[PDF] Chapitre 1 Courbes paramétrées





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COURBES PARAMETREES

1 nov. 2004 On sait déj`a tracer des trajectoires particuli`eres celles o`u x(t) = t. ... Etude du point singulier en t = 0 de la courbe paramétrée par ...



Chapitre 1 Courbes paramétrées

x(t) y(t) t ? I où les fonctions x et y sont infiniment dérivables on note M(t) le point de paramètre t. Page 10. Étude et tracé d'une courbe paramétrée.



Courbes paramétrées

Mini-exercices. 1. Faire une étude complète et le tracé de la courbe définie par x(t) = tan t. 3 y 



1 Tracé dune courbe explicite y = f(x)

Le graphe d'une fonction correspond ainsi au cas f(t) = t. • — Le programme “type”. Un programme SCILAB de base pour tracer la courbe paramétrée {(f(t) 



F411 - Courbes Paramétrées Polaires

du plan (C) appelée courbe paramétrée (de paramètre t) Courbes Cartésiennes ?? Courbes paramétrées ... tracer la courbe associée au domaine réduit.



Courbes planes

Montrer que le support de la courbe paramétrée par. { x(t) = cost +3 Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes : 1. { x(t) = cos3 t.



Chapitre 6 Courbes paramétrées

points pour la tracer. 6.2 Courbes paramétrées en coordonnées car- tésiennes ... Une courbe paramétrée est une courbe dont l'abscisse et l'or-.



Chapitre 6 - Fonctions vectorielles et courbes paramétrées - Cours

A - Restreindre l'intervalle d'étude d'une courbe paramétrée . . . . . . . . . 7. B - Tracer une courbe paramétrée du plan.



TP : Courbes paramétrées (avec Geogebra)

Certaines polices de caractères utilisent des courbes paramétrées pour 3°) La commande la plus complète pour tracer une courbe paramétrée est la.



Courbes paramétrées Courbes polaires

On considère la courbe paramétrée définie par les équations on commencera par tracer la courbe pour ? dans un intervalle de longueur 2?.



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La courbe est un moyen de résumer graphiquement toutes les étapes précédentes Il ne sert `a rien de placer énormément de points pour la tracer Il faut (et il 



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Dans ce chapitre nous allons voir les propriétés fondamentales des courbes paramétrées Commençons par présenter une courbe particulièrement intéressante



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Tracer la courbe (C ) Exercice 2 Dans le plan P rapporté au repère orthonormé on considère la courbe (C ) dont une représentation paramétrique est :



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6 Tracé : On trace le support de f : on commence par représenter les asymptotes les points stationnaires les points `a tangente verticale ou horizontale et 



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Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à 5 Il n'est pas interdit de calculer certains points de la courbe afin de faire un 



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2) Une courbe paramétrée peut avoir une tangente sans que les fonctions x et y soient dérivables C'est le cas par exemple de x(t) = ?t y(t) = t 3 



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1 nov 2004 · On sait déj`a tracer des trajectoires particuli`eres celles o`u x(t) = t Etude du point singulier en t = 0 de la courbe paramétrée par 



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On considère la courbe paramétrée définie par les équations on commencera par tracer la courbe pour ? dans un intervalle de longueur 2?



[PDF] Courbes paramétrées

b) Comment tracer une courbe paramétrée ? Nous allons tracer la courbe paramétrée C définie dans le repère orthonormé ( O ; i ; j ) par :

  • Comment tracer une courbe paramétrée ?

    Tracer la courbe décrite par x(t) = sin(2t), y(t) = sin(3t) pour t ? R. Comme vu plus haut, on étudie la courbe sur l'intervalle [0, ?/2] et on compl`ete le tracé par deux symétries. On place d'abord les points et les tangentes correspondant aux valeurs t = 0, ?/6, ?/4 et ?/2.1 nov. 2004

  • Comment étudier des courbes dans le plan ?

    Pour étudier une courbe d'équation y = f(x) (ou simplement étudier une fonction f), le schéma est le suivant : – On commence par chercher l'ensemble de définition de la fonction f. Eventuellement, si la fonction est paire/impaire, périodique, on peut restreindre l'intervalle d'étude.

