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Exo7

Courbes paramétrées

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1Quelques grands classiques1.(**) L"astroïde. (a)aestunréelstrictementpositifdonné. Etudieretconstruirelacourbedeparamétrisation:x=acos3t y=asin3t. (b)

Pour t2]0;p2

[, on noteA(t)etB(t)les points d"intersection de la tangente au point courantM(t) avec respectivement(Ox)et(Oy). Calculer la longueurA(t)B(t). 2. (**) La cycloïde. (a) Un cercle (C), de rayonR>0, roule sans glisser sur l"axe(Ox). On noteIle point de contact entre (C)et(Ox)et on noteWle centre de(C)(WetIsont mobiles).Mest un point donné de(C)(M est mobile, mais solidaire de(C)). On poset= (\(!WM;!WI).xy M t O I

Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le pointM(on prendratpour paramètre).

(b) Etudier et construire l"arc paramétré : x=R(tsint) y=R(1cost)oùRest un réel strictement positif donné. 3. (**) Une courbe deLISSAJOUS. Etudier et construire l"arc paramétré :x=sin(2t) y=sin(3t) 4. (**) La lemniscate deBERNOULLI. Etudier et construire l"arc paramétré :(x=t1+t4 y=t31+t4 5. (***) Les tractrices. (a)

T rouverles trajectoires orthogonales à la f amilledes cercles de rayon R(R>0 donné) et centrés

sur(Ox). (b) Etudier et construire l"arc paramétré : x=R(lnjtant2 j+cost) y=RsintoùRest un réel strictement positif donné. 1

Construire les courbes de paramétrisations :

1. (x=t3(t+1)2(t1) y=t2t 21
2. x= (t+2)e1=t y= (t2)e1=t 3. x= (t1)ln(jtj) y= (t+1)ln(jtj) 4. x=2t1+t2 y=t+21t2 5. (x=tt

21y=t+2(t1)2

6. x=t3t 29
y=t(t2)t3 7. x=t31+3t y=3t21+3t 8. x=t2+t3 y=t2+t32t42t5

La courbe orthoptique d"une courbe(C)est le lieu des points du plan d"où l"on peut mener (au moins) deux

tangentes à(C), orthogonales. Déterminer l"orthoptique de(C)dans chacun des cas suivants :

1.(C)est un astroïde de paramétrisationx=acos3t

y=asin3t,a>0 donné.

2.(C)est l"arc paramétré :x=t22t

y=2t33t2.

3.(C)est l"ellipse d"équationx2a

2+y2b

2=1,(a;b)2]0;+¥[2.

Trouver les droites à la fois tangentes et normales à l"arc paramétré : x=3t2

Dans chacun des cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe proposée puis construire

1)x(y2x2) =2y2x22)x3y3+xy2x+2y+3=0

2

Exercice 6

Trouver une équation cartésienne des supports des arcs suivants : 1. x=t2 y=t2 2. x=t2 y=t3 3. (x=t1+t4 y=t31+t4 SoitTl"intersection de(Ox)et de la tangente enMetHle projeté orthogonal deMsur(Ox). Trouver les courbes telles que

1.MT=a(a>0 donné)

2.HT=a(sans rapport avec 1))

Correction del"exer cice1 N(les grands classiques)

1.L"astroïde.

(a)Domaine d"étude. • Pour tout réelt,M(t)existe.

• Pour tout réelt,M(t+2p) =M(t). Par suite, la courbe complète est obtenue quandtdécrit un

segment de longueur

2pcomme par exemple[p;p].

• Pour tout réelt,

M(t) =cos3(t)

sin 3(t) =cos3t sin3t =s(Ox)(M(t)):

On étudie et on construit la courbe pourt2[0;p], puis on obtient la courbe complète par réflexion

d"axe(Ox). • Pour tout réelt,

M(t+p) =cos3(t+p)

sin

3(t+p)

=cos3t sin3t =sO(M(t)): La portion de courbe obtenue quandtdécrit[p;0]est donc aussi la symétrique par rapport àOde la portion de courbe obtenue quandtdécrit[0;p]. Néanmoins, cette constatation ne permet pas de réduire davantage le domaine d"éude. • Pour tout réelt,

M(pt) =cos3(pt)

sin 3(pt) =cos3t sin 3t =s(Oy)(M(t)):

On étudie et on construit la courbe pourt20;p2

, puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe(Oy), puis par réflexion d"axe(Ox). • Pour tout réelt, M p2 t = cos3p2 t sin 3p2 t! =sin3t cos 3t =sy=x(M(t)):

On étudie et on construit la courbe pourt20;p4

, puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe la droite d"équationy=x, puis d"axe(Oy)et enfin d"axe(Ox). Variations conjointes de x et y:La fonctiont7!x(t)est strictement décroissante sur0;p4 et la fonctiont7!y(t)est strictement croissante sur0;p4 .Etude des points singuliers.Pourt2R, dMdt (t) =3acos2tsint

3asin2tcost

=3acostsintcost sint

Pour tout réelt, le vecteurcost

sint est unitaire et n"est donc pas nul. Par suite, dMdt (t) =!0,3acostsint=0,cost=0 ou sint=0,t2p2 Z: 4

Les points singuliers sont donc lesMkp2

,k2Z. Pourt=2p2

Z,M(t)est un point régulier et la

tangente enM(t)est dirigée par le vecteurcost sint . Etudions alors le point singulierM(0).

