[PDF] Exercices de mathématiques supérieures

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Probabilités et sommes de Riemann

Feuille 30

Évènements

Exercice30.1?????Solution p.7

SiPest une probabilité sur

et siG véri?eP(G) = 1, montrer que pour toutF; P(F\G) =P(F).

Exercice30.2?????Solution p.7

SoitFunetribusurununivers

préciser l"événement correspondant et montrer qu"il est bien dansF:

1.EetFse réalisent maisGne se réalise pas.

2. A umoins l"un des é vénementsse réalise . 3. A uplus deux des tr oisé vénementsse réalisent. 4. Exactement un de ces é vénementsest réalisé .

Exercice30.3?????Solution p.7

SoitN2N. On dispose d"une urne avecNboules numérotées de 1 àN. Le jeu consiste à tirer une boule. On a

un succès si on tire la boule portant le numéro 1. On joue de manière répétée à cejeu. Les jeux sont indépendants.

Quel est le nombrekde jeux nécessaires pour que la probabilité d"avoir au moins un succès soit supérieure ou égale

à12

Exercice30.4?????Solution p.7

1.

Énoncer et démontr erla formule de Bayes.

2.

On disp osede 100 dés dont 25 sont pipés.

Pour chaque dé pipé, la probabilité d"obtenir le chi?re6lors d"un lancer vaut12 (a) On tireundéauhasardparmiles100dés.Onlancecedéetonobtientlechi?re6.Quelleestlaprobabilité que ce dé soit pipé? (b)

Soit n2N. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dénfois et on obtientnfois le chi?re

6. Quelle est la probabilitépnque ce dé soit pipé? (c) Déterminer limn!+1pn. Interpréter ce résultat.

Exercice30.5?????Solution p.8

Ruine du joueur :

On ?xeN2Netn2[0;N]\N:

Deux joueurs s"a?rontent dans une succession de " pile ou face », la probabilité de " pile » étantp2]0;1[. Le

joueur 1 possède initialementneuros et le joueur 2Nneuros. Lorsque le résultat d"un tirage est pile, le joueur

2 donne un euro au joueur 1 et symétriquement dans l"autre cas, c"est le joueur 1 qui donne un euro au joueur 2. Le

jeu s"arrête lorsqu"un joueur n"a plus d"argent.

On notepnla probabilité que le joueur 1 ?nisse ruiné s"il commence avecneuros. Symétriquement, on noteqn

la probabilité que le joueur 2 ?nisse ruiné s"il commence avecNneuros.

Quentin De Muynck Sous licence

FEUILLE XXX - PROBABILITÉS ET SOMMES DERIEMANN1.Montr erque si 0< n < N, alorspn=ppn+1+ (1p)pn1: 2.

En dé duirel" expressionde pn:

3. Calculer de même qn, puispn+qn. Que peut-on en déduire?

Exercice30.6?????Solution p.8

Le problème du ballot :

Lors d"une élection opposant deux candidatsAetB, le premier reçoitnvoix et le secondmnvoix. En

supposant équiprobables les di?érents ordres d"apparition des bulletins lors du dépouillement (et en ignorant les

bulletins blancs ou non valides), on noteP(n;m)la probabilité que le candidatAsoit toujours strictement en tête

lors du dépouillement. 1.

Montr erque

P(n;m) =P(Atoujours en têtejle dernier vote est en faveur deA)nn+m+P(Atoujours en têtejle dernier vote est en faveur deB)mn+m: 2.

En dé duireque P(n;m) =nmn+m:

Exercice30.7?????Solution p.9

Soita2˜

0;12 . On notepkla probabilité qu"une famille aitkenfants. On suppose quep0=p1=aet, pour toutk2; pk= (12a)2(k1): 1. Montr erque la suite (pk)k2Nest bien une distribution de probabilités.

On convient queP(Fille) =P(Garçon) = 1=2:

On noteEn: "la famille anenfants»,Fn: "la famille an?lles» etGn: "la famille angarçons». 2. Quelle est la pr obabilitép ourqu"une famille ayant deux ?lles ait deux enfants seulement ? 3. Quelle est la pr obabilitép ourqu"une famille ait deux gar çonssachant qu" ellea deux ?lles ?

