[PDF] Olympiades Mathématiques Caen 2020 : Sujet + Corrigé

4.En déduire finalement que, pour tout sous ensemble fini non vide # de 3Û, on peut trouver un

5.D}všOEOE'µ[}v‰µššOE}µÀOEµvvuoµOE‰OEvvšÇvšòó o uvšš}všvvš#

L

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Sujet destiné aux candidats de première de la voie générale ayant suivi Seconde partie de l'Ġpreuǀe : exercices académiques Les calculatrices sont autorisées selon la réglementation en vigueur.

Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à une question

Les énoncés doivent être rendus au moment de quitter définitivement la salle de composition.

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Exercice académique 1

Une méthode de dallage

On appelle dallage d'un rectangle le

recouvrement de celui-ci par des carrés, de telle sorte que : les carrés aient les plus grandes dimensions possibles ; les côtés des carrés soient parallèles à o[µv€š  du rectangle ; les carrés ne se superposent pas.

W}µOE o OE o]š]}v [µv šo ooPU }v

‰OE} }uu µOE o[AEu‰o ]-contre (rectangle de dimensions 31 et 9) : dans ce cas, le dallage complet est réalisé en trois

étapes.

tape 0 ͗ tape 1 ͗ tape 2 ͗ tape 3 ͗

1. a. Pour Js, on note Qá le nombre de nouveaux OEOE }všOEµ]šo[ š‰J.

Dans le cas de o[AEu‰o]-dessus (rectangle de dimensions 31 et 9), donner les valeurs de Q5, Q6 et

Q7. b. Construire sur la copie un rectangle de dimensions 89 et 24 (unité graphique : 2 mm) puis son dallage complet.

Approche numérique du dallage

À chaque étape du dallage, afin de déterminer les dimensions du rectangle restant à daller, on réalise

la division euclidienne de la longueur du rectangle précédent par sa largeur.

étape 1 : us

Lu H{ Ev donc 9 et 4 sont les dimensions du rectangle suivant à daller ;

étape 2 : {

Lt Hv Es donc 4 et 1 sont les dimensions du rectangle suivant à daller ;

étape 3 : v

Lv

Hs. Le dallage est achevé.

>oµo‰OE vš‰µÀvš[ OE]OE Pouvš : 75
Lu E8 = (étape 1) ; or 8 L5 5

0 et =

8 Lt E5

8 (étape 2) ; donc

L E Cette dernière écriture est appelée écriture en fraction continue de 75

2. a. šo]OEoo]vvšOEo[ OE]šµOE75

= en fraction continue et les valeurs Q5, Q6 et Q7 de la question 1.a. b. À o[] de divisions euclidiennes successivesU}vvOEo[ OE]šµOEv(OEš]}v}vš]vµ<= 68 .
31
9

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Autour du nombre d'or

de la somme des deux longueurs sur la plus grande :.;soit égal à celui de la plus grande sur la plus

petite :H;.

ß (avec .

PH

Pr) tel que Å>ß

LÅ

3. a. Montrer que s

E5 FT Fs Lr. b. Que peut-on en déduire quant au v}uOE[ š‰µooP ?

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Exercice académique 2

1. Sophie dit à Pierre :

" Pense à un nombre entier formé de deux chiffres distincts, permute le chiffre des unités et celui des

dizaines et effectue la différence entre ces deux nombres. Cette différence est nécessairement un

multiple de 9 ». a. Démontrer que Sophie a raison. b. Pierre lui répond : " :[]oµo o}uuµAEv}uOEvš]OEµo]µoµoOEoµOE](( OEvši[i trouvé

132 ».

Déterminer tous les nombres auxquels Pierre a pu penser.

2. Sophie dit à Pierre :

" On va faire un tour de magie. Pense à un nombre entier formé de trois chiffres distincts, permute le

chiffre des centaines et celui des unités. Effectue la différence entre ces deux nombres et donne-moi

le chiffre des unités du résultat ». Pierre lui répond : le chiffre des unités de cette différence est 4.

Après quelques minutes de réflexion, Sophie lui répond : " cette différence est égale à 594 ».

a. Retrouver la démarche ayant permis à Sophie de trouver ce résultat.

X šOEu]vOEo[vuov}uOEµAE'µoW]OEOE‰µ‰vOEUZvš'µoZ]((OE]Ì]v

de ces nombres est 5.

3. Sophie dit enfin à Pierre :

" À présent, pense à un nombre entier formé de trois chiffres dont le chiffre des unités et celui des

centaines ne sont ni égaux, ni consécutifs. Permute le chiffre des centaines et celui des unités, puis

effectue la différence entre le plus grand et le plus petit de ces deux nombres. Permute le chiffre des

centaines et celui des unités de ce résultat, puis fais la somme de ce dernier nombre et du résultat

précédent. Tu vas trouver 1 089 ». a. Montrer que le chiffre des dizaines de la différence est 9. b. Expliquer comment Sophie arrive à ce résultat sans connaître le nombre initial.

