[PDF] Mathématiques - département MP S2

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Math´ematiques - d´epartement MP, S2

11 mars 2006

Table des mati`eres

1 Courbes param´etr´ees 2

1.1´Equation cart´esienne, ´equation param´etrique, ´equation polaire3

1.1.1 La droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.1.2 Le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.1.3 L"ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.1.4 La cyclo¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.1.5 L"astro¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.1.6 Courbes de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.2 Tangente et Points stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.3 Points multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.5 Tableau de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

2 Solutions 19

1

1 Courbes param´etr´ees

On se placera toujours dans un rep`ere orthonormal (O,-→i ,-→j).D´efinition1.0.1Soientfetgdeux fonctions d´efinies et continues respec-

tivement sur les intervallesDfetDgdeR. Soittune variable r´eelle. Pourtappartenant `aDf∩ Dg, l"ensemble des pointsMde coordonn´ees (f(t),g(t))d´efinit une courbe dontl"´equation param´etriqueest?x=f(t) y=g(t)

La variabletestle param`etre.

L"ensembleDf∩ Dgestl"ensemble de d´efinition.Exercice1.0.1Quel est l"ensemble de d´efinition de la courbe d´efinie par

?x=⎷t+ 1 y=⎷1-t. Pour tracer la courbe, on cherche l"ensemble des valeurs du param`etre par

lesquels on obtient toute la courbe :-Si les fonctionsfetgsont paires ou impaires, on peut restreindre

l"ensemble de d´efinition pour tracer la courbe, et utiliser ensuite une

sym´etrie pour finir le trac´e-si les fonctionfetgsont p´eriodiques, on peut restreindre l"ensemble de

d´efinition pour tracer la courbe, et utiliser ensuite une sym´etrie pour finir le trac´e

Cet ensemble s"appellel"ensemble d"´etude.Exercice1.0.2Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par

?x(t) = sin(2t) y(t) = cos(3t)Exercice1.0.3Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) = sin(4t) y(t) = cos(2t)Exercice1.0.4Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) =t+1t y(t) =t-1t Exercice1.0.5Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) = (cost)3 y(t) = (sint)3Exercice1.0.6Quel est l"ensemble d"´etude de la courbe d´efinie par ?x(t) = cost y(t) =t2 + sint2 1.1 ´Equation cart´esienne, ´equation param´etrique, ´equation polaireD´efinition1.1.1´ Etant donn´ee une fonctionf:R2→R, on appelle courbe d"´equation cart´esiennef(x,y) = 0l"ensemble des pointsM(x,y)dont les

coordonn´ees v´erifient cette ´equationExemple1.1.1Le cercle de centreC(a,b)et de rayon R admet(x-a)2+

(y-b)2=R2comme ´equation cart´esienne.Remarque1.1.1Une ´equation cart´esienne n"est pas forc´ement de la forme

y=f(x). Une courbe dont on a la repr´esentation param`etr´ee ne peut pas forc´ement s"´ecrire sous la forme d"une ´equation cart´esienney=f(x) car `a deux valeurs diff´erentes du param`etre peuvent correspondre plusieurs points de mˆeme abs- cisse. N´eanmoins, en ´eliminant le param`etretentrexety, on peut obtenir une

´equation de la formef(x,y) = 0.D´efinition1.1.2On peut ´egalement rep´erer un pointMdans le plan en

utilisant sa distance `a l"origine Oρ(θ)et l"angleθform´e par les droitesOM etOx. Sescoordonn´ees polairessont alors(θ,ρ(θ)). On peut facilement ramener une ´equation polaire `a une ´equation param`etr´ee x=ρ(θ)cosθ,y=ρ(θ)sinθ. Certaines courbes ont une ´equation simple en coordonn´ees polaires : par exemple, la courbe d´efinie parρ(θ) = 3cos2θ:3

