Courbes paramétrées
La tangente en un point régulier est dirigée par le vecteur dérivé en ce point. Page 10. COURBES PARAMÉTRÉES. 2. TANGENTE À UNE COURBE PARAMÉTRÉE. 10.
Courbes paramétrées
Exo7. Courbes paramétrées. Exercices de Jean-Louis Rouget. Etudier et construire la courbe de paramétrisation : { x = acos3 t y = asin3 t.
Courbes planes
possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ?. Vidéo ?. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.
Exercices de mathématiques - Exo7
Etude métrique des courbes ? est l'arche de cycloïde de représentation paramétrique { ... C est le support de la courbe paramétrée t ?? M(t) = (.
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Dessiner les courbes paramétrées t ? (costsint) et t ? (cht
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
études de fonctions au tracé de courbes paramétrées et à la résolution d'équations différentielles. Les efforts que vous devrez fournir sont importants
Cours de mathématiques - Exo7
études de fonctions au tracé de courbes paramétrées et à la résolution d'équations différentielles. Les efforts que vous devrez fournir sont importants
Cours de mathématiques - Exo7
En plus des graphes de fonctions Sage sait tracer des courbes et des surfaces par d'autres méthodes. 6.1. Courbes paramétrées. La commande parametric_plot((f(t)
Courbes en polaires
Exo7. Courbes en polaires. Exercices de Jean-Louis Rouget. Etude complète de la courbe d'équation polaire r = 2cos?+1. 2sin?+1 . Correction ?. [005531].
Cours de mathématiques - Exo7
1. n = 1 p = 2. f : I ? ? 2 est représentée par une courbe paramétrée du plan. [[figure à faire]] [[ dire {(x(t)
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Dans ce chapitre nous allons voir les propriétés fondamentales des courbes paramétrées Commençons par présenter une courbe particulièrement intéressante
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Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le point M (on prendra t pour paramètre) (b) Etudier et construire l'arc paramétré :{ x = R(t ?sint) y
[PDF] Courbes planes - Exo7 - Exercices de mathématiques
2 Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes Exercice 3 Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes: 1 { x(t) = cos3 t y(t) = sin3 t
[PDF] Etude métrique des courbes - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 1 Longueur L de (?) dans chacun des cas suivants : 1 ? est l'astroïde de représentation paramétrique { x = acos3 t y = asin3 t (a >
[PDF] Courbes en polaires - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 3 La cardioïde Soit la courbe d'équation polaire r = a(1+cos?) a > 0 1 Construire la courbe 2 Longueur et développée Correction ? [005532]
[PDF] cours-exo7pdf
Plan d'étude d'une courbe paramétrée Une assertion P peut dépendre d'un paramètre x par exemple « x2 1 » l'assertion P(x) est vraie
[PDF] Courbes paramétrées Courbes polaires
On a ?(? - ?) = sin(3? - 3?) = sin(? - 3?) = sin(3?) = ?(?) La courbe est donc symmétrique par rapport à l'axe des ordonnées ce qui nous savions déjà Page 7
[PDF] Courbes et surfaces
Si on veut en avoir une il faut reparamétrer Pour cela on a besoin de la notion d'abscisse curviligne Définition 7 Soit ? : I ? Rd une courbe paramétrée
[PDF] Études de courbes paramétrées - Apprendre-en-lignenet
Études de courbes paramétrées 6 1 Définitions Remarques La courbe (C) n'est pas nécessairement le graphe d'une fonction ; c'est pourquoi
![[PDF] Courbes paramétrées - Exo7 - Cours de mathématiques [PDF] Courbes paramétrées - Exo7 - Cours de mathématiques](https://pdfprof.com/Listes/17/20626-17ch_courbes.pdf.pdf.jpg)
Courbes paramétrées
??? ?Dans ce chapitre nous allons voir les propriétés fondamentales des courbes paramétrées. Commençons par présenter
une courbe particulièrement intéressante. Lacycloïdeest la courbe que parcourt un point choisi de la roue d"un vélo,