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spécialité " mathématiques » de première générale

>[ ‰OEµÀ OE}µovµAE‰OEš]]v ‰vvšš]v]}]oµAEZµOEZµvXLes

énoncés des deux parties sont donc séparés et distribués à des moments différents. Les copies

OE ]P }všOEu o[]µo‰OEu]OE‰OEš]~h exercices nationaux »). Une pause de cinq à

quinze minutes est prévue, avant la seconde partie (" exercices académiques »). Sauf en cas de force

uiµOEµµvv]šv[šµš}OE] 'µ]ššOEooo}u‰}]š]}vu}]vµAEZµOE‰OEo

début. Les calculatrices sont autorisées selon la réglementation en vigueur.

Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à une question

Les énoncés doivent être rendus au moment de quitter définitivement la salle de composition.

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Premiğre partie de l'Ġpreuǀe

Exercice national 1

Un joueur effectue une sorte de " bataille navale » sur un damier carré de J

HJcases, avec J

Ru.

Un bateau est représenté par un rectangle constitué de trois cases de la taille des cases du damier.

Il est placé horizontalement ou verticalement sur trois cases du damier.

Le bateau est invisible du joueur.

Le joueur effectue plusieurs tirs sur des cases distinctes du damier dans le but de toucher au moins une des cases occupées par le bateau.

On appelle " jeu optimal » un ensemble de tirs permettant de toucher le bateau à coup sûr, quelle que

soit la position occupée par celui-ci, et comprenant le nombre minimal de tirs pour y parvenir.

On note-:J; le nombre de tirs réalisés dans un jeu optimal. Le but de cet exercice est de déterminer

-:J; et de réaliser un jeu optimal effectif.

1.Cas où J

Lu

a.Combien de positions différentes le bateau est-]oµ‰š]o[}µ‰OEµOEou]OE ?

b.Reproduire le damier sur la copie et indiquer trois cases sur lesquelles tirer pour que le bateau soit

touché à coup sûr. On placera une croix (

H) dans chacune de ces cases.

c.Montrer 'µ[}vv‰µš‰OE o]OEµviµ}‰š]uoÀµAEš]OEX d.En déduire que -:u; Lu.

2.Cas où J

Lv a.Sur un damier v

Hv, indiquer cinq ‰}]š]}v‰}µOEošµ'µ]v[}všµµvv}uuµv deux

à deux. Que peut-on en déduire pour -:v; ?

b.Représenter un jeu optimal à cinq tirs sur un damier v

Hv. En déduire -:v;.

3.Cas où J

Lz.

1.Cas où J

LuL, avec L entier et L

Rs

a.Indiquer une façon de placer sur le damier un nombre maximal de positions disjointes deux à deux

pouvant être occupées par le bateau. Que peut-on dire de -:uL;? b.En utilisant le schéma proposé en A1.b, expliquer comment réaliser un jeu optimal pour J LuL. c.Montrer que -:uL; LuL~.

2.Cas où J

LuL

Es, avec L entier et L

Rs a.Combien peut-on placer au maximum sur le damier de positions du bateau disjointes deux à deux ? b.Réaliser un jeu optimal pour J LuL

Esen expliquant avec précision la démarche.

c.Que vaut -:uL Es;?

3.ZZOEZ[µvOEš OE]š]}v}uuµv-:J;, pour tout entier J

Ru.

On traite le cas J

LuL Etpar des raisonnements analogues à ceux des cas J

LuL et J

LuL Es et on obtient : -:uL Et; LuL6 EvL Es. a.Montrer que, pour tout entier J Ruá -:J; est le plus grand entier inférieur ou égal à á. 7. b.Existe-t-il un entier Jtel que-:J) = trtr ?

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Exercice national 2

Le chiffre de César ou le chiffrement par décalage est une méthode de chiffrement très simple utilisée

par Jules César dans ses correspondances secrètes. Le textZ]((OE [}š]všv ovšZ'µoššOE

[µvv}uOE(]AEU‰‰o o Uvo[}OEOEo[o‰ZšX

WOEAEu‰oÀµvo ïÀOEoOE}]šUšOEu‰o ‰OEUÀ]všUš]v]iµ'µ[t'µ]

devient Z, puis X devient A etc.

1.Coder le mot suivant avec la clé 3 : OLYMPIADES

2.Décoder le message suivant, chiffré par la méthode de César avec la clé 9 :

JWWNN MNB VJCQNVJCRZDNB

3.Décoder les trois parties du texte suivant, chiffré par la méthode de César, dont la clé est à deviner :

Texte 1 : signé Alan Turing

Chers amateurs de mathématiques,

Depuis ma naissance en qmppi riyj girx hsydi, la cryptographie me passionne. Le décodage est simpliste même si Tcxleksvi ri ey wmbmiqi wmigpi ezerx Niwyw Glvmwx l'aurait trouvé brillant.

Eper Xyvmrk

Soit = et > µAEv}uOEvš]OEX>OEljšP((]v}v]šOEu‰oOEZ'µoššOEo[o‰Zš

puis à remplacer le nombre initial T par le nombre U qui est le reste de la division euclidienne de

= T E> par 26. Le couple :=â >; forme la clé du cryptage.

4.Avec la clé :=â >;

L:ttâ v;á détailler les calculs pour la lettre B.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42