  • Comment montrer qu'une courbe est régulière ?

    Définition. – Une courbe géométrique est dite RÉGULIÈRE si l'un de ses représentants ?0 : I ?? R2 ou R3 est régulier en tous points. NORMALE. dim Vect(?(p)(t0),?(q)(t0)) = 2.
  • Il n'est pas possible de créer une courbe paramétrée passant par des points donnés. Cependant vous pouvez essayer par ex. la Commande AjustPoly pour obtenir une fonction dont la courbe représentative passe par ces points.
Chapitre 1 Courbes paramétrées Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe

Chapitre 1

Courbes paramétréesSébastien Pellerin

http://sebastien.pellerin.free.fr sebastien.pellerin@u-psud.frJanvier 2007 Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe

Plan du chapitre

1Étude et tracé d"une courbe paramétrée

2Propriétés métriques d"une courbe

Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe

Plan du chapitre

1Étude et tracé d"une courbe paramétrée

2Propriétés métriques d"une courbe

Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe

Définition

Définition

Soitxetydéfinies sur un ensembleIdeR.

On noteΓl"ensemble des pointsM(t)de coordonnées?x(t),y(t)?. AlorsΓest unecourbe paramétréedereprésentation paramétrique ?x(t) y(t) t?I.On dit queM(t)est le point deΓde paramètret. Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe

Définition

Exemple

Le cercle de centre O et de rayon1est une courbe paramétrée dont des représentations paramétriques sont par exemple ?x(t) =cost y(t) =sint t?[0,2π]et? ?x(t) =cos(2t) y(t) =sin(2t) t?[0,π]. Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe

Définition

Exemple

Une courbe d"équation y=f(x)pour x?I est une courbe paramétrée de représentation paramétrique est? ?x(t) =t y(t) =f(t) t?I. Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe

Définition

Exemple

La courbe paramétrée définie par

?x(t) =1+t y(t) =2t t?Rest une droite.0 1M(t) x(t)y(t) ~u Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe

Définition

Exemple

La courbe paramétrée définie par

?x(t) =1+t y(t) =2t t?Rest une droite.0 1M(t) x(t)y(t) ~u Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

SoitΓde représentation paramétrique?

?x(t) y(t) t?Ioù les fonctionsxet ysont infiniment dérivables, on noteM(t)le point de paramètret. Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Définition

SoitM(t0)le point deΓde paramètret0.

On dit queM(t0)est unpoint régulierdeΓsi?x?(t0) y ?(t0)? ?=?0 0? Sinon on dit queM(t0)est unpoint stationnairedeΓ. Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Définition

SoitM(t0)le point deΓde paramètret0.

On dit queM(t0)est unpoint régulierdeΓsi?x?(t0) y ?(t0)? ?=?0 0? Sinon on dit queM(t0)est unpoint stationnairedeΓ.On dit que ?x?(t0) y ?(t0)? est levecteur dérivéenM(t0). Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Définition

SoitM(t0)le point deΓde paramètret0.

On dit queM(t0)est unpoint régulierdeΓsi?x?(t0) y ?(t0)? ?=?0 0? Sinon on dit queM(t0)est unpoint stationnairedeΓ.On dit que ?x?(t0) y ?(t0)? est levecteur dérivéenM(t0).Théorème

Soit M(t0)un point régulier deΓ.

AlorsΓadmet une tangente au point M(t0)dirigée par?x?(t0) y ?(t0)? Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Théorème

Soit M(t0)un point régulier deΓ.

AlorsΓadmet une tangente au point M(t0)dirigée par?x?(t0) y ?(t0)? Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Théorème

Soit M(t0)un point régulier deΓ.

AlorsΓadmet une tangente au point M(t0)dirigée par?x?(t0) y ?(t0)? .M(t0)

M(t0)M(t)

Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Exemple

SoitCparamétré par?

?x(t) =cost y(t) =sint t?[0,2π].La tangente en M ?π4 ?est dirigée par ?x??π4 y ??π4 =?-sin?π4 cos ?π4 -⎷2 2 ⎷2 2 =⎷2 2 ?u où?u=?-1 1? .0 1M( 4)~u Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Exemple

SoitCparamétré par?

