[PDF] Estimateur sans biais Définition ˆ ? est un estimateur sans biais de ?

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Propriétés d"un estimateur

Estimateur sans biais

Estimateur sans biaisDéfinitionˆθest un estimateur sans biais deθsi

E[ˆθ] =θ?θ?Θ

Exemple:ˆμ=

Xcomme estimateur deμla moyenne deX:

E(ˆμ) =E(

X) =μ

Biais d"un estimateur:

B(ˆθ) =E(ˆθ)-θEstimateur asymptotiquement sans biais:Estimateurˆθndeθ tel que limn?→∞E(ˆθn) =θ

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Estimation

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Propriétés d"un estimateur

Efficacité relative et absolue

Mesure de précision d"un estimateur: MSEDéfinitionErreur quadratique moyenne [Mean Squared Error (MSE)] d"unestimateurˆθd"un paramètreθest:

MSE(ˆθ) =E?

(ˆθ-θ)2?

MSE=Biais et variance:

MSE(ˆθ) =E?

(ˆθ-θ)2? =E? (ˆθ-E(ˆθ) +E(ˆθ)-θ)2? =E? (ˆθ-E(ˆθ))2?

E(ˆθ)-θ?

2 -2?

E(ˆθ)-θ?

E? (ˆθ-E(ˆθ))? 0 =V(ˆθ) +B2(ˆθ)

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Propriétés d"un estimateur

Efficacité relative et absolue

MSE (suite)

Cas d"un estimateur sans biais:

MSE(ˆθ) =V(ˆθ)Mesure de précision d"un estimateur: 1

MSE(ˆθ)

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Propriétés d"un estimateur

Efficacité relative et absolue

Efficacité relative

Efficacité relative:Siˆθ1etˆθ2sont des estimateurs quelconque deθ, l"efficacité relative deˆθ1par rapport àˆθ2est définie par E r(ˆθ1,ˆθ2) =MSE(ˆθ2)

MSE(ˆθ1)

ˆθ1est plus efficace queˆθ2si

E r(ˆθ1,ˆθ2)≥1Exemple:(estimateur d"une moyenneμ)

ˆμ1=

X:MSE(

X) =σ2

nˆμ2=X1:MSE(X1) =σ2? ?Er(ˆμ1,ˆμ2) =n

Xest plus efficace queX1

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Propriétés d"un estimateur

Efficacité relative et absolue

Efficacité absolue

Objectif poursuivi:Rechercher un estimateur sans biaisˆθ?d"un paramètreθtel que pour tout

ˆθestimateur sans biais deθ

?Recherche d"un estimateur sans biais de variance minimum (SBVM)Borne de Cramer-Rao:On suppose remplies certaines conditions de régularités de la fonctionL(θ)alors :

V(ˆθ)≥1

E? ?dlogL(θ) dθ? 2?

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Propriétés d"un estimateur

Efficacité relative et absolue

Efficacité absolue (suite)

Information de Fisher:

I n(θ) =E? ?dlogL(θ) dθ? 2? Estimateur efficace (SBVM):Siˆθ?est un estimateur sans biais deθ, il est efficace si

V(ˆθ?) =1

In(θ)

N. B. I n(θ) =E?-d2logL(θ) dθ2?

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Propriétés d"un estimateur

Efficacité relative et absolue

Exemple 1

Population :régie par une loi normale

X≂ N(μ,1), oùμ?Retˆμ=

X Échantillon aléatoire:{X1,X2,...,Xn}Fonction de log-vraisemblance: L ?(μ) =-n

2log(2π)-1

2? i(xi-μ)2 dlog(L(μ)) dμ=? i(xi-μ)

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Propriétés d"un estimateur

Efficacité relative et absolue

Exemple 1 (suite)

L"information de Fisher :

I n(μ) =E? ?dlogL(μ) dμ? 2? =E? i(xi-μ)? 2? iE(xi-μ)2carXiindépendants iE? (xi-μ)2? 2=1=n OrV(ˆμ) =σ2/n=1/n=1/In(μ)?cet estimateur est SBVM (efficace)

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Propriétés d"un estimateur

Convergence

Estimateur convergentDéfinitionSoitˆθnun estimateur deθ, il est convergent si lim n?→+∞P? |ˆθn-θ|< ε? =1

Notation:

ˆθnP-→θPropriété : CS de convergenceSiˆθnest un estimateur deθtel que lim n?→+∞E(ˆθ) =θet limn?→+∞V(ˆθ) =0 alors :

