[PDF] Suites 1 Convergence Si (u2n)n et (u2n+





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Feuille dexercices 5 : Suites monotones suites de Cauchy

http://www.normalesup.org/~vripoll/MAT1013_Exos5.pdf



Suites

On pourra montrer que cette suite une suite de Cauchy. Allez à : Correction exercice 36 : CORRECTIONS Suites réelles. Pascal Lainé. Allez à : Exercice 1 :.



Exercices dAnalyse Avec Solutions et Rappels de cours pour

2 nov. 2017 Définitions limite d'une suite et propriétés. • Suites de Cauchy



1 Suites de Cauchy

Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient. (rn)n∈N une suite de nombres réels telle que





Suites numériques 1 Critère de Cauchy 2 Suites extraites 3 Suites

c) La suite (un) converge si et seulement si les suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers la même limite ? 2.2 Exercices. Exercice 2. On suppose que les suites 



Exercices dAnalyse (suite)

(b) Toute suite de Cauchy est convergente. (c) Deux suites adjacentes sont convergentes. Exercice 8 Soit (un) définie par u0 et u1 strictement positifs et un+1 



Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct

Exercice III.17 Ch3-Exercice17. Montrer en utilisant les suites de Cauchy



ficall.pdf

suite réelle convergente et Sn = 1. 2n ∑ n p=0 C p n up. Étudier la suite (Sn). Correction ▽. [004684]. Exercice 1636 Produit de Cauchy. Soient (an)



Fiche de révision2 : Les suites numériques Fiche de révision2 : Les suites numériques

suite de Cauchy est que pour la suite convergente les termes sont à partir d ... D'où l = 2. 11 Exercice corrigé 8. Énoncé. Soit (un) la suite définie par :.



Feuille dexercices no 1 — Suites

2. Montrer que si (un)n convergente vers l alors (cn)n est également convergente de limite l. Exercice 8 (suites de Cauchy).



1 Suites de Cauchy

Suites numériques II. 1 Suites de Cauchy. Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient. (rn)n?N une suite de nombres réels telle 



Suites

Dans cet exercice toutes les récurrences devront être faites sans considérer Si ( ) ?? est une suite de Cauchy de nombres réels alors est bornée.



n xn x 1 n xn 2.

1 nov. 2018 Exercices — Corrigé 7. Exercice 1. [Suites récurrentes et Suites de Cauchy]. Déterminer si les suites suivantes sont de Cauchy ou non.



Feuille dexercices 5 : Suites monotones suites de Cauchy

http://www.normalesup.org/~vripoll/MAT1013_Exos5.pdf



Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct

Montrer en utilisant les suites de Cauchy



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En déduire la limite de la suite (un). [007022]. Exercice 98 Récurrence de Cauchy et application. Soit A une partie de N? contenant 1 et telle que.



Suites 1 Convergence

Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes de même limite l



Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques. Espaces vectoriels

2 oct. 2015 Exercice 6. Soit (X d) un espace métrique et (xn)n une suite de Cauchy de X. 1. Montrer que pour toute suite (?n)n de nombres réels ...



Exercices de licence

Exercice 5 Soit X un espace topologique et f une application quelconque de X Exercice 244 Soit (X



Exercices dAnalyse (suite)

(b) Toute suite de Cauchy est convergente. (c) Deux suites adjacentes sont convergentes. Exercice 8 Soit (un) définie par u0 et u1 strictement positifs et un+1 

Suites 1 Convergence Exo7

Suites

1 Convergence

Exercice 1Montrer que toute suite convergente est bornée. HH???Exercice 2 Montrer qu"une suite d"entiers qui converge est constante à partir d"un certain rang. HH???Exercice 3

Montrer que la suite(un)n2Ndéfinie par

u n= (1)n+1n n"est pas convergente. HH???Exercice 4 Soit(un)n2Nune suite deR. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si(un)nconverge vers un réel`alors(u2n)net(u2n+1)nconvergent vers`. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, il en est de même de(un)n. Si(u2n)net(u2n+1)nsont convergentes, de même limite`, il en est de même de(un)n. HH???Exercice 5 Soitqun entier au moins égal à 2. Pour toutn2N, on poseun=cos2npq 1.

Montrer que un+q=unpour toutn2N.