lorsque le vélo avance. Les coordonnées(x,y)de ce pointMvarient en fonction du temps :x(t) =r(tsint)
y(t) =r(1cost) oùrest le rayon de la roue.xyLa cycloïde a des propriétés remarquables. Par exemple, la cycloïde renversée est une courbebrachistochrone: c"est-à-
dire que c"est la courbe qui permet à une bille d"arriver le plus vite possible d"un pointAà un pointB. Contrairement à
ce que l"on pourrait croire ce n"est pas une ligne droite, mais bel et bien la cycloïde. Sur le dessin suivant les deux
billes sont lâchées enAà l"instantt0, l"une sur le segment[AB]; elle aura donc une accélération constante. La seconde
parcourt la cycloïde renversée, ayant une tangente verticale enAet passant parB. La bille accélère beaucoup au début
et elle atteintBbien avant l"autre bille (à l"instantt4sur le dessin). Notez que la bille passe même par des positions
en-dessous deB(par exemple ent3).A Bt 1t 1t 2t 2t 3t 3t 4t 4COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE2
1. Notions de base
1.1. Définition d"une courbe paramétréeDéfinition 1.
Unecourbe paramétrée planeest une application f:DR!R2 t7!f(t)d"un sous-ensembleDdeRdansR2.Ainsi, unecourbe paramétréeest une application qui, à un réelt(leparamètre), associeun pointdu plan. On parle
aussi d"arc paramétré. On peut aussi la noterf:DR!R2 t7!M(t)ou écrire en abrégét7!M(t)out7!x(t) y(t).Enfin en identifiantCavecR2, on note aussit7!z(t) =x(t) +iy(t)avec l"identification usuelle entre le point
M(t) =x(t)
y(t) et son affixez(t) =x(t)+iy(t).xyx(t)y(t)M(t) =x(t),y(t)Par la suite, une courbe sera fréquemment décrite de manière très synthétique sous une forme du type
x(t) =3lnt y(t) =2t2+1,t2]0,+1[ouz(t) =eit,t2[0,2].Il faut comprendre quexetydésignent des fonctions deDdansRou quezdésigne une fonction deDdansC. Nous
connaissons déjà des exemples de paramétrisations.Exemple 1.
t7!(cost,sint),t2[0,2[: une paramétrisation du cercle trigonométrique. t7!(2t3,3t+1),t2R: une paramétrisation de la droite passant par le pointA(3,1)et de vecteur directeur
~u(2,3).7!(1)xA+xB,(1)yA+yB,2[0,1]: une paramétrisation du segment[AB].
Sifest une fonction d"un domaineDdeRà valeurs dansR, une paramétrisation du graphe def, c"est-à-dire de
la courbe d"équationy=f(x), estx(t) =t y(t) =f(t).xyM(t)costsintM(0)M(2
)M()M(32 )xy ~uAM(0)M(1)M(2)M(1)
COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE3xy
ABM(0)M(1)M()xy
x(t) =ty(t) =f(t)M(t)Il est important de comprendre qu"une courbe paramétrée ne se réduit pas au dessin, malgré le vocabulaire utilisé,
mais c"est bel et bienune application. Le graphe de la courbe porte le nom suivant :Définition 2.Lesupport d"une courbe paramétréef:DR!R2
t7!f(t)est l"ensemble des pointsM(t)oùtdécritD.Néanmoins par la suite, quand cela ne pose pas de problème, nous identifierons ces deux notions en employant le
motcourbepour désigner indifféremment à la fois l"application et son graphe. Des courbes paramétrées différentes
peuvent avoir un même support. C"est par exemple le cas des courbes : [0,2[!R2 t7!(cost,sint)et[0,4[!R2 t7!(cost,sint)dont le support est un cercle, parcouru une seule fois pour la première paramétrisation et deux fois pour l"autre (figure
de gauche).M(t)costsintM(t)(1,0)1t21+t22t1+t2Plus surprenant, la courbe t7!1t21+t2,2t1+t2 ,t2R,est une paramétrisation du cercle privé du point(1,0), avec des coordonnées qui sont des fractions rationnelles
(figure de droite).Ainsi, la seule donnée du support ne suffit pas à définir un arc paramétré, qui est donc plus qu"un simple dessin. C"est
unecourbe munie d"un mode de parcours. Sur cette courbe, on avance mais on peut revenir en arrière, on peut la
parcourir une ou plusieurs fois, au gré du paramètre, celui-ci n"étant d"ailleurs jamais visible sur le dessin. On " voit »
x(t),y(t), mais past.Interprétation cinématique.