Exercice30.8?????Solution p.10

Loi de succession deLaplace:

Nurnes sont numérotées de 1 àN. On suppose que l"urne de numérokcontientkboules blanches etNk

boules noires.

On choisit une urne au hasard, et sans connaître son numéro, on en tirenfois de suite une boule, avec remise

après chaque tirage. 1.

Quelle est la pr obabilitéque le tirage suivant (toujours dans la même urne) donne encor eune b ouleblanche ,

sachant que, au cours desnpremiers tirages, seules des boules blanches ont été tirées? 2. Quelle est la limite de cette pr obabilitélorsque Ntend vers l"in?ni?

Variables aléatoires

Exercice30.9?????Solution p.10

On considère deux urnesU1etU2contenantb1;b2boules blanches etn1;n2boules noires. On choisit au hasard

une urne et on tire ensuite une boule dans cette urne. 1. Quelle est la pr obabilitéde tir erune b oulenoir e? 2.

Quelle la pr obabilitéd"av oire?e ctuéle tirage dans l"urne Uisachant qu"une boule noire a été tirée?

Quentin De Muynck 2 Sous licence

FEUILLE XXX - PROBABILITÉS ET SOMMES DERIEMANNExercice30.10?????Solution p.11 X

1suit une loi binomiale de paramètres(n1;p),X2suit une loi binomiale de paramètres(n2;p).

On suppose queX1etX2sont indépendantes.

Calculer la loi deX1sachant queX1+X2=n(avecnun entier compris entre0etn1+n2).

Exercice30.11?????Solution p.12

On considèreX1;X2;X3trois variables aléatoires, mutuellement indépendantes, à valeurs dansf1,:::;nget

suivant toutes une loi uniforme. On noteY1;Y2;Y3les valeurs deX1;X2;X3réordonnées dans l"ordre croissant.

En particulier,Y1= min(X1;X2;X3)etY3= max(X1;X2;X3). 1. Pour k2 f1;:::;ng, trouverP(Y3k). En déduire la loi deY3: 2.

Déterminer la loi de Y1:

3. On note Zkla variable aléatoire égale au nombre d"indicei2 f1;2;3gtels queXik: (a)

Quelle est la loi de Zk?

(b)

Compar er[Zk2]et[Y2k]. En déduireP(Y2k).

Exercice30.12?????Solution p.12

On considère deux urnesUetVcontenant chacune 2 boules. Au départ, l"urneUcontient 2 boules blanches et

l"urneVcontient 2 boules noires.

On e?ectue une suite de tirages dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à tirer au hasard une

boule de chaque urne et à la mettre dans l"autre urne (il y a donc échange de 2 boules à chaque tirage).

Pour tout entier natureln, on noteXnla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l"urne

Uavant le(n+ 1)-ème tirage et on a doncX0= 2:

Pour tout entier natureln, on poseCn="

P(Xn= 0)

P(Xn= 1)

P(Xn= 2)Ž

1.

On note Mla matrice deM3(R)dont l"élément de la(i+ 1)-ème ligne et de la(j+ 1)-ème colonne, pour

tout couple(i;j)2 f0;1;2g2, est égal àP(Xn+1=ijXn=j), lorsqueP(Xn=j)>0: (a)

Montr erque M="

0 1=4 0

1 1=2 1

0 1=4 0Ž

(b) Établir que ,p ourtout n2N; Cn+1=MCnpuis queCn=MnC0: (c)

Calculer la loi de Xnpour toutn2N:

Exercice30.13?????Solution p.13

Loi hypergéométrique :

Une urne contientNballes, dontbsont bleues etr=Nbsont rouges. Un échantillon denballes est tiré de

l"urne, sans remise. 1. Quelle est la loi du nombr eBde balles bleues dans l"échantillon? 2.

On ?xe n2Netk2 f0;:::;ng:

OnsupposequebdépenddeNavecbNN

kŒ p k(1p)nk. Comment interpréter ce résultat?

