains points de cet exercice nous utiliserons le crit`ere suivant qui donne une condition

suffisante pour qu"une suite soit de Cauchy: Soit ?xn?une suite num´erique telle qu"il existe0?λ?1etc?0avec?xn ?1 ?xn??cλn. Alors?xn?est une suite de Cauchy (et donc convergente). i) Pour toutn ?1 on calcule?xn ?1 ?xn?et on trouve ?xn ?1 ?xn???4 5xn ?1 5 ??4 5xn ?1 ?1 5 ???4 5 ?xn?xn ?1

Ainsi, pour toutn?1 on a?xn

?1 ?xn???4 5 ?n ?x1?x0?. Commex1?x0?x1?1

5on conclut que

?xn ?1 ?xn??1 5 ??4 5 ?npour toutn ?0. Ainsi la suite est de Cauchy par le crit`ere ci-dessus. Pour trouver sa limite on r´esoud l"´equationx ?4 5x ?1

5et on trouve limn

???xn?x?1 ii) On remarque que la suite s"´ecritxn ?a2n(et on le prouve par r´ecurrence). Ainsi, si?a??1 la suite est non born´ee et donc elle ne peut pas ˆetre de Cauchy. Si ?a??1 alors la suite est constante `a partir den ?1 c"est donc une suite de Cauchy et sa limite vaut 1. Si?a??1 alors la suitexn?a2nconverge vers 0, elle est donc de Cauchy. iii) Observons d"abord que 1 ?xn?2 pour toutn?N(se d´emontre par r´ecurrence). Ensuite, pour tout n ?Non calcule?xn ?1 ?xn?et on trouve ?xn ?1 ?xn??? ?2xn? ?2xn ?1 ???2xn?2xn ?1 ?2xn? ?2xn ?1 ??2 2 ?2 ?xn?xn ?1 ??1 ?2 ?xn?xn ?1

Donc, pour toutn?Non trouve?xn

?1 ?xn???1 ?2 n ?x1?x0??? ?2?1? ?1 ?2 n. Donc la suite est de Cauchy d"apr`es le crit`ere ci-dessus. Sa limite se trouve en r´esolvant l"´equationx ?2xet en tenant compte des valeurs de la suite. On trouvex ?0 oux?2 et comme 1?xn?2 pour toutnon en d´eduit quex ?limn ???xn?2. iv) Ici on observe facilement que la suite est non born´ee. Elle n"est donc pas de Cauchy.

Solutions des exercices du 1 novembre 2018

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Exercice 2.[Vrai ou Faux (Suites)]

V F 1) Si ?yn?est sous-suite de?xn?et?zn?est sous-suite de?yn?, alors?zn?est sous-suite de?xn?.??

2) Une suite qui v´erifie?xn

?1 ?xn??10 ?npour toutn ?Nest de Cauchy.??

3) Si limn

?xn ?4 ?xn??0 alors?xn?est de Cauchy.??

4) Une suite g´eom´etrique est toujours de Cauchy.??

5) Si?xn?est de Cauchy etxn??0 pour toutn?N, alors?1

xn ?est de Cauchy.??

6) Toute suite constante est de Cauchy.??

7) Une suite de Cauchy est toujours born´ee.??

8) Une sous-suite d"une suite de Cauchy est de Cauchy.??

9) Si?x2n?est de Cauchy alors?xn?est aussi de Cauchy.??

10) Si?xn?est de Cauchy alors limn

?xn ?k ?xn??0 pour toutk?N.??

Solution:

1) Vrai. Cela d´ecoule du fait que la composition de deux fonction strictement croissantesf,g

?N?Nest encore strictement croissante.

2) Vrai. C"est un cas particulier du crit`ere vu dans la solution de l"exercice 1.

3) Faux. On peut prendrexn

?nqui v´erifie la condition mais qui est non born´ee, donc pas de Cauchy.

4) Faux. Si la raisonrde la suite g´eom´etrique v´erifie

?r??1 alors la suite n"est pas born´ee et ne peut donc pas ˆetre de Cauchy.

5) Faux. Prenonsxn

?1 n?1. Cette suite est convergente donc de Cauchy. De plusxn ?0 pour toutn. Par contre la suite des inverses 1 xn ?n?1 n"est pas born´ee donc pas de Cauchy.

6) Vrai. Une suite constante est banalement de Cauchy car

?xm?xn??0 pour tousm,n?N.

7) Vrai. On le montre avec la d´efinition ou on utilise le fait qu"une suite deCauchy est convergente donc

born´ee.