1.1.1 La droite

Soit un vecteur

-→uet un pointA. L"ensemble des pointsMde l"espace tels que--→AM=t-→u, avect?R, est la droite de vecteur directeur-→upassant par A.`A chaque valeur du param`etretcorrespond un point unique de la droite. R´eciproquement, `a chaque pointMde la droite correspond une va- leur unique du param`etret. Si le vecteur-→ua pour coordonn´ees (α,β) et le pointAa pour coordonn´ees (xA,yA) alors la droite est d´efini par?x(t) =αt+xA y(t) =βt+yA Le vecteur-→un"est pas unique, ni le point A donc l"´equation param´etrique

d"une droite n"est pas unique.Proposition1.1.1Soit la droite(D)d"´equationax+by+c= 0.1.Sia?= 0, on peut prendre?x(t) =bt-ca

y(t) =-atcomme param`etrisation.2.Sia= 0etb?= 0, on peut prendre?x(t) =bt y(t) =-at-cb comme pa-

ram`etrisation.Exercice1.1.1Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(1,-2) et dirig´ee par le vecteur-→u(1,2).Exercice1.1.2Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(-3,4) et dirig´ee par le vecteur-→u(0,1).Exercice1.1.3Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(0,1) et dirig´ee par le vecteur-→u(-1,1).Exercice1.1.4Donner une´equation param´etrique et une´equation cart´esienne

de la droiteDpassant parA(2,-1) et ayant comme vecteur normal-→n(3,2).Exercice1.1.5SoitDla droite d"´equation param´etrique?x(t) = 1 + 3t

y(t) =-1 +t.

Donner une ´equation cart´esienne de cette droite.Exercice1.1.6SoitDla droite d"´equation cart´esienne 2x+ 3y+ 1 = 0.

Donner une ´equation param´etrique de cette droite.4

1.1.2 Le cercle

Un cercle est une figure g´eom´etrique plane, constitu´ee des points situ´es `a ´egale distance d"un point nomm´e centre. La valeur de cette distance est le

rayon du cercle. La surface d´elimit´ee par un cercle est un disque.Proposition1.1.2Soienta,betRr´eels. Tout syst`eme d"´equation param`etrique

de la forme ?x=a+Rcost y=b+Rsint,t?[0,2π] repr´esente un cercle de centre(a,b)et de rayon R. Une ´equation cart´esienne du cercle de centre(a,b)et de rayon R est(x- a)2+ (y-b)2=R2.Exercice1.1.7Donner une´equation param`etrique et une´equation cart´esienne

du cercle de rayon 2 et de centre (1,2).D´efinition1.1.3On appellecordeun segment de droite dont les extr´emit´es

se trouvent sur le cercle. Unarcest une portion de cercle d´elimit´ee par deux points. On appellerayonun segment de droite joignant le centre du cercle `a un point du cercle. La longueur d"un rayon est ´evidemment le rayon r du cercle. Undiam`etreest une corde passant par le centre; c"est un segment de droite qui d´elimite le disque en deux parts de surfaces ´egales. Le diam`etre est com- pos´e de deux rayons colin´eaires; sa longueur est 2r.5

1.1.3 L"ellipse

L"ellipse est une courbe plane qui fait partie de la famille des coniques. Elle est obtenue par l"intersection d"un plan avec un cˆone de r´evolution lorsque ce plan traverse de part en part le cˆone. Le cercle est alors un cas particulier

de l"ellipse(plan de coupe perpendiculaire).Les ellipses sont des coniques particuli`eres. Les coniques forment une fa-

mille de courbes planes r´esultant de l"intersection d"un plan avec un cˆone de r´evolution :On peut d´efinir les ellipse de plusieurs mani`eres. Par exemple : D´efinition1.1.4SoientFetF?deux points distincts du plan. On appelle ellipse de foyersFetF?, l"ensemble des points M du plan v´erifiant la pro- pri´et´e suivante : d(M,F) +d(M,F?) = 2a= 2⎷c

2+b2aveca?R+?,b?R+?6

o`u2aest la longueur du grand axe,2c=d(F,F?), et2best la longueur du

petit axe (perpendiculaire au grand axe).Proposition1.1.3Soientaetbr´eels. Tout syst`eme d"´equation param`etrique

de la forme?x=acost y=bsint repr´esente une ellipse de centre O, d"axes(O,-→i)et(O,-→j)et de longueur de demi-axes respectivesaetb.

Une ´equation cart´esienne?xa

2+?yb 2= 1.