Exercice30.14?????Solution p.14

Une modélisation du "pile ou face» in?ni :

On admet que sur

= [0;1[, il existe une tribuFcontenant les intervalles et une probabilitéP:F ![0;1]tel que pour tout intervalleI[0;1[;P(I)est égal à la longueur deI:

Pour toutn2N, on noteXnla variable aléatoire de[0;1[dansf0;1gdé?nie par : pour tout!2[0;1[; Xn(!)

est égal à lan-ième décimale de!en base 2.

Quentin De Muynck 3 Sous licence

FEUILLE XXX - PROBABILITÉS ET SOMMES DERIEMANN1.Quelle est la loi de Xn? 2. Montr erque les Xnsont mutuellement indépendantes.

Exercice30.15?????Solution p.14

Soit(Xn)n2Nune suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que, pour toutn2N;Xn

B(p)oùp2]0;1[:

Pour toutn2N, on noteSn=X1++Xnet on convient queS0= 0. On note égalementZn=nSn:

1.SnetZnsont-elles indépendantes?

SoitNunevariablealéatoireindépendantedesXntellequeN P()avec >0.OnposeS=X1+:::+XN etZ=NS: 2.

Montr erque SetZsont des variables aléatoires.

3. Montr erque SetZsont indépendantes et préciser leurs lois.

Espérance

Exercice30.16?????Solution p.14

On dispose d"une urne contenantnboules. On en tirenavec remise, et on marque chaque boule tirée. Donner

un équivalent lorsquentend vers l"in?ni du nombre de boules marquées.

Exercice30.17?????Solution p.15

SoitP1;:::;Pnune communauté denpersonnes, avecn2. De façon indépendante, chacune envoie une lettre

à une autre personne de la communauté en choisissant au hasard (de façon uniforme) le destinataire.

1.

On considèr el"une de ces p ersonnes: quelle est la pr obabilitépj;nqu"elle reçoivejlettres? Donner un équi-

valent depj;nlorsquen! 1(àj?xé). Pouvait-on prévoir ce résultat? 2.

Déterminer la pr obabilitéque l"une au moins des npersonnes reçoive exactementjlettres, lorsquej > n=2:

Exercice30.18?????Solution p.15

SoitN2Netp2]0;1[. On poseq= 1p:

On considèreNvariables aléatoiresX1;X2;:::;XNdé?nies sur un même espace probabilisé( ;T;P), mutuel- lement indépendantes et de même loi géométrique de paramètrep: 1. Soit i2 f1;:::;Ng. Soitn2N. DéterminerP(Xin), puisP(Xi> n). 2. On considèr ela variable aléatoir eYdé?nie parY= min1iN(Xi). c"est à dire8!2 ;Y(!) = min(X1(!);:::;XN(!));mindésignant "le plus petit élément de» (a)

Soit n2N. CalculerP(Y > n).

En déduireP(Yn), puisP(Y=n).

(b) Pr ouverque Yadmet une espérance et la calculer.

Exercice30.19?????Solution p.16

font toutes feu en même temps mais chacune choisit sa cible au hasard indépendamment des autres. On admet

que chaque chasseureuse touche son canard avec la même probabilitép: 1. Combien de canar ds,en mo yenne,sur vivrontau tir lorsque le v olse comp osede 20 canar ds? 2. Quel seralenombredecanardstouchéssilevolsecomposed"unnombredecanardssuivantuneloidePoisson de paramètre 15?

Quentin De Muynck 4 Sous licence

FEUILLE XXX - PROBABILITÉS ET SOMMES DERIEMANNExercice30.20?????Solution p.16 SiSest un ensemble et siA ffx;yg= x;y2Savecx6=yg;G= (S;A)est appelé le graphe dontSest l"ensemble des sommets et dontAest l"ensemble des arêtes. Fixons deux entiersm0etn1. On imposeS=f1;:::;ngetCard(A) =m:

On note

l"ensemble des graphes de sommetsSpossédantmarêtes. On choisit sur la probabilité uniforme notée P: 1. Si G2 , que vautP(G)? 2.

