[PDF] Olympiades Nationales de Maths 2020 : Sujet + Corrigé

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OLYMPIADES MATHÉMATIQUES

LYCÉE, PREMIÈRE

freemaths.frOlympiades Mathématiques • 2020

EXERCICES NATIONAUX

2020

Métropole - Europe - Afrique - Orient - Inde

Amériques - Antilles-Guyane

Asie - Pacifique - Nouvelle Calédonie - Polynésie

SUJET + CORRIGÉ

B 5

10.811

C 6

12.011

N 7

14.007

Al 13

26.982

Ga 31

69.723

Zn 30
65.39
Cu 29

63.546

Ge 32
72.61
In 49

114.82

Sn 50

118.71

As 33

74.922

Se 34
78.96
Si 14

28.086

P 15

30.974

S 16

32.065

Cl 17

35.453

O 8

15.999

e LYMPIADES

DE MATHÉMATIUES

Mercredi 1

mars 20

1, 2 énoncés (national et académique) en 4 heures, élèv

es de première générale et technologique

2 et de début de terminale3, inscription auprès de votre professeur

de mathématiques avant les vacances d'hiver selon académie.Sujet et Corrigé vous sont présentés par freemaths.fr . . .

Métropole-Europe-Afrique-Orient-Inde

L'Ġpreuǀe se dĠroule en deudž parties indépendantes de deux heures chacune. Les énoncés des deux parties sont

donc séparés et distribués séparément à des moments différents.

La première partie est constituée des exercices nationaux. À son issue, les copies sont ramassées et une pause de

cinq à quinze minutes est prévue, avant la seconde partie, constituée des exercices académiques.

Les calculatrices sont autorisées selon la réglementation en vigueur. salle de composition. La première partie de l'Ġpreuǀe contient trois edžercices. exercices nationaux 1 et 2. Les autres candidats doivent traiter les exercices nationaux 1 et 3. Exercice national 1 (à traiter par tous les candidats)

Batailles navales

Un joueur effectue une sorte de " bataille navale

» su

r un dam ier c arr de ݊

HJcases, avec ݊

Ru. Un

bateau est représenté par un rectangle constitué de trois cases de la taille des cases du damier. Il est placé

horizontalement ou verticalement sur trois cases du damier.

Le bateau est invisible du joueur.

Le joueur effectue plusieurs tirs sur des cases distinctes du damier dans le but de toucher au moins une des cases occupées par le bateau.

On appelle jeu optimal » un ensemble de tirs permettant de toucher le bateau à coup sûr, quelle que soit la

position occupée par celui-ci, et comprenant le nombre minimal de tirs pour y parvenir. réaliser un jeu optimal effectif.

Partie A : étude de trois cas particuliers

1. Cas où ݊

Lu a.Combien de positions différentes le bateau est-il susceptible d'occuper sur le damier ?

b.Reproduire le damier sur la copie et indiquer trois cases sur lesquelles tirer pour que le bateau soit touché à

coup sûr. On placera une croix (ൈ) dans chacune de ces cases.

Lu. ^µ]šo[ v}v v‰Pî

2. Cas où ݊Lv

Partie B : cas général

1. Cas où ݊LuL, avec ݌entier et ݌Rs

a.Indiquer une façon de placer sur le damier un nombre maximal de positions disjointes deux à deux pouvant

b.En utilisant le schéma proposé en A1.b, expliquer comment réaliser un jeu optimal pour ݊LuL.

2. Cas où ݊LuLEs, avec ݌entier et ݌Rs

a. Combien peut-on placer au maximum sur le damier de positions du bateau disjointes deux à deux ?

b. Réaliser un jeu optimal pour ݊LuLEsen expliquant avec précision la démarche. ݊LuLEt à ceux des cas ݊LuLet ݊LuLEset on obtient : Exercice national 2 (à traiter par les candidats de voie générale ayant choisi la spécialité mathématiques)

Ensembles surprenants

On désigne par Գכ

Dans tout l'edžercice, les ensembles considĠrĠs sont des sous-ensembles finis non vides de Գכ

Si ܣ est un tel ensemble, on désigne par ܲ:#; le produit des éléments de ܣet par ܥ

éléments de ܣquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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