1.1.4 La cyclo¨ıdeD´efinition1.1.5La courbe d´efinie par

?x(t) =R(t-sint) y(t) =R(1-cost)est ap- pel´eecyclo¨ıde. Imaginons qu"un cercle de rayon R roule sans glisser le long d"une droited. La cyclo¨ıde est la courbe d´ecrite par un point A de ce cercle au cours de ce roulement (par exemple la courbe d´ecrite par la valve de la chambre `a air de la roue d"une bicyclette).Cette courbe est tr`es importante dans l"´etude des trajectoires : 7 et aussi ´etonnant que cela puisse paraˆıtre : On peut ´egalement consid´erer le d´eplacement d"un point `a l"int´erieur du cercle mais les ´equations sont plus complexes.8

1.1.5 L"astro¨ıde

D´efinition1.1.6Soitaun r´eel positif. La courbe d"´equation param`etrique?x(t) =acos3t

y(t) =asin3test appel´eeastro¨ıde.Cette courbe est engendr´ee par un point M d"un cercle de rayonrroulant

sans glisser `a l"int´erieur d"un cercle de rayon 3r:Elle admet pour ´equation cart´esienne|x|2/3+|y|2/3=a2/3ou (x2+y2-a2)3+

27a2x2y2= 0.9

1.1.6 Courbes de Lissajous

D´efinition1.1.7Soienta,betm,ndes r´eels positifs. Les courbes d"´equation param`etrique?x(t) =asin(mt) y(t) =bcos(nt)sont appel´eescourbe de Lissajous. Ces courbes sont notamment obtenues sur un oscilloscope utilis´e en mode XY, on applique sur l"entr´ee X la tensionX(t) =Acos(wxt) et sur l"entr´ee Y la tensionY(t) =Bcos(wyt-j). La courbe r´esultante est une courbe de

Lissajous.

L"allure de ces courbes change suivant les valeurs demetn. Elles sont tou-

Si le quotient

mn est rationnel, la coube se ferme car les p´eriodes2πm et2πn ont unmultiplecommun (la courbe est alors p´eriodique).10

1.2 Tangente et Points stationnaires

D´efinition1.2.1SoitM0(t0)? C. On dit queCadmetune tangente en M

0si et seulement si la droite(M0M)avecM=M(t)a une limite quand

M→M0, c"est-`a-dire quandt→t0.

Cette droite est alors la tangente `aCenM0.

On parlera de demi-tangente s"il existe une limite `a droite et une limite `a gauche. Cela revient `a dire que si les fonctionsfetgsont d´erivables ent0telles que (f?(t0),g?(t0))?= (0,0)alors le vecteur(f?(t0),g?(t0))est le vecteur directeur de la tangente enM0(t0)`a la courbeC.Dans ce cas, le pointM(t0)estun point ordinaire. Une repr´esentation de la tangente est alors donn´ee par ?x=f(t0) +f?(t0)(t-t0) y=g(t0) +g?(t0)(t-t0)11 D´efinition1.2.2SoitCla courbe d´efinie par?x=f(t) y=g(t). Soitt0tel que f ?(t0) =g?(t0) = 0. Le pointM(t0)est ditstationnaireousingulier.Exercice1.2.1´ Etudier les points stationnaires de la courbe param´etr´ee par?x(t) = sint y(t) =cos2t2-costExercice1.2.2´ Etudier les points stationnaires de la courbe param´etr´ee par?x(t) = (1 + cost)sin2t y(t) = cos2tExercice1.2.3´ Etudier les points stationnaires de la courbe de Lissajous suivante :?x(t) = cos(6t) y(t) = sin(3t)Exercice1.2.4On consid`ere une courbe de Lissajous donn´ee par ?x(t) = cos(3t) y(t) = sin(2t).