Soit i;j2Saveci6=j. On noteijl"événement " les deux sommetsietjsont reliés par une arête ».

CalculerP(ij).

3. On app elletriangle d"un graphe ,un ensemble de tr oissommets distincts fx;y;zgtels quexy;yzet zx. Quelle est l"espérance du nombre de triangles dans un graphe de

Variance

Exercice30.21?????Solution p.17

Soit2]0;+1[:

SoitXune variable aléatoire discrète à valeurs dansN

On suppose que8n2N;P(X=n) =n(n+ 1)(n+ 2):

1. Dé composeren éléments simples la fraction rationnelle Rdé?nie parR(x) =1x(x+ 1)(x+ 2): 2.

Calculer :

3. Pr ouverque Xadmet une espérance, puis la calculer.

4.Xadmet-elle une variance? Justi?er.

Exercice30.22?????Solution p.18

Soitk2Net soitXune variable aléatoire discrète réelle. On suppose queXadmet un moment d"ordrek, c"est-à-dire queE(jXjk)<+1:Montrer que, pour tout h2 f1;:::;kg;Xpossède un moment d"ordreh:

Exercice30.23?????Solution p.18

On considèrenvariables aléatoires mutuellement indépendantesX1;:::;Xnqui suivent toutes une loi deBer-

noullide paramètrep2[0;1]: Pour touti2 f1;:::;n1g, on poseYi=XiXi+1. On pose égalementY=n1X i=1Y i: 1.

Quelle est la loi de Yi?

2.

Calculer l" espérancede Y:

3.

Calculer la variance de Y:

Exercice30.24?????Solution p.19

Considérons une matrice carrée aléatoireMde taillenndont les coe?cientsXi;jsont des variables aléatoires

indépendantes, telles queP(Xi;j=1) = 1=2. Calculer la variance du déterminant deM:

Exercice30.25?????Solution p.19

Inégalité deChernoff:

On e?ectue une in?nité de lancers d"une pièce de monnaie équilibrée. A?n de travailler avec des variables

centrées,onencodelerésultatduk-èmejetparunevariablealéatoireXktellequeP(Xk= 1) =P(Xk=1) =12

Pour toutn2N, on noteSn=1n

n X k=1X k:

Quentin De Muynck 5 Sous licence

FEUILLE XXX - PROBABILITÉS ET SOMMES DERIEMANN1.Montr erque la loi faible des grands nombr esfournit la majoration suivante : P(jS10000j 0;1)0;01:

2.

Soit Xune variable aléatoire discrète réelle. Pour toutt2R+;on noteH(t) = lnE(etX), avec la convention

H(t) = +1siE(etX) = +1:

Montrer que pour touta2R;P(Xa)einft0(H(t)ta):

3. ch(tn 4.

En dé duireque P(jS10000j 0;1)3;61022:

Sommes deRiemann

Exercice30.26?????Solution p.20

Inégalité deJensen:

Soitfune application convexe deRdansR. On admettra quefest alors continue. Soient(a;b)2R2tel quea < betgune application continue de[a;b]dansR:

Montrer quef‚1baZ

b a g(t)dtΠ1baZ b a f(g(t))dt:

Exercice30.27?????Solution p.21

Calculer la limite lorsquentend vers+1denÌn

Y k=1‚ 2Œ

Exercice30.28?????Solution p.21

Soitfune application continue de[0;]dansR:

1.

Soient n2Netk2 f0;:::;n1g.

Montrer qu"il existek2•kn

;(k+ 1)n tel queZ (k+1)n kn f(x)jsin(nx)jdx=f(k)Z (k+1)n kn jsin(nx)jdx: 2.

Montr erque

Z 0 f(x)jsinnxjdx!n!+12 Z 0 f(x)dx:

Exercice30.29?????Solution p.22

Soitun réel di?érent de 1 et de1. CalculerZ

0 ln(12cost+2)dt, à l"aide de sommes deRiemann.

Quentin De Muynck 6 Sous licence

FEUILLE XXX - PROBABILITÉS ET SOMMES DERIEMANNSolution de l"exercice 30.1Énoncé SoitFquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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