2. Calculer unqetunq+1. En déduire que la suite(un)n"a pas de limite. HH???Exercice 6

SoitHn=1+12

++1n 1. En utilisant une intégrale, montrer que pour tout n>0 :1n+16ln(n+1)ln(n)61n 2.

En déduire que ln (n+1)6Hn6ln(n)+1.

3.

Déterminer la limite de Hn.

4. Montrer que un=Hnln(n)est décroissante et positive. 1

5.Conclusion ?

HH???Exercice 7

On considère la fonctionf:R!Rdéfinie par

f(x) =x39 +2x3 +19 et on définit la suite(xn)n>0en posantx0=0 etxn+1=f(xn)pourn2N: 1. Montrer que l"équation x33x+1=0 possède une solution uniquea2]0;1=2[: 2.

Montrer que l"équation f(x) =xest équivalente à l"équationx33x+1=0 et en déduire queaest

l"unique solution de l"équationf(x) =xdans l"intervalle[0;1=2]: 3. Montrer que la fonction fest croissante surR+et quef(R+)R+. En déduire que la suite(xn)est croissante. 4. Montrer que f(1=2)<1=2 et en déduire que 06xn<1=2 pour toutn>0: 5.

Montrer que la suite (xn)n>0converge versa:

HH???2 Limites

Exercice 8Posonsu2=112

2et pour tout entiern>3,

u n= 112
2 113
2 11n 2

Calculerun. En déduire que l"on a limun=12

HH???Exercice 9

Déterminer les limites lorsquentend vers l"infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser en

quelques mots la méthode employée. 1.

1 ; 12

;13 ;:::;(1)n1n 2.

2 =1 ; 4=3 ; 6=5 ;:::; 2n=(2n1);:::

3.

0 ;23 ; 0;233 ;:::; 0;2333 ;:::

4. 1n 2+2n

2++n1n

2 5. (n+1)(n+2)(n+3)n 3 6.

1+3+5++(2n1)n+12n+12

7. n+(1)nn(1)n 2 8.

2n+1+3n+12

n+3n 9.

1=2+1=4+1=8++1=2npuisp2 ;

q2 p2 ; r2 q2 p2 ;::: 10. 113
+19 127
++(1)n3 n 11. pn+1pn 12. nsin(n!)n 2+1 13.

Démontrer la formule 1 +22+32++n2=16

n(n+1)(2n+1); en déduire limn!¥1+22+32++n2n 3. H???Exercice 10

On considère les deux suites :

u n=1+12! +13! ++1n!;n2N; v n=un+1n!;n2N:

Montrer que(un)net(vn)nconvergent vers une même limite. Et montrer que cette limite est un élément de

RnQ. HH???Exercice 11 Soita>0. On définit la suite(un)n>0paru0un réel vérifiantu0>0 et par la relation u n+1=12 u n+au n

On se propose de montrer que(un)tend verspa.

1.

Montrer que

u n+12a=(un2a)24un2: 2. Montrer que si n>1 alorsun>papuis que la suite(un)n>1est décroissante. 3.

En déduire que la suite (un)converge verspa.

4. En utilisant la relation un+12a= (un+1pa)(un+1+pa)donner une majoration deun+1paen fonction deunpa. 5.

Si u1pa6ket pourn>1 montrer que

u npa62pa k2 pa 2n1 6.

Application : Calculer

p10 avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenantu0=3. HH???Exercice 12

Soientaetbdeux réels,a récurrente(un)ndéfinie par : u

02[a;b]et pour toutn2N;un+1=f(un):

3

1.On suppose ici que fest croissante. Montrer que(un)nest monotone et en déduire sa convergence vers

une solution de l"équationf(x) =x.

2.Application.Calculer la limite de la suite définie par :

u

0=4 et pour toutn2N;un+1=4un+5u

n+3: 3. On suppose maintenant que fest décroissante. Montrer que les suites(u2n)net(u2n+1)nsont monotones et convergentes.

4.Application.Soit

u 0=12 et pour toutn2N;un+1= (1un)2:

Calculer les limites des suites(u2n)net(u2n+1)n.

HH???Exercice 13 1.

Soient a;b>0. Montrer quepab6a+b2

2.

Montrer les inég alitéssui vantes( b>a>0) :

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