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Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 07 - Variables aleatoires reelles discretes07.1Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules rouges. On tire les boules une a une sans les remettre

jusqu'a ce qu'il ne reste que des boules d'une seule couleur dans l'urne. SoitXle nombre de tirages necessaires. Determiner la loi deX.Notons pour touti>1 les evenements : {Bi: "lai-eme boule tiree est blanche" {Ri: "lai-eme boule tiree est rouge" X( ) =f2;3;4;5g. (X= 2) =B1\B2. Donc

P(X= 2) =P(B1\B2)

=P(B1)PB1(B2) (probas composees) 26
15 =1 15 En eet, pourP(B1), on a 6 boules dont 2 blanches, et on a equiprobabilite donc :P(B1) =26 PourPB1(B2), on a 5 boules dans l'urne dont 1 blanche, et on a equiprobabilite donc :PB1(B2) =15 (X= 3) = (B1\R2\B3)[(R1\B2\B3). Donc

P(X= 3) =P((B1\R2\B3)[(R1\B2\B3))

=P(B1\R2\B3) +P(R1\B2\B3) (par incompatibilite) =P(B1)PB1(R2)PB1\R2(B3) +P(R1)PR1(B2)PR1\B2(B3) (probas composees) 26
45
14 +46
25
14 =2 15 (X= 4) = (B1\R2\R3\B4)[(R1\B2\R3\B4)[(R1\R2\B3\B4)[(R1\R2\R3\R4). Donc de m^eme que precedemment, en utilisant l'incompatibilite puis la formule des probabilites composees P(X= 4) =P(B1\R2\R3\B4) +P(R1\B2\R3\B4) +P(R1\R2\B3\B4) +P(R1\R2\R3\R4) 26
45
34
13 +46
25
34
13 +46
35
24
13 +46
35
24
13 =4 15

P(X= 5) = 1P(X= 2)P(X= 3)P(X= 4)

= 1115 215
415
=8 15

La loi deXest donc la suivante :k2345

P(X=k)1

152
154
158
15

2010-2011 Lycee du Parc 1/16

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 07 - Variables aleatoires reelles discretes07.2Soitn>2. Une urne contient 2 boules blanches etn2 boules rouges. On eectue des tirages sans

remise dans cette urne. On appelleXle rang du tirage de la premiere boule blanche etYle nombre de boules rouges restant a ce moment dans l'urne. 1.

D eterminerl al oid eXetE[X].

2.

Ex primerYen fonction deXet calculerE[Y].1.Not onsp ourt outi>1,Bi: "Lai-ieme boule tiree est blanche" etRi: "Lai-ieme boule tiree est rouge".

Au pire, on tire lesn2 boules rouges en premier et ensuite, on choisit necessairement une des deux boules rouges, donc les valeurs deXpeuvent aller jusqu'an1. On a doncX( ) =J1;n1KP(X= 1) =P(B1) =2n car on anboules dont 2 blanches et on choisit de maniere equiprobable.

Soitk2J2;n1K. CalculonsP(X=k).

P(X=k) =P(R1\R2\ \Rk1\Bk)

=P(R1)PR1(R2)PR1\R2(R3)\ \PR1\\Rk2(Rk1)PR1\\Rk1(Bk) (d'apres la formule des probabilites composees)

On aP(R1) =n2n

puisquen2 boules parmi lesnsont rouges. On aPR1(R2) =n3n1puisqu'il resten1 boules dontn3 qui sont rouges. Plus generalement, pour touti2J1;k2K,PR1\\Ri(Ri+1) =n2ini, puisque si on a deja tirei boules rouges, il resten2iboules rouges et toujours les 2 boules blanches.

De m^eme,PR1\\Rk1(Bk) =2n(k1).

Par consequent,

P(X=k) =n2n

n3n1n4n2nknk+ 22nk+ 1=2(nk)n(n1)La variableXadmet bien entendu une esperance puisqueX( ) est ni.

E[X] =n1X

k=1k2(nk)n(n1)=2n(n1)n1X k=1(nkk2) =2n(n1) nn1X k=1kn1X k=1k 2!

2n(n1)

n(n1)n2 (n1)n(2n1)6 =n2n13 =n+ 13 2. Lor squeXprend la valeurk, cela veut dire qu'on a deja tirek1 boules rouges dans l'urne qui en contenaitn2 au depart. On a doncY=n2(X1) =n1XOn en deduit que

E[Y] =E[n1X] =n1E[X] =n1n+ 13

=3n3n13 =n43

2010-2011 Lycee du Parc 2/16

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 07 - Variables aleatoires reelles discretes07.3On considere un de cubiqe, dont les faces sont numerotees de 1 a 6, truque de sorte que la probabilite

d'obtenir la face "k" soit proportionnelle ak, avec pour coecient de proportionnalite le reel. On lance une fois le de et on noteXle numero de la face obtenue. 1.

D eterminerl al oid eXen fonction de.

2.

D eterminerl av aleurd e.

3.

Cal culerE[X].

4.