Pourt2p2

;p2 nf0g,

8sin3t2

cos3t2

2sin2t2

(cos2t+cost+1)=4sint2 cos3t2 cos

2t+cost+1;

etdonc, lim

t!0y(t)y(0)x(t)x(0)=0. (Sionconnaîtdéjàleséquivalents, c"estpluscourt:sin3t(cost1)(cos2t+cost+1)x!0

t 3 t22 3=2t3 !0). La courbe admet enM(0)une tangente dirigée par le vecteur(1;0). Par symétrie, lacourbeadmetégalementunetangenteenMp2 ,Mp2 etM(p), dirigéerespectivement par(0;1),(0;1)et(1;0). Toujours par symétrie, ces quatre points sont des points de rebroussement de première espèce. Il en résulte aussi que pour tout réelt;la tangente enM(t)est dirigée par le vecteur(cost;sint):

On en déduit la courbe.aa

-a -a??

A(t)B(t)

M(t) a(b)Soit t20;p2 . On a vu que la tangente(Tt)enM(t)est dirigée par le vecteur(cost;sint). Une équation cartésienne deTtest donc :sint(xacos3t)cost(yasin3t) =0, ou encore xsint+ycost=asintcost(Tt): puis que

8t2]0;p2

[;A(t)B(t) =a:2.La cycloïde. (a) La condition de roulement sans glissement se traduit par OI=MIou encorexW=Rt. On en déduit que 5 x

M=xW+x!WM=Rt+Rcos2pp2

t=RtRsint=R(tsint) et y

M=yW+y!WM=R+Rsin2pp2

t=RRcost=R(1cost). (b)Domaine d"étude. • Pour tout réelt,M(t)existe.

• Pour tout réelt,M(t+2p) =M(t)+!uoù!u(2pR;0). Par suite, on trace la courbe quandtdécrit

[0;2p]et la courbe complète est obtenue par translations de vecteursk!u,k2Z. • Pour tout réelt,M(t) = (x(t);y(t)) =s(Oy)(M(t)). On trace la courbe quandtdécrit[0;p], puis on complète par réflexion d"axe(Oy)puis par translations. Etude des points singuliers.Pourt2[0;p],x0(t) =R(1cost) =2Rsin2t2 ety0(t) =Rsint=

2Rsint2

cost2 . Le pointM(t)est régulier si et seulement sit2]0;p]. Dans ce cas, la tangente en

M(t)est dirigée par2Rsin2(t=2)

2Rsin(t=2)cos(t=2)

ou encore parsin(t=2) cos(t=2) . Etudions également le point singulierM(0). Pourt2]0;p], y(t)y(0)x(t)x(0)=R(1cost)R(tsint)t!0t 2=2t

3=6=3t

Ainsi, lim

t!0t>0y(t)y(0)x(t)x(0)= +¥et la tangente enM(0)est dirigée par(0;1). Ainsi, dans tous les cas, la tangente enM(t)est dirigée par le vecteursin(t=2) cos(t=2) . Par symétrie,M(0)est un point de rebroussement de première espèce. Sinon,xetysont des fonctions croissantes sur[0;p].R2R2R ?M3.une courbe deLISSAJOUSDomaine d"étude. • Pour tout réelt,M(t)existe. • Pour tout réelt,M(t+2p) =M(t)et la courbe complète est obtenue quandtdécrit[p;p]. • Pour tout réelt,

M(t) =sin(2t)

sin(3t) =sin(2t) sin(3t) =sO(M(t)): Onétudieetonconstruitlacourbepourt2[0;p], puisonobtientlacourbecomplèteparsymétriecentrale de centreO. • Pour tout réelt,

M(pt) =sin(2p2t)

sin(3p3t) =sin(2t) sin(3t) =s(Oy)(M(t)): 6

On étudie et on construit la courbe pourt20;p2

, puis on obtient la courbe complète par réflexion d"axe (Oy)puis par symétrie centrale de centreO.

• On note aussi queM(t+p) =s(Ox)(M(t)), mais cette constatation ne permet pas de réduire davantage

le domaine d"étude.

Variations conjointes dexety.Pourt20;p2

,x0(t) =2cos(2t)ety0(t) =3cos(3t). On en déduit immédiatement le tableau suivant :t0642 x0(t)+ 0- 1 x p3 20 0 1 y p2 20-1 y0(t)+ 0-puis on en déduit la courbe. 1-1 1 -1 t= 0t==6 t==4 t==3 t==2??