?x(t) =cost y(t) =sint t?[0,2π].La tangente en M ?π4 ?est dirigée par ?x??π4 y ??π4 =?-sin?π4 cos ?π4 -⎷2 2 ⎷2 2 =⎷2 2 ?u où?u=?-1 1? .0 1M( 4)~u Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Remarques

?Soit M(t0)un point régulier deΓ. Si x ?(t0)?=0alors la tangente àΓen M(t0)a pour coefficient directeur y?(t0)x ?(t0). Si x

?(t0) =0alors la tangente àΓen M(t0)est verticale.?SoitΓd"équation y=f(x)où f est dérivable.

AlorsΓest paramétrée par?

x=t y=f(t).

On a x

?(t) =1et y?(t) =f?(t)donc la tangente en M(t0)est dirigée par?1 f ?(t0)? i.e. le coefficient directeur esty?(t0)x ?(t0)=f?(t0). Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Remarques

?Soit M(t0)un point régulier deΓ. Si x ?(t0)?=0alors la tangente àΓen M(t0)a pour coefficient directeur y?(t0)x ?(t0). Si x

?(t0) =0alors la tangente àΓen M(t0)est verticale.?SoitΓd"équation y=f(x)où f est dérivable.

AlorsΓest paramétrée par?

x=t y=f(t).

On a x

?(t) =1et y?(t) =f?(t)donc la tangente en M(t0)est dirigée par?1 f ?(t0)? i.e. le coefficient directeur esty?(t0)x ?(t0)=f?(t0). Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Remarques

?Soit M(t0)un point régulier deΓ. Si x ?(t0)?=0alors la tangente àΓen M(t0)a pour coefficient directeur y?(t0)x ?(t0). Si x

?(t0) =0alors la tangente àΓen M(t0)est verticale.?SoitΓd"équation y=f(x)où f est dérivable.

AlorsΓest paramétrée par?

x=t y=f(t).

On a x

?(t) =1et y?(t) =f?(t)donc la tangente en M(t0)est dirigée par?1 f ?(t0)? i.e. le coefficient directeur esty?(t0)x ?(t0)=f?(t0). Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Plus généralement, on pose

V(t) =?x(t)

y(t)? ,-→V1(t) =?x?(t) y ?(t)? ,-→V2(t) =?x??(t) y ??(t)? ,-→V3(t) =?x???(t) y ???(t)? Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Plus généralement, on pose

V(t) =?x(t)

y(t)? ,-→V1(t) =?x?(t) y ?(t)? ,-→V2(t) =?x??(t) y ??(t)? ,-→V3(t) =?x???(t) y ???(t)? ,...Théorème

Soit M(t0)un point deΓ.

Si l"un des vecteurs

?V1(t0),?V2(t0),?V3(t0),...est non nul alorsΓadmet une tangente en M(t0)dirigée par le premier de ces vecteurs qui soit non nul. Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Exemples

?SoitΓparamétrée par? x(t) =t4+t2 y(t) =et3+3t2-(t3+3t2). Étude de la tangente en M(0).?SoitΓ?paramétrée par? ?x(t) =4t-3t 2+1 y(t) =2t-1t 2+2.

Étude de la tangente en M(2).

Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Exemples

?SoitΓparamétrée par? x(t) =t4+t2 y(t) =et3+3t2-(t3+3t2). Étude de la tangente en M(0).?SoitΓ?paramétrée par? ?x(t) =4t-3t 2+1 y(t) =2t-1t 2+2.

Étude de la tangente en M(2).

Étude et tracé d"une courbe paramétréePropriétés métriques d"une courbe Étude locale d"une courbe : tangente en un point

Exemples

?SoitΓparamétrée par? x(t) =t4+t2 y(t) =et3+3t2-(t3+3t2). Étude de la tangente en M(0).?SoitΓ?paramétrée par? ?x(t) =4t-3t 2+1 y(t) =2t-1t 2+2.

Étude de la tangente en M(2).

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