[PDF] Chapitre 3. Estimation Feb 2 2017 Définition:

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Chapitre 3. Estimation

Pierre Duchesne

February 2, 2017

Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Chapitre 3. Estimation

SoitXun caractère étudié dans une populationP. On suppose que l"on connaît la loi deXmais à un (ou plusieurs) paramètres près. Exemple:SoitXle nombre de pièces défectueuses produite par une machine dans un lot denpièces. Dans un lot den pièces sélectionnées au hasard et avec remise, nous avons ici que

XBin(n;):

Ici, c"estqui est le paramètre inconnu.Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation Plus formellement, la loi deXappartient à une famille de loi: fFg2; oùest appeléespace paramétrique. Dans l"exemple précédent,XBin(n;)et = [0;1].

La famille de lois correspondante est alors:

fBin(n;)g2[0;1]:Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation Exemple:La taille d"un individu peut être modélisée par une loi normale. SoitX:la taille d"un individu adulte demeurant à Montréal. On aura donc queX N(;2). La famille de lois est alors: fN(;2)g(;2)2RR+

Dans ce cas-ci, =RR+.

Dans cet exemple, le paramètre est le vecteur= (;2)>, qui est de dimension deux, ou encore bivarié.

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En clair, la loi deXsera entièrement connue si on connaît la valeur du paramètre inconnu(ousi le paramètre est de dimension supérieure à un). La théorie de l"estimation a pour principal objectif d"approcher numériquement la valeur du paramètre inconnu.

On distingue deux formes d"estimation:

(i)Estimation ponctuelle: attribuer une valeur unique à (ou encore à). (ii)Estimation par intervalle de confiance: attribuer un ensemble de valeurs à. Règle générale, l"estimation se fait au moyen de l"information puisée dans un échantillon.

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Chapitre 3.1 Estimation ponctuelle

SoitXun caractère étudié et soitE:X1;:::;Xnun échantillon associé àX.

Définition: Un estimateur est une statistique

T=t(X1;:::;Xn)

telle que son support (c"est-à-dire l"ensemble des valeurs qu"elle est susceptible de prendre) soit situé dansl"espace paramétrique.

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Exemple: ConsidéronsXN(;1). L"espace paramétrique du paramètre est ici =R. SoitE:X1;:::;Xnun échantillon associé àX. Les fonctions suivantes sont des exemples de statistiques: a)T1=X1; b)T2= (X1+X2)=2; c)T3= (minfX1;:::;Xng+maxfX1;:::;Xng)=2; d)T4=médianefX1;:::;Xng; e)T5=1n2P n i=2Xi+X20101X2010n; f)T6=1n P n i=1Xi. Il y a plusieurs estimateurs possibles dans un problème donné. C"est au moyen de critères que l"on va départager les estimateurs.

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Critère 1: Absence de biais

Dans ce qui suit,

^sera une notation pour un estimateur du paramètre. Définition:Un estimateur^deest dit sans biais si:

E(^) =;82:

Ainsi, cette condition d"absence de biais assure que, à la longue, les situations où l"estimateur surestime et sous-estime vont s"équilibrer, de sorte que la valeur estimée sera correcte en moyenne. Une interprétation physique à l"absence de biais est que l"espérance mathématique est une mesure de position, de sorte que le centre de gravité de^est le paramètre que l"on veut estimer.

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Définition:Le biais d"un estimateur^deest la quantité: b (^) =E(^): On note que le signe a un sens ici. Un estimateur possèdera un biais positif si en moyenne il sur-estime la vraie valeur.

Il aura un biais négatif sinon.

Un estimateur^est sans biais poursi et seulement si b (^) =0,82.Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation Théorème:SoitE:X1;:::;Xnun échantillon associé àX, tel queE(X) =et var(X) =2. AlorsXest un estimateur sans biais pour. En effet:

E(X) =1n

E nX i=1X i! 1n fnX i=1E(Xi)g=:

Siest connu,S2=1n

P n i=1(Xi)2est sans biais pour2.

En effet:

E(^2) =1n

E( nX i=1(Xi)2) 1n fnX i=1

2g=2:Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Finalement, siest inconnu,S2=1n1P

n i=1(XiX)2est sans biais pour2. Pour montrer le résultat facilement, on note que l"on peut réécrireS2=1n1P n i=1(YiY)2, avecYi=Xi. Donc, sans perte de généralité, on peut supposer queE(Xi) =0.

On supposeE(Xi) =0. OrS2=1n1(Pn

i=1X2inX2). Ainsi E(Pn i=1X2i) =n2. De mêmeE(X2) =var(X) =2=n. Donc:

E(S2) =1n1(n22) =2:

Remarque:On note que le résultat de ce théorème est valide quelque soit la loi (en particulier nous n"avons pas présumé la normalité).

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Critère 2: Erreur quadratique moyenne minimale

Définition: L"erreur quadratique moyenne d"un estimateur^est: EQM (^) =En (^)2o On note que la littérature anglophone note MSE dont le sens estmean squared error. Un résultat important exprime l"EQM en fonction de la variance et du biais carré: EQM (^) =var(^) +b2(^):Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Proposition:EQM(^) =En

(^)2o =var(^) +b2(^): Pour montrer le résultat, on utilise l"artifice suivant: ^)2=n^E(^) +E(^)o 2; n^E(^)o

2+2n^E(^)on

E(^)o +n E(^)o 2; n^E(^)o

2+2n^E(^)o

b (^) +b2(^); On prend alors l"espérance mathématique de chaque côté.

On note queEn

(^E(^))2o =var(^); en effet, par définition, var(X) =Ef(XE(X))2g.

De mêmeEn^E(^)o

=E(^)E(^) =0.Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation Plus l"EQM d"un estimateur est petit, plus l"estimateur est considéré précis. On note que si^est un estimateur sans biais de, alors: EQM (^) =var(^): Ceci fait ressortir tout l"intérêt que l"on peut porter à la variance d"un estimateur, comme critère de précision d"une classe composée de certains estimateurs.

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L"application simultanée des critères 1 et 2 peut être conflictuelle.

Exemple:Supposons queXN(;2), oùest inconnue et

considérons deux estimateurs de2: S

2=1n1n

X i=1(XiX)2;quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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