??Points multiples.D"abord, tout point de l"arc est multiple, puisque la courbe est parcourue une infinité

de fois. Il y a essentiellement deux vrais points multiples à déterminer, les autres s"en déduisent par

symétrie. L"un des deux est le point de(Ox)d"abscisse strictement positive obtenu pour un certain réelt

de0;p2 . Soitt20;p2 y(t) =0,sin(3t) =0,3t2pZ,t2p3

Z,t=p3

Le point de la courbe qui est sur(Ox)et qui a une abscisse strictement positive est le pointMp3 =p3 2 ;0 . Sinon, on cherchet120;p3 ett222p3 ;p2 tels queM(t1) =M(t2). 7

M(t1) =M(t2))x(t1) =x(t2),t22t1+pZout22p2

t1+pZ)t22p2 t1+pZ )t2=p2 t1p)t2=p2 t1:

Réciproquement, sit2=p2

t1, alorsx(t1) =x(t2)et donc,

M(t1) =M(t2),y

p2 t1 =y(t1),sin 3 p2 t1 =sin(3t1) ,3t12 3p2

3t1+2pZou 3t12p+3p2

+3t1+2pZ,6t12 3p2 +2pZ ,t12 p4 +p3

Z,t1=p12

Le pointMp12

=12 ;p2 2 est le point multiple d"abscisse et d"ordonnée strictement positives.

4.La lemniscate deBERNOULLIDomaine d"étude.

• Pour tout réelt,M(t)existe.

• Pour tout réelt,M(t) =sO(M(t)). On étudie et construit la courbe quandtdécritR+et on obtient la

courbe complète par symétrie centrale de centreO. • Pourt>0, M 1t 1t 1+1t 4;1t 31+1t
4! =t31+t4;t1+t4 =sy=x(M(t)):

On étudie et construit la courbe quandtdécrit[0;1]et on obtient la courbe complète par réflexion d"axe

la droite d"équationy=xpuis par symétrie centrale de centreO.Variations conjointes dexety.Les fonctions xetysont dérivables sur[0;1]et pourt2[0;1], x

0(t) =(1+t4)t(4t3)(1+t4)2=13t4(1+t4)2ety0(t) =3t2(1+t4)t3(4t3)(1+t4)2=t2(3t4)(1+t4)2:

On en déduit immédiatement le tableau :t014p31 x0(t)?0? (4p3)3 4x 012 1 2y 0

y0(t)0 +La tangente enM(0)est dirigée par le vecteur(1;0). Par symétrie, la tangente enM(+¥)est dirigée par

le vecteur(0;1). 8 1-1 1 -15.Les tractrices (a)

Cherchons les arcs solutions sous la forme

x=f(t)+Rcost y=Rsintoùfest une foncton dérivable sur un certain intervalleI(de sorte que le pointM(t)est sur le cercleC(t)de centref(t) 0

et de rayonR). La trajectoire cherchée est orthogonale à chaque cercleC(t)si et seulement si la

tangente à cette trajectoire enM(t)est orthogonale à la tangente au cercleC(t)enM(t)ou encore si et seulement si les vecteurs(f0(t)Rsint;Rcost)et(sint;cost)sont orthogonaux. Cette dernière condition s"écritf0(t)sint+R(sin2t+cos2t) =0 ou encoref0(t) =Rsintou enfin,f(t) =

Rlntant2

+C. Les arcs solutions sont les arcs de la formet7!Rlntant2 +cost+C Rsint , où C2R. ?Les courbes solutions se déduisent de la courbet7!Rlntant2 +cost Rsint par translations de vecteurs colinéaires à !i. On peut montrer que la courbe obtenue est la trajectoire de la roue arrière

d"une voiture quand celle-ci se gare en marche avant, la roue avant étant quant à elle collée au

trottoir. (b)Domaine d"étude.La fonctiont7!M(t)est 2p-périodique et on l"étudie donc sur[p;p]. Pourt2 [p;p],M(t)existe si et seulement sit2]p;p[nf0g. Pourt2]p;p[nf0g,M(t)=s(Ox)(M(t)) puis

M(pt) = Rlntanp2

t2 +cos(pt)

Rsin(pt)!

= Rlntant2 cost

Rsin(t)!

=sOy(M(t): 9 On étudie et on construit la courbe quandtdécrit0;p2 , et on obtient la courbe complète par

réflexion d"axe(Oy)puis par réflexion d"axe(Ox).Dérivée. Etude des points singuliers.Pour

t20;p2 dMdt (t) = R1sintsint

Rcost!

= Rcos2tsint

Rcost!

=Rcostsint cost sint

Par suite,

!dMdt (t)=!0,cos2tsint=0,t=p2 . Le pointMp2 est un point singulier. Quandttend vers p2 ,y(t)yp2 =R(sint1)=R1cosp2 tR2 p2 t2. D"autre part, posonsh=p2 t ou encoret=p2 h. Quandttend versp2 x

0(t) =Rcos2tsint=Rsin2hcoshRh2=R

tp2 2+o tp2 2 et donc par intégration, x(t)x(p2 ) =R3 tp2 3+o tp2 3 R3 tp2quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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