[PDF] Estimation Définitions. Notation. Estimateur sans

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Introduction

Définitions

Notation

Estimateur sans biais

Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentEstimation

Myriam Maumy-Bertrand

1 1

IRMA, Université de Strasbourg

Strasbourg, France

ESIEA 4ème Année 28-02-2011

Myriam Maumy-BertrandEstimation

Introduction

Définitions

Notation

Estimateur sans biais

Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentCe chapitre s"appuie essentiellement sur : le livre de Jean-Jacques Droesbeke, professeur à l"Université Libre de Bruxelles, " Éléments de statistiques »,

Université de Bruxelles, Ellipses, 2001.

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Introduction

Définitions

Notation

Estimateur sans biais

Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentSommaire

1Introduction

2Définitions

3Notation

4Estimateur sans biais

5Précision et efficacité d"un estimateur

6Estimateur convergent

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Introduction

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Notation

Estimateur sans biais

Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentLe problème de l"estimationest l"impossibilité de connaître exactement la valeur d"unparamètre inconnu noté. Ce problème est très général et a des aspects distincts.Les observations, par exemple obtenues à partir d"une méthode d"échantillonnage, permettent de construireune estimation de. Nous supposerons que chaque observation est la valeur d"une variable aléatoireXdont la loi dépend de. Cela revient ainsi à doter l"état de la natureinconnu d"unmodèle probabiliste. Ce dernier est complété par unmodèle d"échantillonnagedécrivant la manière dont les observations sont recueillies.

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Notation

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Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentHypothèses

Nous nous plaçons dans le cas le plus simple :

Lesnobservations constituent unéchantillon aléatoire composé denvariables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (ce que nous noterons i.i.d.) fX1;:::;Xng.Définition Unmodèle probabilistecomplété par unmodèle d"échantillonnageest ce que nous appelons unmodèle statistique.Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentLe problème :

Comment pouvons-nous estimerà partir denobservations fX1;:::;Xngformant unéchantillon aléatoiredont les valeurs sont notéesfx1;:::;xngformant unéchantillon?Deux problèmes :

Cette question recouvre deux problèmes :

1Définir un estimateur possédant de bonnes qualités.

2Trouver la manière adéquate de le choisir.

Nous allons évoquer ces deux questions successivement dans les paragraphes suivants.

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Notation

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Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentSommaire

1Introduction

2Définitions

3Notation

4Estimateur sans biais

5Précision et efficacité d"un estimateur

6Estimateur convergent

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Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentSoient :

un paramètre réelunivariéinconnu défini au sein d"une populationU,l"ensemble des valeurs possibles du paramètre.Définition SifX1;:::;Xngest un échantillon aléatoire d"effectif n prélevé dans la population U, alors nous appelonsestimateurdu

paramètre inconnutoute fonction h des n observations, notébn:bn=h(X1;:::;Xn):(2.1)Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentb

nestune variable aléatoirede loi de probabilité qui dépend du paramètre inconnu.Définition Une fois l"échantillon prélevé, nous disposons de n valeurs observées x

1;:::;xn, ce qui nous fournit une valeur

h(x1;:::;xn) de bn, que nous appelons uneestimationdu paramètre.Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Estimateur sans biais

Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentIl est souhaitable de ne pas utiliser uniquement le bon

sens ou l"intuition pour choisir entre deux estimateurs.Pour pouvoir effectuer le bon choix, nous devons pouvoir

les comparer en recourant à des objectifs choisis a priori.Nous allons établir une liste de plusieurs propriétés que

nous souhaitons retrouver dans un bon estimateur, permettant ainsi de mettre en évidence ceux qui en possèdent sinon le plus grand nombre, du moins les plus importantes.

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Notation

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Estimateur convergentSommaire

1Introduction

2Définitions

3Notation

4Estimateur sans biais

5Précision et efficacité d"un estimateur

6Estimateur convergent

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Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentToute fonction des observations d"un échantillon aléatoire simple, définie par (2.1), peut permettre d"estimer la valeur du paramètre.Rappel de la définition Nous appelonsestimationla valeur observéeh(x1;:::;xn)de l"estimateurh(X1;:::;Xn).Remarque La notation couramment utilisée " majuscule pour une variable aléatoire et minuscule pour sa valeur » est en contradiction avec (2.1) et veut que nous distinguons aussi la variable

aléatoirebnde sa valeur observée, notée parfoisbn(x1;:::;xn).Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Notation

Estimateur sans biais

Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentPour fixer les idées, et étant donné les difficultés à distinguer

variable aléatoire et valeur observée, nous utilisons la notation suivante :Notation

1L"échantillon de taillenest désigné parfx1;:::;xng.2L"échantillon aléatoire de taillenest quant à lui désigné par

fX1;:::;Xng.Remarque Il faudra toujours se poser la question " dans quel cas sommes-nous? » car cela peut avoir des conséquences, surtout dans les calculs que nous effectuerons.