Quelles sont ces tangentes aux pointst= 0,t=π4

ett=π3 Sit0est un point singulier, le vecteur (f?(t0),g?(t0)) est nul. Il faut donc

trouver un autre vecteur pour d´efinir la tangente :D´efinition1.2.3Soitptel que(x?(t0),y?(t0)) = (x??(t0),y??(t0)) =···=

(x(p-1)(t0),y(p-1)(t0)) = (0,0), et(x(p)(t0),y(p)(t0))?= (0,0). La tangente `aC enM(t0)est la droite qui passe parM(t0)et qui a comme vecteur directeur (x(p)(t0),y(p)(t0)).Exercice1.2.5On consid`ere une cyclo¨ıde de rayon 1. Quelles sont les tan- gentes `a la courbe aux pointst=π,t=π2 ett= 0?Exercice1.2.6On consid`ere une astro¨ıde. Quelles sont les tangentes `a la courbe aux pointst=π,t=π2 ett= 0? Position de la courbe par rapport `a la tangente, nature des points stationnaires On peut ´etudier la position de la courbeCpar rapport `a la tangente : on d´efinit p= min{p?N?/(x(p)(t0),y(p)(t0))?= (0,0)}12 et q= min{q?N?>p/(x(q)(t0),y(q)(t0)) et (x(p)(t0),y(p)(t0)) ne sont pas colin´eaires} On a plusieurs cas possibles :1.Sipest pair etqimpair, la courbeCtraverse la tangente enM(t0).

C"estun point de rebroussement de premi`ere esp`ece.2.Sipest pair etqpair, la courbeCne traverse pas la tangente enM(t0).

C"estun point de rebroussement de deuxi`eme esp`ece.3.Sipest impair etqimpair, la courbeCtraverse la tangente enM(t0).

C"estun point d"inflexion.4.Sipest impair etqpair, la courbeCtouche la tangente enM(t0). C"est

un m´eplatou un point ordinaire.ppair etqimpairppair etqpairpoint de rebroussement de 1`ere esp`ecepoint de rebroussement de 2`eme esp`ece

pimpair etqimpairpimpair etqpairpoint d"inflexionpoint ordinaire 13 Exercice1.2.7Quels sont les points singuliers de la courbe d´efinie par ?x=-t3+t4 y=t3?

Vous pr´eciserez leur nature et l"´equation de la tangente en ces points.Exercice1.2.8Quels sont les points singuliers de la courbe d´efinie par

?x=t2 y=t2+t3?

Vous pr´eciserez leur nature et l"´equation de la tangente en ces points.Exercice1.2.9Quels sont les points singuliers de la courbe d´efinie par

?x=t3 y=t3+t5? Vous pr´eciserez leur nature et l"´equation de la tangente en ces points.

1.3 Points multiples

Il existe d"autres points remarquables dans une courbe :D´efinition1.3.1S"il existet1?=t2tels queM(t1) =M(t2), on dit que

M(t1)estun point multipleExercice1.3.1Quels sont les points multiples de la courbe d´efinie par ?x(t) = cos(3t)

y(t) = sin(2t)pourt?[0,2π]?Exercice1.3.2Quels sont les points multiples de la courbe d´efinie par

?x(t) =t2+2t y(t) =t2+1t

2Exercice1.3.3Quels sont les points multiples de la courbe d´efinie par

?x(t) = cos(t) y(t) = sin(3t)pourt?[0,2π]?

1.4 Branches infiniesD´efinition1.4.1La courbeCpr´esente une branche infinie si au moins une

de ses coordonn´ees tend vers l"infini quandttend verst0?R? {±∞}.

On a plusieurs cas possibles :14

1.lim t→t0x(t) =l?Ret limt→t0y(t) =±∞: Cadmet la droite d"´equationx=lcomme asymptote verticale.2.lim t→t0x(t) =±∞et limt→t0y(t) =l?R: Cadmet la droite d"´equationy=lcomme asymptote horizontale.3.lim t→t0x(t) =±∞et limt→t0y(t) =±∞: on ´etudie lim t→t0y(t)x(t):(a)Si lim t→t0y(t)x(t)=±∞alorsCadmet une branche parabolique dans la directionOy.(b)Si lim t→t0y(t)x(t)= 0 alorsCadmet une branche parabolique dans la directionOx.(c)Si lim t→t0y(t)x(t)=a?= 0, on ´etudie la fonctiony-ax:i.Si lim t→t0y(t)-ax(t) =b?RalorsCadmet la droite d"´equation y=ax+bcomme asymptote et la position deCpar rapportquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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