O np oseY=1X

. Determiner la loi deYetE[Y].1.O na X( ) =J1;6K, et puisqu'on sait que la probabilite d'obtenir la facekest egale ak, on en deduit que :k123456

P(X=k)234562.O nd oita voirn ecessairement

X k2X( )P(X=k) = 1, donc + 2+ 3+ 4+ 5+ 6=(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) =672 = 21

On doit donc avoir necessairement=121.

3.

E[X] =6X

k=1kP(X=k) =6X k=1k

2=67136

=71321 =13 3 4.

O np oseY=1X

On a directement queY(

1;12 ;13 ;14 ;15 ;16 et on a :k11 21
31
41
51
6

P(Y=k)23456Par le theoreme de transfert,

E[Y] =E1X

=nX k=11k

P[X=k] =nX

k=1=n=n 21

2010-2011 Lycee du Parc 3/16

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 07 - Variables aleatoires reelles discretes07.4 1.

Soi tXune VAR discrete prenant les valeurs 1;2;3;4;5;6 avec les probabilites respectives 0:1, 0:2, 0:1,

0:3, 0:1, 0:2. Calculer l'esperance et la variance deX.

2. Soi tYune VAR discrete prenant les valeurs 3;4;5;6. Determiner la loi deYsachant queP(Y <5) =13

P(Y >5) =12

etP(Y= 3) =P(Y= 4).

Calculer alors l'esperance et la variance deY.1.

k123456

P(X=k)0:10:20:10:30:10:2On a alorsE[X] = 0:11 + 0:22 + 0:13 + 0:34 + 0:15 + 0:26 =3:7De plus,E[X2] = 0:11 + 0:24 + 0:19 + 0:316 + 0:125 + 0:236 =16:3.

Enn,V[X] =E[X2](E[X])2= 16:3(3:7)2= 16:313:69 =2:61. 2.

O ns aitq ueP(Y= 6) =P(Y >5) =12

. De plus,P(Y= 5) = 1P(Y= 6)P(Y <5) = 112 13 =16

Ainsi,P(Y= 3) +P(Y= 4) = 1P(Y= 5)P(Y= 6) = 112

16 =26

On en deduit donc la loi deY.k3456

P(Y=k)1

61
61
61
2

On a alorsE[Y] =16

3 +16 4 +16 5 +12 6 =5

De plus,E[Y2] =16

9 +16

16 +16

25 +12

36 =79

3.

Enn,V[Y] =E[Y2](E[Y])2=793

52=4
3.

07.5Une urne contient initialement une boule blanche et une boule rouge. On eectue des tirages successifs

de boules dans l'urne suivant le protocole suivant : apres chaque tirage, la boule tiree est remise dans l'urne et

on rajoute dans l'urne, avant le tirage suivant, une boule de la couleur de la boule qui vient d'^etre tiree.

On note, pour tout entier naturelnnon nul,Xnle nombre de boules blanches obtenues au cours desnpremiers

tirages. 1.

D eterminerl al oid eX1et deX2.

2.

Con jecturerl al oide Xnet demontrer le resultat par recurrence.On notera8i>1,Bi: "lai-ieme boule tiree est blanche" etRi: "lai-ieme boule tiree est rouge".

1. Soi tX1le nombre de boules blanches obtenues au cours du 1er tirage. On a bien evidemment X1( ) =J0;1K

2010-2011 Lycee du Parc 4/16

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 07 - Variables aleatoires reelles discretesP(X1= 0) =P(X1= 1) =12

.X

1 U(J0;1K)SoitX2le nombre de boules blanches obtenues au cours du 2eme tirage.

X2( ) =J0;1;2K

P(X2= 0) =P(R1\R2) =P(R1)PR1(R2) =12

23
=26 =13 P(X2= 1) =P(R1\B2) +P(B1\R2) =P(R1)PR1(B2) +P(B1)PB1(R2) =12 13 +12 13 =13

P(X2= 2) =P(B1\B2) =P(B1)PB1(B2) =12

23
=26 =13 X

2 U(J0;2K)2.O np eutdon cc onjecturerq ueXnsuivra une loi uniforme surJ0;nK.

Montrons le resultat par recurrence.

Notons pour toutn>1,P(n) : "Xn U(J0;nK)".

On a montre dans la question precedente queP(1) etP(2) sont veriees.

Soitn>2. Supposons queP(n) soit verie.