ˆθnP-→θ

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Propriétés d"un estimateur

Convergence

Exemple

X≂ N(μ,σ2)Échantillon :{X1,X2,...,Xn}ˆμ= X

E(ˆμ) =μV(ˆμ) =σ2/nn-→0

XP-→μ

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Intervalle de confiance

Généralités

Région et Intervalle de confiance

Objectif:Rechercher une régionˆΘ?Θtel que un niveau de confianceP(θ?ˆΘ)soit fixé a prioriNiveau de confiance:

Soit un seuil d"incertitudeα?]0,1[, alors

P(θ /?Θ) =α?P(θ?Θ) =1-α

?1-α=niveau de confianceNiveaux de confiance usuels: 0.90; 0.95 ; 0.99 Intervalle de confiance:Soit un paramètreθ?Θ?R. On désire construire un intervalle(?1,?2)tel que où 1-αest un niveau de confiance choisi a priori

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Intervalle de confiance

Généralités

Intervalle de confianceRemarques

?1et?2sont des variables aléatoiresL"intervalle peut être bilatéral ou unilatéral

Cas bilatéral : on impose que

P(θ < ?1) =α/2 etP(?2< θ) =α/2Cas unilatéral :

2= +∞etP(?1> θ) =α

1=-∞etP(?2< θ) =α

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Intervalle de confiance

Intervalle de confiance pour la moyenne

Intervalle de confiance pour la moyenne: Cas des petits

échantillons

SoitX≂ N(μ,σ2)oùμ?Retσ2?R?+Échantillon :{X1,X2,...,Xn}, où la taillen<30Estimateur deμ:ˆμ=

X

Loi deˆμ:

X≂ N(μ,σ2/n)

Loi centrée réduite :

X-μσ/⎷

n≂ N(0,1) La distribution dépend deσ, on distingue alors deux cas selonσ connu ou inconnue

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Intervalle de confiance

Intervalle de confiance pour la moyenne

I. C. pour moyenne: Cas des petits échantillons avecσconnuConstruction un intervalle de confiance deμau degré de confiance

(1-α):IC1-α(μ)

Rappel:siZ≂ N(0,1)alors

2

Il en résulte que

N. B.-z1-α/2=zα/2

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Intervalle de confiance

Intervalle de confiance pour la moyenne

I. C. pour moyenne: Cas des petits échantillons avecσconnuComme

X-μσ/⎷

n≂ N(0,1)

X-μσ/⎷

?P(-z1-α/2σ ⎷n) =1-α ?P(

X-z1-α/2σ

X+z1-α/2σ

⎷n) =1-α ?P(

X-z1-α/2σ

⎷n?

X+z1-α/2σ

⎷n?

2) =1-α

?IC1-α(μ) =?

X-z1-α/2σ

⎷n,

X+z1-α/2σ

⎷n?

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Intervalle de confiance

Intervalle de confiance pour la moyenne

I. C. pour moyenne: Cas des petits échantillons avecσinconnu Puisqueσ2est inconnu, il faut l"estimer parˆσ2Soit la variance empirique : s 2=1 n? i(Xi- X)2

On montre queE(s2) =n-1

nσ2?=σ2, les2est biaisé

Ajustons le afin d"éliminer le biais, soit

S 2=n n-1s2 1n-1? i(Xi- X)2

Il est clair queE(S2) =n

n-1E(s2) =σ2, leS2est sans biais

Remplaçons doncσ/⎷

nparS/⎷ nou pars/⎷ n-1

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Intervalle de confiance

Intervalle de confiance pour la moyenne

I. C. pour moyenne: Cas des petits échantillons avecσinconnuLa substitution deσchange la loi de la statistique:

X-μS/⎷

n≂tn-1

X-μS/⎷

?P(-t1-α/2S ⎷n) =1-α ?P(

X-t1-α/2S

X+t1-α/2S

⎷n) =1-α ?P(

X-t1-α/2S

⎷n?

X+t1-α/2S

⎷n?

2) =1-α

?IC1-α(μ) =?

X-t1-α/2;n-1S

⎷n,

X+t1-α/2;n-1S

⎷n?

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Intervalle de confiance

Intervalle de confiance pour la moyenne

Exercice

Énonce:Un échantillon de taille 17, provenant d"une population normale, a les caractéristiques suivantes :

¯x=4.7 etS2=5.76.

Déterminons un I.C deμau niveau de confiance 95%Solution:Il s"agit du cas des petit échantillon, avecσinconnu,

ainsi IC

1-α(μ) =?

x±t1-α/2S ⎷n?

4.7±t0.975;16⎷

5.76⎷17?

= [3.47,5.93][3.47,5.93][3.47,5.93] (t0.975;16=2.12)

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