8) Vrai. Comme une suite est de Cauchy si et seulement si elle est convergente et que tout sous-suite

d"une suite convergente est convergente on en d´eduit le r´esultat.

9) Faux. La suitexn

???1?nn"est pas de Cauchy (car non convergente) mais son carr´e l"est carx2n ?1 pour toutn.

10) Vrai. On sait que pour toutε

?0 il existenε?Ntel que sim,n?nεalors?xm?xn??ε. En prenant m ?n?kon obtient que?xn ?k ?xn??εce qui montre l"assertion.

Solutions des exercices du 1 novembre 2018

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Exercice 3.[S´eries - QCM calculatoire]

Etudier la convergence et/ou donner la valeur de chaque s´erie ci-dessous 1) k?05 ?k1????diverge?0? 2) k?18 ?k ?? ?diverge?1 7 ?8 7 3) k?0sin ?k3?k1?diverge????0? 4) k?1 ?1 ?k ?1 ?k?1 ?0??? ?1 2 ?1? 5) k?21k2?112 ?2 3 ?3 4 ?diverge? 6) k?01k2?5k?612 ?2 3 ?3 4 7) k?0k ?2 k3?5k2?8k?4diverge 10 ?1???? 8) k?13k?k?3? 13 6 ?11 6 ?2?

Solution:

1) Commexn

?5 ?nest une suite strictement positive et strictement croissante on a que la suite des sommes partielles tend vers

2) Il s"agit d"une s´erie g´eom´etrique de raisonr?1

8mais qui commence aveck

?1. On a donc k?18 ?k k?0 ?1 8 k ?1?1 1?1 8 ?1?8 7 ?1?1 7

3) La suite sin

?k3?kne converge pas vers 0 (Pour s"en convaincre il suffit de remarquerqu"il existe une infinit´e d"entierskpour lesquels sin ?k3??1

2par exemple). Donc la s´erie de terme sin

?k3?kdiverge. Par contre il n"est pas ´evident de savoir si k?0sin ?k3?k???ou??ou aucun des deux cas n"est possible.

A ce jour je ne connais pas la r´eponse!

4) Pour ´etudier ce genre de s´erie on regarde les sommes partiellessn

n k?1 ?1 ?k ?1 ?k?1 ?et on remarque que cette somme se simplifie: s n ?1 ?1 ?1 ?2 ?1 ?2 ?1 ?3 ? ??1 ?n ?1 ?n?1 ?1?1 ?n?1 Donc k?1 ?1 ?k ?1 ?k?1 ??limn ???sn?limn ???1?1 ?n?1 ?1

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5) On proc`ede comme ci-dessus et on calcule la suite des sommes partielles. On trouve

s n n k?21k2?1 n k?212 ?1 k?1 ?1 k?1 ??1 2n k?2 ?1 k?1 ?1 k?1 ??1 2 ?1?1 2 ?1 n ?1 n?1 Donc k?11k2?1 ?limn ???sn?1 2 ?1?1 2 ??3 4.

6) On a que

k?01k2?5k?6 ?1

2en effet la somme partiellesnvaut

n k?01k2?5k?6 n k?01 ?k?2??k?3? n k?01k?2 ?1 k?3 ?1 2 ?1 n?3

7) On regarde les sommes partielles encore une fois et on trouve

n k?0k ?2 k3?5k2?8k?4 n k?01 ?k?1??k?2? n k?01 ?k?1? 1 ?k?2? ?1?1 n?2 Donc k?0k ?2 k3?5k2?8k?4 ?1

8) On calcule la somme partiellesnet on trouve (sin

?3) s n n k?13k?k?3? n k?1 ?1 k ?1 k?3 ??1?1 2 ?1 3 ?1 n?1 ?1 n?2 ?1 n?3

On obtient donc

k?13k?k?3? ?1?1 2 ?1 3 ?11 6

Exercice 4.[Vrai ou Faux (S´eries)]

V F

1) La s´erie

k?010 k11kconverge

2) La s´erie

k?09 k ?1

10kconverge

3) La s´erie

k?0 ?3k?1 2k ?1 2k ?converge??

4) La s´erie

k?1 ??1?k1 k2converge absolument

5) La s´erie

k?0 ??1?k ?2k?1 3k?1 ?converge absolument??

6) La s´erie

k?2cos ?k?1? k7?1converge

7) La s´erie

k?015k?5 ?kconverge

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8) La s´erie

k?0 ?k?1000

2k?1000

k converge absolument

9) La s´erie

k?0 ?k2?2?k?converge??

10) La s´erie

k?0 ?1?cos?π k?1 ??converge??

11) La s´erie

k?1 ?kquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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