Montrons queXn+1suit une loi uniforme surJ0;n+ 1K. Lors desn+1 premiers tirages, on a toujours pu tirer une boule blanche ou non, donc on aXn+1(

J0;n+ 1K

P(Xn+1= 0) =P(R1\R2\ \Rn+1) =P(R1)PR1(R2)PR1\\Rn(Rn+1) 12 23
34

1n+ 2=1n+ 2

Soitk2J1;n+ 1K. Alors

P(Xn+1=k) =P(Xn=k)\Rn+1)[((Xn=k1)\Bn+1)

=P((Xn=k)\Rn+1) +P((Xn=k1)\Bn+1) (car incompatibles) =P(Xn=k)P(Xn=k)(Rn+1) +P(Xn=k1)P(Xn=k1)(Bn+1)

1n+ 1P(Xn=k)(Rn+1) +1n+ 1P(Xn=k1)(Bn+1)

1n+ 1P(Xn=k)(Rn+1) +P(Xn=k1)(Bn+1)

Si on sait queXn=k, on a donc rajoutekboules blanches dans l'urne etnkboules rouges dans l'urne au cours desnpremiers tirages. Il y a donck+1 boules blanches dans l'urne etnk+1 boules rouges. On a donc P (Xn=k)(Rn+1) =nk+ 1n+ 2 Si on sait queXn=k1, on a donc rajoutek1 boules blanches dans l'urne au cours desnpremiers tirages. Il y a donckboules blanches dans l'urne. On a donc P (Xn=k1)(Bn+1) =kn+ 2

On a donc

P(Xn+1=k) =1n+ 1

nk+ 1n+ 2+kn+ 2 =1n+ 1n+ 1n+ 2=1n+ 2 On a donc bien montre queXn+1suivait une loi uniforme surJ0;n+ 1KetP(n+ 1) est bien veriee. Par recurrence, on en deduit donc que8n>1,P(n) est vraie, et doncXnsuit toujours une loi uniforme surJ0;nK.

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Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 07 - Variables aleatoires reelles discretes07.6On joue a Pile ou Face avec une piece non equilibree. A chaque lancer, la probabilite d'obtenir Face

est egale a 13 . Les lancers sont supposes independants.

On noteXla VAR egale au nombre de lancers necessaires pour l'obtention pour la premiere fois de deux piles

consecutifs. Pour toutn2N, on notepnla probabilite de l'evenement [X=n]. On note de plus,Fil'evenement "obtenir Face aui-ieme lancer". 1. Ex pliciterl es evenements[ X= 2], [X= 3], [X= 4], [X= 5] a l'aide des evenementsFietF i. 2.

D eterminerl av aleurd ep1;p2;p3;p4;p5.

3.

A l 'aided el aF ormulede sPr obabilitesT otales,en di stinguantd euxc asse lonle r esultatdu p remierl ancer,

montrer que pour toutn>3, on apn=29 pn2+13 pn1. 4. En d eduirel 'expressiond epnen fonction denpour toutn>1. 5.

Cal culerE[X].1.O na :

[X= 2] =F 1\F 2 [X= 3] =F1\F 2\F 3 [X= 4] = (F1\F2\F 3\F 4)[(F

1\F2\F

3\F 4) [X= 5] = (F1\F2\F3\F 4\F 5)[(F

1\F2\F3\F

4\F

5)[(F1\F

2\F3\F

4\F 5) 2. O na p1=P(X= 1) = 0 car il faut au moins deux lancers pour avoir 2 Piles consecutivement.

Les lancers sont independants. On a donc :

p

2=P(X= 2) =P(F

1)PF

2) =23

2 =49

De m^eme,

p 3=13 23
2 =427 p 4=13 223
2 +13 23
3 =481 +881
=1281 =427 p 5=13 323
2 +13 223
3 +13 223
3 4243
+8243
+8243
=20243 3. Soi tn>3. Cherchonspn=P(X=n). On doit donc avoir eu deux Pile consecutifs pour la premiere fois aux lancersn1 etn.

1er Cas : Au premier lancer, on fait Pile. Alors necessairement au deuxieme lancer, on fait Face. Puis on

doit lancer la piecen2 fois et avoir Pile aux lancers numerosn3 etn2, autrement dit, puisque les

lancers sont independants, on est ramenes a la m^eme experience, et l'evenement desn2 derniers lancers

sera de m^eme probabilite que l'evenement (X=n2).

2eme Cas : Au premier lancer, on fait Face. Puis on doit lancer la piecen1 fois et avoir Pile aux lancers

numerosn2 etn1, autrement dit, puisque les lancers sont independants, on est ramenes a la m^eme experience, et l'evenement desn1 derniers lancers sera de m^eme probabilite que l'evenement (X=n1)

2010-2011 Lycee du Parc 6/16

Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 07 - Variables aleatoires reelles discretesOn en deduit donc que

p n=P(F

1)P(F2)P(X=n2) +P(F1)P(X=n1) =29

pn2+13 pn1 4.

En d eduirel 'expressiond epnen fonction denpour toutn>1. La suite (pn) verie une recurrence lineaire

double. p n13 pn129 pn2= 0

L'equation caracteristique est

x 213
x29 = 0 19 +89
= 1, il y a donc deux solutions : x 1=13 12 =13 ; x2=13 + 12 =23

On sait donc qu'il existe;2Rtels que

8n>3;pn=

13 n +23
n En remplacant avec les valeurs dep3,p4,p5, on trouve : =43 ; =23 autrement dit8n>3; pn=43 13 n +23
n+1Remarquons que cette relation est encore veriee pourn= 2. 5.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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