La cinématique est l"étude des mouvements. Le paramètrets"interprète comme letemps.On affine alors le vocabulaire : la courbe paramétrée s"appelle plutôtpoint en mouvementet le support de cette courbe
porte le nom detrajectoire. Dans ce cas, on peut dire queM(t)est lapositiondu pointMàl"instant t.1.2. Réduction du domaine d"étude
Rappelons tout d"abord l"effet de quelques transformations géométriques usuelles surle pointM(x,y)(xetydésignant
les coordonnées deMdans un repère orthonormé(O,~i,~j)donné).Translation de vecteur~u(a,b):t~u(M) = (x+a,y+b).
Réflexion d"axe(Ox):s(Ox)(M) = (x,y).
COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE4
Réflexion d"axe(Oy):s(Oy)(M) = (x,y).
Symétrie centrale de centreO:sO(M) = (x,y).
Symétrie centrale de centreI(a,b):sI(M) = (2ax,2by). Réflexion d"axe la droite(D)d"équationy=x:sD(M) = (y,x). Réflexion d"axe la droite(D0)d"équationy=x:sD0(M) = (y,x).Rotation d"angle2
autour deO: rotO,=2(M) = (y,x).Rotation d"angle2
autour deO: rotO,=2(M) = (y,x). Voici la représentation graphique de quelques-unes de ces transformations.xyM= (x,y)t
~u(M) = (x+a,y+b)O~uxyM= (x,y)s
(Ox)(M) = (x,y)O xyM= (x,y)s
O(M) = (x,y)O
xyM= (x,y)rot
O,=2(M) = (y,x)
2OOn utilise ces transformations pour réduire le domaine d"étude d"une courbe paramétrée. Nous le ferons à travers
quatre exercices.Exemple 2.
Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible de la courbex(t) =t32 sint y(t) =132 costSolution.
Pourt2R,
M(t+2) =t+232
sin(t+2),132 cos(t+2) = (t32 sint,132 cost)+(2,0) =t~uM(t)où~u= (2,0). Donc, on étudie l"arc et on en trace le support sur un intervalle de longueur2au choix, comme
[,]par exemple, puis on obtient la courbe complète par translations de vecteursk(2,0) = (2k,0),k2Z.
Pourt2[,],
M(t) =(t32
sint),132 cost=s(Oy)M(t).On étudie la courbe et on en trace le support sur[0,](première figure), ensuite on effectue la réflexion d"axe(Oy)
(deuxième figure), puis on obtient la courbe complète par translations de vecteursk~u,k2Z(troisième figure).xy
xy xyCOURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE5
Exemple 3.
Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible d"unecourbe de Lissajousx(t) =sin(2t) y(t) =sin(3t)Solution.
Pourt2R,M(t+2) =M(t)et on obtient la courbe complète quandtdécrit[,]. •Pourt2[,],M(t) =sin(2t),sin(3t)=sOM(t). On étudie et on construit la courbe pourt2[0,], puis on obtient la courbe complète par symétrie centrale de centreO. Pourt2[0,],M(t) =sin(22t),sin(33t)=sin(2t),sin(3t)=sin(2t),sin(3t)=s(Oy)M(t). On étudie et on construit la courbe pourt2[0,2](première figure), on effectue la réflexion d"axe
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