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Notation

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Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numériqueSommaire

1Introduction

2Définitions

3Notation

4Estimateur sans biais

5Précision et efficacité d"un estimateur

6Estimateur convergent

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Introduction

Définitions

Notation

Estimateur sans biais

Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion Illustration numériqueLe choix d"un estimateurva reposer surses qualités. Comme nous l"avons souligné, il est habituel de comparer des estimateurs entre eux sur base de propriétés plus ou moins intéressantes qu"ils possèdent ou non.La première propriété :

Elle concerne la possibilité de comporter unbiais.Il est souvent judicieux que la distribution d"un estimateur soit

centrée sur le paramètre inconnu, c"est-à-dire qu"il possède la propriété suivante.

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Précision et efficacité d"un estimateur

Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numériqueDéfinition

b nest unestimateur sans biais(ou non biaisé) du paramètre si Ehbni =:(4.1)Définition Si l"équation(4.1)n"est pas vérifiée, lebiaisdebnse définit par B bn =Ehbni :(4.2)Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numériqueDéfinition

Un estimateur

bnest unasymptotiquement sans biaispour le paramètresi lim n!+1Ehbni =:(4.3)Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numérique

Pour estimer la moyennede la populationUde tailleNnous utilisons la moyennebnque nous allons définir ci-dessous, d"un échantillon aléatoire de taillen(nIntroduction

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Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numériqueHypothèses de travail

Le mode de prélèvement retenu est tel que :

1lesXisont des v.a.indépendantes et identiquement

distribuées.2LesXivérifientles deux propriétés suivantes:

8i=1;:::;nE[Xi] =etVar[Xi] =2:Définition

L"estimateur de la moyennebnd"un échantillon aléatoire de taille n est égal à : bn=1nn X i=1X i:Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numérique

Calculons l"espérance debn:

E[bn] =E"

1n n X i=1X i# 1n E" nX i=1X i# 1n n X i=1E[Xi] =1n n=: Nous établissons ainsi la propriété suivante :Propriété En moyenne, l"estimateurbnest égal à la moyennede la population U, ou encorebnest un estimateur sans biais de la moyenne.Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numérique

Calculons la variance debn:

Var[bn] =Var"

1n n X i=1X i# 1n 2n X i=1Var[Xi];lesXisont indépendantes 1n 2n X i=1

2;lesXisont identiquement distribuées

1n

22n=2n

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Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numériqueLes questions :

Que signifie statistiquement ce dernier résultat? Comment le statisticien l"interprète-t-il?Les réponses : Ce paramètre, destiné à connaître la dispersion des valeurs debnautour de, permet de mesurerl"erreur d"échantillonnage.Plus laVar[bn]est faible, plus il est probable que l"erreur sera petite et l"estimateurbnprécis.LaVar[bn]est faible si la variance2de la populationU est petite, ce qui correspond à une population homogène, et/ou si la taillende l"échantillon est grande.Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numériqueRemarque

Cette erreur calculée dans le cas d"un échantillon aléatoire ne dépend pas de la tailleNde la populationU, ce qui n"est pas intuitif! Savez-vous pourquoi?Remarque En fait, nous avons effectué les calculs avec des variables indépendantes ce qui correspond à un tirage aléatoire avec remise. Lorsque nous calculerons cette erreur dans le cas d"un tirage aléatoire sans remise, la tailleNde la populationU interviendra!

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Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

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Illustration numériqueDéfinition

L"estimateur de la variance S

2nd"un échantillon aléatoire de

taille n est égal à : S 2n=1n n X i=1(Xibn)2:Calculons l"espérance de l"estimateurS2nafin de savoir siS2nest un estimateur sans biais de la variance2de la populationU.Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numériqueRemarque

Avant de commencer le calcul de l"espérance de l"estimateur S

2n, il est intéressant de noter que

S 2n=1n n X i=1(Xibn)2 1n n X i=1X 2i! b2n:Myriam Maumy-BertrandEstimation

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Estimateur convergentUn exemple : l"estimation d"une moyenne

Un autre exemple : l"estimation d"une variance

Un dernier exemple : l"estimation d"une proportion

Illustration numérique

E h S2ni =E" 1n n X i=1X 2i! b2n# 1n n X i=1Eh X2ii Ehquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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